1、1第 2讲 等差数列及其前 n项和1等差数列的有关概念(1)定义如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的差都等于 ，那么这个数列就叫做等差数列符号表示为 ( nN *， d为常数)(2)等差中项数列 a， A， b成等差数列的充要条件是 ，其中 A叫做 a， b的 (3)等差数列的通项公式:an= ,可推广为 an= . (4)等差数列的前 n项和公式: 2等差数列的性质(1)(2)若 k l m n(k， l， m， nN *)，则 (m,n,p,qN*);m+n=2p,则 (m,n,pN*). (2)数列 Sm， S2m Sm， S3m S2m，构 成等差数列(3)若 an的公差为 d
2、，则 a2n也是等差数列，公差为 2d(4)若 bn是等差数列，则 pan qbn也是等差数列(5)若等差数列 an的前 n项和为 Sn,则 S2n-1= 3等差数列的四种判断方法(1)定义法： an1 an d(d是常数) an是等差数列(2)等差中项法：2 an1 an an2 (nN *)an是等差数列(3)通项公式法： an pn q(p， q为常数) an是等差数列(4)前 n项和公式法： Sn An2 Bn(A、 B为常数) an是等差数列3.等差数列的通项公式及前 n项和公式与函数的关系(1)an=a1+(n-1)d可化为 an=dn+a1-d的形式.当 d0 时, an是关于
3、n的一次函数;当 d0时,数列为递增数列;当 d0时,数列为递减数列.(2) 当 d0 时,它是关于 n的二次函数.数列 an是等差数列Sn=An2+Bn(A,B 为常数).1.下列结论正确的 打 “”,错误的打“”.(1)若一个数列从第 2项起,每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列. ( )(2)已知数列 an的通项公式是 an=pn+q(其中 p,q为常数),则数列 an一定是等差数列. ( )(3)数列 an为等差数列的充要条件是其通项公式为 n的一次函数. ( )(4)数列 an为等差数列的充要条件是对任意 nN*,都有 212n ( )2(5)等差数列 an的单调性是
4、由公差 d决定的. ( )2.等差数列 11，8，5，中49 是它的第几项( )A第 19项 B第 20项C第 21项 D第 22项3. 已知 p：数列 an是等差数列， q：数列 an的通项公式 an k1n k2(k1， k2均教 材 习 题 改 编为常数)，则 p是 q的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既 不充分也不必要条件4.等差数列 an的前 n项之和为 Sn，若 a56，则 S9为( )A45 B54 C63 D275设 Sn为等差数列 an的前 n项和， a128， S99，则 S16_典例引领等差数列的基本运算(高频考点)角度一 求公差 d、项数 n或首项 a
5、11已知等差数列 an中， a513， S535，则公差 d( )A2 B1 C1 D3(2)设 Sn为等差数列 an的前 n项和，若 a11，公差 d2， Sn2 Sn36，则 n( )A5 B6 C7 D8角度二 求通项或特定项1(2016高考全国卷乙)已知等差数列 an前 9项的和为 27， a108，则 a100( )A100 B99 C98 D972.(2015高考全国卷)已知 an是公差为 1的等差数列， Sn为 an的前 n项和，若 S84 S4，则 a10( )A B C10 D12 172 192角度三 求前 n项和1已知数列 an中， a11， an an1 (n2)，则数
6、列 an的前 9项和等于_122设 Sn为等差数列an的前 n项和, 9,8s则 16= 3等差数列基本运算的解题方法(1)等差数列的通项公式及前 n项和公式，共涉及五个量 a1， an， d， n， Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题 (2)数列的通项公式和前 n项和公式在解题中起到变量代换作用，而 a1和 d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法 等差数列的性质及最值(1)在等差数列 an中， a3 a927 a6， Sn表示数列 an的前 n项和，则 S11( )A18 B99 C198 D297(2)已知 an， bn都是等差数列，若 a1 b
7、109， a3 b815，则 a5 b6_(3)在等差数列 an中， a17，公差为 d，前 n项和为 Sn，当且仅当 n8 时 Sn取得最大值，则 d的取值范围为_应用等差数列的性质应注意的两点(1)在等差数列 an中，若 m n p q2 k(m、 n、 p、 q、 kN *)，则 am an ap aq2 ak是常用的性质(2)掌握等差数列的性质，悉心研究每个性质的使用条件及应用方法，认真分析项数、序号、项的值的特征，这是解题的突破口 等差数列的判定与证明1.已知数列 an中， a12， an2 (n2， nN *)设 bn (n N*)，求证：数列 bn1an 1 1an 1是等差数列
8、42.设数列 an的前 n项和为 Sn， 且 Sn=2-1.数列 bn满足 b1=2, 1nb-2bn=8an.(1)求数列 an的通项公式;(2)证明:数列 为等差数列,并求 bn的通项公式 .巩固练习：1已知等差数列 an的公差为 2，项数是偶数，所有奇数项之和为 15，所有偶数项之和为 25，则这个数列的项数为( )A10 B20 C30 D402在等差数列 an中， a129， S10 S20，则数列 an的前 n项和 Sn的最大值为( )A S15 B S16 C S15或 S16 D S173(2017陕西省五校模拟)等差数列 an中，如果 a1 a4 a739， a3 a6 a9
9、27，则数列 an前 9项的和为( )A297 B144 C99 D664在等差数列 an中， a3 a5 a11 a174，且其前 n项和为 Sn，则 S17为( )A20 B17C42 D8455若两个等差数列 an和 bn的前 n项和分别为 Sn和 Tn，已知 ，则 等于_SnTn 7nn 3 a5b56.在等差数列 an中,前 m项的和为 30,前 2m项的和为 100,则前 3m项的和为 . *7已知数列 an满足 2an1 an an2 (nN *)，它的前 n项和为 Sn，且 a310， S672，若bn an30，设数列 bn的前 n项和为 Tn，求 Tn的最小值12*8各项均为正数的数列 an满 足 a 4 Sn2 an1( nN *)，其中 Sn为 an的前 n项和2n(1)求 a1， a2的值；(2)求数列 an的通项公式
