1、2016 年普通高等学校招生全国统一考试数学（理） （北京卷）本试卷共 5 页，150 分考试时长 120 分钟考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项（1 ）已知集合 A=B=，则（A） （B）（C ） （D） （2 ）若 x,y 满足 ，则 2x+y 的最大值为（A）0 （B）3（C ）4 （D ）5（3 ）执行如图所示的程序框图，若输入的 a 值为 1，则输出的 k 值为（A）1 （B）2（C ）3 （D）4（4 ）设
2、a,b 是向量，则“I aI=IbI”是“Ia+b I=Ia-bI”的（ A） 充分而不必要条件 （ B） 必要而不充分条件（ C） 充分必要条件 （ D） 既不充分也不必要条件（ 5） 已知 x,yR,且 xyo， 则（ A） - （ B）（ C） (-0 （ D） lnx+lny(6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ A） （ B）（ C）（ D） 1(7)将函数图像上的点 P（ ， t ）向左平移 s（s0） 个单位长度得到点 P.若 P位于函数的图像上，则（A）t= ，s 的最小值为 （B）t= ，s 的最小值为 （C ）t = ，s 的最小值为 （D）t= ，s 的最小
3、值为 （8 ）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒 .每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（A）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 （B）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 （C ）乙盒中红球不多于丙盒中红球 （D）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分（9 ）设 aR，若复数（1+i） （a+i ）在复平面内对应的点位于实轴上，则a=_。（10 ）在的展开式中，的系数为_. （用数字作答）（1
4、1 ）在极坐标系中，直线与圆交于 A，B 两点，则 =_.（12 ）已知为等差数列，为其前 n 项和，若 ， ，则.（13 ）双曲线 的渐近线为正方形 OABC 的边 OA，OC 所在的直线，点 B 为该双曲线的焦点。若正方形 OABC 的边长为 2，则 a=_.（14 ）设函数若 a=0，则 f(x)的最大值为 _；若 f(x)无最大值，则实数 a 的取值范围是_。三、解答题（共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）（15 ） （本小题 13 分）在 ABC 中，332acbac（I）求 的大小B（II）求 的最大值2osAC（16 ） （本小题 13 分）A、B、
5、C 三个班共有 100 名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时） ；A 班 6 6.5 7 7.5 8B 班 6 7 8 9 10 11 12C 班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5（I） 试估计 C 班的学生人数；（II） 从 A 班和 C 班抽出的学生中，各随机选取一人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（III）再从 A、B、C 三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7， 9，8.25（单位：小时） ，这 3 个
6、新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记 ，表格中数据的平均数记为 ，试判断 和的大小， （结论不要求证明）（17 ） （本小题 14 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，平面 PAD 平面 ABCD，PA PD ,PA=PD,AB AD,AB=1,AD=2,AC=CD= ,5（I）求证：PD 平面 PAB; （II）求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值；（II I）在棱 PA 上是否存在点 M，使得 BMll 平面 PCD?若存在，求 的值；若不存在，AMP说明理由。（18 ） （本小题 13 分）设函数 f(x)=xe +bx，曲线 y=f(x)d hko (2,f(2)处的切
7、线方程为 y=(e-1)x+4，axe（I）求 a,b 的值；(I I) 求 f(x)的单调区间。（19 ） （本小题 14 分）已知椭圆 C： （ab0 ）的离心率为 ，A （a,0）,B(0,b)，O（0，0） ，21Xyab32OAB 的面积为 1.（I）求椭圆 C 的方程；(I I)设 P 的椭圆 C 上一点，直线 PA 与 Y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点 N。求证：lANl lBMl 为定值。A（20 ） （本小题 13 分）设数列 A： ， , (N2)。如果对小于 n(2nN) 的每个正整数 k 都有 1a2N ka，则称 n 是数列 A 的一个“G 时刻” 。记“G（A）是数列 A 的所有“G 时刻”组成的集n合。（I）对数列 A：-2，2，-1 ， 1，3，写出 G（A）的所有元素；(I I)证明：若数列 A 中存在 使得 ，则 G（A） ；na1(I I I）证明：若数列 A 满足 - 1（n=2,3, ,N）,则 G（A）的元素个数不小于 - Na。1a
