1、分层立方网络在 MM*模型下的 g 好邻条件诊断度 赵昳 原军 太原科技大学应用科学学院 摘 要： 诊断度在衡量互联网络可靠性方面有着重要的作用。许多著名网络的诊断度已被研究。g 好邻条件诊断度扩展了传统诊断度的概念, 它要求每个非故障处理器至少有 g 个非故障邻点。本文证明了分层立方网络 HCNn 在 MM*模型下的 1-好邻条件诊断度为 2n+1, 2-好邻条件诊断度为 4n-1.关键词： 故障诊断; MM*模型; 分层立方网络; 条件诊断度; g 好邻条件诊断度; 作者简介：赵昳 (1991-) , 女, 硕士研究生, 主要研究方向为图论及泛函分析。收稿日期：2016-08-22基金：国
2、家自然科学基金 (61402317) The g-good-neighbor Conditional Diagnosability of Hierarchical Cubic Networks Under MM* ModelZHAO Yi YUAN Jun School of Applied Sciences, Taiyuan University of Science and Technology; Abstract： Diagnosability has an important effect on the reliability of an interconnection network
3、, and the diagnosability of many well-known networks has been explored. The g-good-neighbor conditional diagnosability is the popularization of the classical diagnosability. It restricts every healthy vertex and has at least g fault-free neighboring vertices. In this paper, we show that the g-good-n
4、eighbor conditional diagnosability of HCNnunder the MM*model is 2 n + 1, 4 n-1 respectively for g = 1, g = 2.Keyword： fault diagnosis; MM*model; hierarchical cubic networks; conditional diagnosability; g-good neighbor conditional diagnosability; Received： 2016-08-22随着技术的发展, 为了获得更好的运行效果, 系统规模在逐渐扩大。同时
5、系统中的元件出现故障的可能性增大, 这对系统的可靠性产生了不利的影响。因此, 及时发现并替换掉这些故障元件变的尤为重要。1967 年, Preparata1等提出了系统级故障诊断理论, 它能够自动的检测系统中的处理器。系统级故障诊断理论的研究依赖于测试模型的建立, 许多测试模型已被提出。比较模型 (MM 模型) 是一种重要的系统级故障诊断模型, 它是由Maeng 和 Malek2共同提出来的。MM 诊断模型是由某个处理机向它的两个相邻处理机发出相同的的测试任务, 通过比较两个被测试者在同一特定输入下的运算结果来判断它们的故障情况。MM 模型是 MM 的一种特殊情况, 在该模型下, 每个结点机均
6、对与它有直接物理连线相连的任意两个不同结点机的运算结果进行比较。Lai3等对已有的诊断度条件进行了改进, 要求所有顶点的邻点都不能同时发生故障, 提出了条件诊断度的概念。类似地, Peng4等通过对系统中非故障结点的邻点集的故障条件进行限制, 使得每个非故障顶点至少有 g 个非故障邻点, 提出了 g 好邻条件诊断度。随着互连网络拓扑结构的不断发展, 许多以超立方体网络为基础的变形网络也随之产生, 比如, 交叉立方体, 扭立方体, 分层立方网络, 这些变形网络比超立方体有更好的拓扑性质。在本文中, 采用 MM 模型作为系统故障诊断模型, 研究并得出了分层立方网络在 MM 模型下 g 时的 G 好
7、邻条件诊断度。1 基本概念及符号说明用一个无向图 G= (V, E) 来表示一个互连网络, 其中图 G 的顶点集 V=V (G) 表示网络中的处理器, 边集 E=E (G) 表示处理器之间的连接。假设 H 是 V 的一个非空子集。以 H 为顶点集, 以 G 中两端点均在 H 中的边的全体为边集所组成的子图, 称为 H 在 G 中的导出子图, 记为 GH.G 的顶点 v 的度 dG (v) 是指 G 中与 v 关联的边的数目, 用 (G) 和 (G) 来表示 G 的顶点的最小度和最大度, 若图G 中的每个顶点的度都为 k, 则称图 G 为 k 正则的。对于图 G 的任一顶点集 S, 定义 G 中
8、 S 的邻集 .定义 NGS=NG (S) S.设 F 为 G 的任意顶点子集。G 的 g 好邻条件故障集是指顶点子集 F 满足条件:V-F 中的每一点 v 在 G-F 中的邻点个数至少为 g, 即 V-F 中的每一点 v 的最小度至少为 g.顶点集 F 称为图 G 的割若 G-F 不连通。如果顶点集 F 既是 G 的 g 好邻条件故障集又是 G 的割, 则称 F 是一个 g 好邻条件故障割。G 的 g 好邻条件连通度是指 G 中顶点数最少的 g 好邻条件故障割的阶数, 记为 (G) .其它文中未予定义而直接使用的符号和术语参见文献6。在 MM 模型下, 一个处理器同时对它的两个相邻处理器进行
9、测试, 然后比较它们的结果。为了与 MM 模型保持一致, 我们有以下几个假设:(1) 所有故障都是永恒的;(2) 故障处理器对于给定的任务都会给出错误的输出结果;(3) 有故障处理器产生的比较结果是不可靠的;(4) 给定同样任务和输入的两个故障处理器不能产生同样的输出结果。通过比较方法得到的诊断可以用一个带标记的图 M (V (G) , L) 来表示, 称为比较图, 其中 L 表示被标记的边的集合。一条标记边 (u, v) w表示一个从 w到 u, v 的比较, 这意味着 (u, w) , (v, w) E (G) 。在 M (V (G) , L) 中, 所有比较的结果组成的集合称为校验子,
10、记作 .r ( (u, v) w) 表示被 w 比较的顶点 u 和 v 的比较结果。如果比较结果一致, 用 r ( (u, v) w) =0 表示;否则, 用 r ( (u, v) w) =1 表示。因此, 一个校验子是一个函数:L0, 1。MM 模型是 MM 模型的一种特殊情况。在 MM 模型下, 若 (u, w) , (v, w) E (G) , 则 (u, v) wL.对于给定的校验子 , 对于顶点集 FV (G) , 如果校验子 是由顶点集 F 满足下列情况产生的, 则称 与 F 一致。由于故障的比较器产生不可靠的结果, 故一个故障集可以产生不同的校验子。令 (F) 是与 F 一致的校
11、验子的集合。对两个不同的顶点子集 F1和 F2, 若, 则称 F1和 F2是可区分的, t 为可区分的点对;否则, 称 G 和 t是不可区分的, t 为不可区分的点对。定义 1 若系统 G 中, 故障处理器的个数不超过 t, 所有的故障处理器通过一次测试全部被正确识别出来, 就称 G 是 t-可诊断的。在所有使得 G 是 t-可诊断的数中, 最大数 t 称为 G 的诊断度, 记为 t (G) .定义 2 若 G 中任意两个顶点数至多为 t 的 g 好邻条件故障集 F1, F2都是可区分的, 则称 G 是 g 好邻条件 t-可诊断的。使得 G 是 g 好邻条件 t-可诊断的最大值t 称为 G 的
12、 g 好邻条件诊断度, 记作 tg (G) .定理 3 设 F1和 F2是 G 中任意两个不同的顶点子集, 且 F1t, F 2t.则 G 是 t-可诊断的当且仅当 F1和 F2是可区分的。下面给出分层立方网络的定义。定义 4 分层立方网络 HCNn中两个结点 u= (x, y) 和 v= (w, z) 是相连的, 当且仅当恰好以下三个条件之一成立:其中 x 是比特序列 x 的二元补, 条件 (1) 导出内部边, 条件 (2) 和 (3) 导出外部边。任意节点 (X, Y) 所在的簇记为 X, 节点在簇中的位置记为 Y, (1) 中的边在同一簇中, (2) 和 (3) 的边在不同的两个簇之间。
13、2 维分层立方网络如图 1 所示。设 F 是分层立方网络 HCNn的故障点子集, 定义n=0, 1, 2, , 2-1, 且Fn=FHCN n (其中 in) .引理 57分层立方网络 HCNn有如下基本性质:HCNn的正则度为 n+1;HCNn点连通度为 n+1.引理 68当 n3 时, 分层立方网络 HCNn的 R1连通度 (HCN n) =2n.图 1 分层立方网络 HCN2Fig.1 Hierarchical cubic network HCN2 下载原图引理 78当 n3 时, 分层立方网络 HCNn的 R2连通度 (HCN n) =4n-4.引理 88假设 n3, F 是分层立方网
14、络 HCNn的故障子集, 且 F4n-5, 则有I3, 且 HCNn-FJ是连通的。2 主要结果定义顶点集 F1和 F2, F1和 F2的对称差 F1F 2= (F1-F2) (F 2-F1) .Sengupta和 Dahbura9给出了判定在 MM 模型下, F 1和 F2是否可区分的充要条件。定理 99设 F1和 F2是 G 中任意两个不同的顶点子集, 则在 MM 模型下, F 1和 F2是可区分的当且仅当满足下面三个条件之一:(1) 存在两个顶点 u, wV (G) -F 1-F2, 顶点 vF 1F 2, 使得 (u, w) E 且 (v, w) E.(2) 存在两个顶点 u, vF
15、1-F2, 顶点 wV (G) -F 1-F2, 使得 (u, w) E 且 (v, w) E.(3) 存在两个顶点 u, vF 2-F1, 顶点 wV (G) -F 1-F2, 使得 (u, w) E 且 (v, w) E.由定理 9 和定义 2 可得到下面的定理。定理 10 设 F1和 F2是 G 中任意两个不同的 g 好邻条件故障集, 且 F1t, F 2t, 则在 MM 模型下, 系统 G 是 g 好邻条件 t-可诊断的当且仅当满足下列三个条件之一:引理 11 当 n3 时, 分层立方网络 HCNn在 MM 模型下的 1-好邻条件诊断度 t1HCN () n2n+1.所以 F1和 F2
16、是 1-好邻条件故障集。由于 F1和 F2是不可区分的, F 1=2n, F2=2n+2, 故由定义 2 和定理 3 可知当 n3时, 分层立方网络 HCNn在 MM 模型下的 1-好邻条件诊断度 t1 (HCNn) 2n+1.引理 12 当 n3 时, 分层立方网络 HCNn在 MM 模型下的 1-好邻条件诊断度 t1 (HCNn) 2n+1.证明:由定理 3 可知, 只需证明 HCNn是 1-好邻条件 (2n+1) -诊断的。要证 HCNn是 1-好邻条件 (2n+1) -诊断的, 只需证明在 HCNn中任意两个顶点数至多为 2n+1 的 1-好邻条件故障集 F1, F2都是可区分的。假设
17、 HCNn中存在这样的两个 1-好邻条件故障集 F1和 F2, 它们是不可区分的, 并且 F1和 F2的顶点数不多于 2n+1.不失一般性, 假设 F2-F1.讨论下面两种情况。情况 1V (HCNn) =F1F 2.情况 2V (HCNn) F 1F 2首先给出一个断言。断言 HCNn-F1-F2不含孤立点。用反证法。当 g=1 时, 假设 HCNn-F1-F2存在一个孤立点。令 w 是 HCNn-F1-F2的一个孤立点。由于 F1是 1-好邻条件故障集, 故存在一个顶点 uF 2-F1使得 u与 w 相邻。另外由于点对 F1 (, F) 2不满足定理 9 中的任一种情况, 由定理 10可知
18、, 在 F2-F1中至多存在一个顶点 u, 使得 u 与 w 相邻。因此, 有且仅有一个顶点 uF 2-F1, 使得 u 与 w 相邻。同理可得, 有且仅有一个顶点 vF 1-F2, 使得 v 与 w 相邻。令 W 是 V (HCN) n-F1-F2中孤立点的集合, H 为由点集 V (HCN) n-F1-F2-W 导出的子图。对任一顶点 wW, 在 F1F 2中有 n-1 个邻点。因为F22n+1, 所以所以当 n3, HCN n在 MM 模型下的 1-好邻条件诊断度 tg (HCNn) 2n+1.证毕。结合引理 11 和引理 12, 我们可以得到分层立方网络 HCNn在 MM 模型下的 1
19、-好邻条件诊断度。定理 13 当 n3 时, 分层立方网络 HCNn在 MM 模型下的 1-好邻条件诊断度 t1 (HCNn) =2n+1.引理 14 当 n3 时, 分层立方网络 HCNn在 MM 模型下的 2-好邻条件诊断度 t2 (HCNn) 4n-1.由于 F1和 F2是不可区分的, 且 F1=4n-4, F2=4n, 故由定义 2 和定理 3 可知当g=2, n3 时, 在 MM 模型下, t 2 (HCNn) 4n-1.引理 15 当 n3 时, 分层立方网络 HCNn在 MM 模型下的 2-好邻条件诊断度 t1 (HCNn) 4n-1.证明:由定理 3 可知, 只需证明 HCNn
20、是 2-好邻条件 4n-1-诊断的。要证 HCNn是2-好邻条件 (4n-1) -诊断的, 只需证明在 HCNn中任意两个顶点数至多为 4n-1的 2-好邻条件故障集 F1, F2都是可区分的。假设 HCNn中存在这样的两个 2-好邻条件故障集 F1和 F2, 它们是不可区分的, 并且 F1和 F2的顶点数不多于 4n-1.不失一般性, 假设 F2-F1.讨论下面两种情况。情况 1V (HCNn) =F1F 2.因为 n3, V (HCN n) =F1F 2情况 2V (HCNn) F 1F 2首先给出一个断言。断言 HCNn-F1-F2不含孤立点。令 u 为 V (HCNn) -F1-F2的
21、一个顶点, 由断言可知, u 在 V (HCNn) -F1-F2中至少存在一个邻点。由于点对 (F 1, F2) 不满足定理 9 中任何一种情况, 由定理 10 (1) 可知, 对任何两个相邻顶点 u, wV (HCN n) -F1-F2, 不存在顶点vF 1F 2, 使得 (u, w) E (HCN n) 或 (v, w) E (HCN n) .则可知 u 在F1F 2中不存在邻点。由 u 的任意性可知, 在 V (HCNn) -F1-F2与 F1F 2之间没有边。所以当 g=2, n3 时, HCN n在 MM 模型下的 2-好邻条件诊断度, t 2 (HCNn) 4n-1.证毕。结合引理
22、 14 和引理 15, 我们可以得到分层立方网络 HCNn在 MM 模型下的 2 好邻条件诊断度。定理 16 当 n3 时, 分层立方网络 HCNn在 MM 模型下的 2 好邻条件诊断度 t2 (HCNn) =4n-1参考文献1PRETARATA F P, METZE G, CHIEN R T.On the connection assignment problem of diagnosis systemsJ.IEEE Transactions on Computers, 1967, 16:848-854. 2MAENG J, MALEK M.A comparison connection a
23、ssignment for self-diagnosis of multiprocessor systemC./Proceeding of11th International Symposium on Fault-Tolerant Computing, 1981;173-175. 3LAI P L, TAN J J M, CHANG C P, et al.Conditional diagnosability measures for large multiprocessor systemsJ.IEEE Transactions on Computers, 2005, 54:165-175. 4
24、PENG S L, LIN C K, TAN J J M, et al.The g-good-neighbor conditional diagnosability of hypercube under PMC modelJ.Applied Mathematics and Computation, 2012, 218:10406-10412. 5LIN L M, XU L, ZHOU S M.Relating the extra connectivity and the conditional diagnosability of regular graphs under the compari
25、son modelJ.Theoretical Computer Science, 2016, 618:21-29. 6BONDY J A, MURTY U S R.Graph Theory with ApplicationsM.New York:The Macmillan Press Ltd, 1976. 7GJPSE K, DESAI K R.Hierarchical cubic networkJ.IEEE Transactions On Parallel and Distributed System.1995, 6:427-435. 8ZHOU S M, SONG S L, YANG X
26、X, et al.On conditional fault tolerance and diagnosability of hierarchical cubic networksJ.Theoretical Computer Science, 2016, 609:421-433. 9SENGUPTA A, DAHBURA A.On self-diagnosable multiprocessor system:Diagnosis by the comparison approachJ.IEEE Transaction on Computers, 1992, 11:1386-1396. 10刘秀丽, 原军, 马雪.交换超立方体在 PMC 模型下的 g-好邻条件诊断度J.太原科技大学学报, 2014, 35 (5) :390-394.
