1、4.3数系的扩充教学目标 1知识目标：在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程理论)在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系 2能力目标：发展学生独立获取数学知识的能力和创新意识,3情感、态度、价值观目标：提高学生学习数学的兴趣，形成锲而不舍的钻研精神，使学生对数学有较为全面的认识初步认识数学的应用价值、科学价值和人文价值，崇尚数学具有的理性精神和科学态度，树立辩证唯物主义世界观 以上教学目标的确定，主要基于以下几个方面：,(1)依据教学大纲和教材内容的特点，由此确定第一个教学目标； (2)数系扩充的过程体现了数学的发现和创造
2、过程，有利于发展学生独立获取数学知识的能力和创新意识，由此确定第二个教学目标； (3)数系扩充的过程体现了数学发生发展的客观需求和背景，学生将在问题情境中,重点难点分析 本节内容的教学重点是了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性难点是正确理解各种数集及它们之间的关系课前准备老师：在上本节课前收集数的发展史上一些重要的、典型的事件，做成幻灯片学生：在上课前了解一些数的发展史料,教学设计 一、寻入新课 (教师活动)复习提问，并点评 (学生活动)回答问题 问题1已学数集主要有哪些? 2根据自己查阅的数学史料，说出一些对数的发展起作重大作用的历史事件和人物 设计意图：激发学生学习兴趣，引入新课,二、新
3、课讲授 【了解过程，体会作用】 (教师活动)指导学生阅读教材，打出字幕(介绍一些对数的发展起重大作用的历史事件和人物)，讲解数系扩充过程 (学生活动)阅读教材，体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程的理论)在数系扩充过程中的作用 字幕自然数充满奥秘 人类竞相寻规律,远古的人类，为了统计捕获的野兽和采集的野果，用手指或石子数个数，历经漫长的岁月，创造了自然数1、2、3、4、5、现在人们把0归入自然数，那不过是为了方便其实0并不自然，它是自然数减法的产品。自然数是现实世界最基本的数量，是全部数学的发源地自然数的全体构成自然数集N自然数的加法与乘法满足交换律、结合律以及分配律 两千多年前，
4、人们发现某些自然很怪异：6=1+2+3，28=1十2+4+7+14，496= 1+2+4+8+16+31+62+124+248，6、28、,496是各自因素(除本身外)之和，它们如同人间的全家福，故美其名曰“完全数”十八世纪，欧拉证明了所有的偶完全数必为如下形式：2n-1(2n-1)，其中n和2n一1是质数到二十世纪末，人类总共发现了33个偶完全数其中最大的一个是2859432(2859433-1) 发生在自然数中另一个奇特的事实是：220的所有因数1、2、4、5、10、11、20、22、 44、55、110之和等于284，而284的所有因数之和1+2+4+71+142恰好等于220这两个数好
5、像门当户对的亲家，你,中有我，我中有你人称“亲和数”，过了两千年，费马发现了另一对亲和数：17296，18416他的同时代的同胞笛卡尔发现了第三对亲和数：2620，2924百年之后，善于批量生产的欧拉找到了60对亲和数，又过了两百年，意大利少年帕加尼尼发现了欧拉遗漏了一对较小的亲和数：1184，1210 古希腊人说，有些自然数的平方，可以拆成两个自然数的平方如52=42+32他们还把所有这样的自然数组都找出来了两千年之后，费马发现，任何立方数都不能拆成两个立方数，进而断言，没有正整数x，y，,z满足xn+yn=zn，n3这就是著名的费马大定理，数学家为证明这个定理奋斗了二百多年直到二十世纪末，
6、才被普林斯顿大学教授怀尔斯所证明这是二十世纪最伟大的数学成就之一 18世纪，英国数学家华林发现了自然数又一个重要的内在联系：每一个自然数都是4个平方数之和，9个立方数之和，19个四方数之和，百年之后，数学大师希尔伯特证明了华林的发现是正确的1965年，陈景润证明了每一个自然数都是37个五方数之和，而且37不能再小了,还是在18世纪，中学教师哥德巴赫猜想，每一个偶数(大于6)都是两个质数之和每一个奇数(大于9)都是三个质数之和这个猜想是否正确至今无人知晓 字幕分数运算有来历理解小数不容易 大约在四千年前，为了公平分配物质，印度人引进了分数但无论是分数的确切定义和科学表示，还是分数算法，最早建立起
7、来的都是中国，这是中国对世界数学的杰出贡献之一，如在成书于公元1世纪的九章算术中，已经有约分、通分及分数的四则运算等知识分数是两个自然数之比，它适,应了人类两千多年的需要 在算术中，不讨论负数，但0在讨论之列，所以分数也包括0/n=0，由于m/n可能是自然数，这样分数包括自然数以及不是自然数的纯分数因此，自然数可视为特殊的分数当人类把数的范围从自然数扩充到分数以后，自然要求分数运算和自然数运算一样，都要满足加法、乘法的交换律与结合律以及乘法对加法的分配律，这时，分数运算还是个新事物必须给出明确的定义，人们习惯的做法是根据实际意义给出分数运算的所谓法则,引进了分数之后，分份和度量问题以及两个自然
8、数相除(除数不为0)的问题也就解决了，并且产生了小数小数与分数既有相同之处，也有区别，它们之间的差异甚至是很本质的分数可以由自然数的除法得到，而有的小数则不能，分数都是小数，小数不一定是分数小数的严格定义如同实数，是非常艰难的，直到19世纪与20世纪之交，几位数学大师从有理数出发，严格定ZT实数，小数才有了严谨的说法 字幕负数出在初世纪 千年之后才普及,为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数法的需要，人类引进了负数负数概念最早产生于我国，东汉初期的“九章算术”中就有负数的说法公元3世纪，刘徽在注解“九章算术”时，明确定义了正负数：“两算得失相反，要令正负以名之”，大意是说：意义相反的两个数，
9、应分别称为正数与负数不仅如此，刘徽还给出了正负数的加减法运算法则千年之后，负数概念才经由阿拉伯传人欧洲，那时，欧洲的数学相当进步，但普遍认可负数还经历了百年之久，据考证，分数产生于四千多年前，而负数则迟到了两千,多年，可见负数概念难以理解 负数的引进，是中国古代数学家对数学的又一巨大贡献负数概念引进后，整数集Z和有理数集Q就完整地形成了在整数集中，解决了自然数不够减的矛盾，有理数集中，解决了整数集中不能整除的矛盾，但它们同样都满足加法、乘法的运算律这样就把数集扩充到有理数集Q，显然，NZQ 字幕有理数并非有理 无理数非整数比 公元前几百年，富于理性思维的希腊人发现边长为1的正方形和正五边形对角
10、线之长都不是分数，这个发现，震撼了世界科学,界科学界从此，人类知道了世间还存在着另一类数，那就是无理数有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R实数解决了开方开不尽的矛盾，在实数集中，满足加法与乘法的运算律 我们习惯地称两个整数之比m/n(n0)为有理数，意思大概是说，这类数的存在是合理合法的在人类早期文明史中，有理数是衡量事物大小多少的惟一数量当两千多年前，古希腊数学家发现了 一类与有理数根本不同的数时，人们难以接受这个事实自然认为这个怪物的出现是非理非法的。于,是，给它扣上一顶“无理”的帽子其实，并不是这么回事，原来是翻译出了问题rationalnumber是有理数的英文名称，而，atio
11、nal是多意词，含有“比的”、“有理的”意思，而词根ratio来自希腊文，完全是“比”的意思，对rational number的正确翻译应是“比较”在东方，最早把rational number翻译过来的是东洋人，可能是那东洋人英文不太好，数学又不太懂，把它译成“有理数”，而东洋文字又和汉字形似，于是，中国人把这三个字照搬过来，沿用至今，形成习惯如果正确地把两个整数,之比叫做“比数”，那么 一类数称为“非比数”不仅顺理成章，而且名副其实字幕实数开方遇问题 虚数产生则不虚 在16世纪，人们在研究求解一元二次方程、一元三次方程时遇到求负数的平方根的问题，为了解决这一问题，1545年，意大利数学家卡丹
12、诺在大术一书中，首先研究了虚数，并进行了一些计算大约经过了一个多世纪，1832年，德国数学家高斯第一次引人复数概念，一个复数可以用a+bi来表示，其中a，b是实数，i代表虚数单位，这样就把虚数与实数统一起来了虚数集与实数,集的并集称为复数集C在复数集中，满足加法、乘法的运算律人类又将复数与平面向量联系起来，并使其在电工学、流体力学、振动理论、机翼理论中得到了广泛的实际应用然后又建立了以复数为变量的“复变函数”的理论，这是一个崭新而强有力的分支所以我们应该深刻认识到“虚数不虚的道理 设计意图：通过介绍一些对数的发展起重大作用的历史事件和人物，反映数系扩充在人类社会进步、人类文化建设中的作用，体会
13、数系扩充中人类理性思维的作用发展学,生求知、求实、勇于探索的情感和态度，体会数学体系的系统性和严密性，了解数学真理的相对性 【例题示范，学会应用】 (教师活动)打出字幕(例题)，引导学生分析，并解答 (学生活动)思考分析；尝试完成例题解答 字幕例1 解方程 x2=-a(a0),解：因为所以 i与- i都是负数-a的平方根方程x2=-a的根是x= i和z=- i 点评-a,(a0)的平方根是 i ,字幕例2在复数集C中，若b2-4ac0，解实系数一元二次方程ax2+bx+c=0 解见课本 点评在复数集C中，若b2-4ac0，实系数一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式可写成 设计意图：通过例
14、题学习，让学生掌握在复数集C中，实系数一元二次方程的解法,【课堂练习】 (教师活动)布置课堂练习(P156习题43的1，2)，要求学生独立完成或板演，巡视学生答题情况，正确的给予肯定，对偏差及时指正 (学生活动)完成练习、板演 设计意图：巩固本节课所学的知识，反馈课堂教学信息 三、小结 (教师活动)引导学生小结本节课的知识要点,(学生活动)与教师一道归纳小结，并记录笔记 1数系扩充过程：,2在复数集C中，若b2-4ac0实系数一元二次方程以ax+bx+c=0的求根公式为,设计意图：培养学生归纳概括问题的能力，强化知识目标 四、布置作业 1课本作业：习题43的3 2思考题：用集合包含符号表示复数
15、集C、小数、分数、整数集z的关系 设计意图：思考题供学生思考各数集之问的关系,【专家点评】 1本节课通过复习数集，让学生根据自己查阅的资料，说出一些在数系扩充中起过重要作用的历史事件和人物，有利于激发学生的学习兴趣，导入新课自然、合理 2教师选择介绍一些对数系扩充起重大作用的历史事件、人物和故事，生动地反映了数系扩充在人类社会进步、人类文化建设中的作用，同时也反映了社会发展对数系扩充的促进作用学生将初步了解数学科学与人类社会发展之间的相互作用，体会数学科,学中的科学价值、人文价值，开阔视野，寻求数学进步的历史轨迹，激发对于数学创新原动力的认识，提高自身的文化素养和创新意识 3本节课将数系扩充知识与正在学习的复数知识有机地结合起来，体验在复数集C中，实系数一元二次方程的解法，有利于发展学生求知、求实、勇于探索的情感和态度,
