1、,第三篇 动力学,理论力学,动力学,引 言,一.研究对象：,二.力学模型：,研究物体的机械运动与作用力之间的关系,2.质点系：由有限或无限个有着一定联系 的质点组成的系统。,1.质点：具有一定质量而不考虑其形状大小的物体。,刚体是一个特殊的质点系，由无数个相互间保持距离 不变的质点组成。又称为不变质点系。,动力学,自由质点系：质点系中各质点的运动不受约束的限制。 非自由质点系：质点系中的质点的运动受到约束的限制。 质点系是力学中最普遍的抽象化模型；包括刚体,弹性体,流体。,三.动力学分类:,质点动力学质点系动力学,质点动力学是质点系动力学的基础。,四.动力学的基本问题：大体上可分为两类： 第一
2、类：已知物体的运动情况，求作用力； 第二类：已知物体的受力情况，求物体的运动。,综合性问题：已知部分力，部分运动求另一部分力、部分运动。 已知主动力，求运动，再由运动求约束反力。,第六章 质点动力学,理论力学,61 惯性参考系中的质点动力学 62 非惯性参考系中的质点动力学,第六章 质点动力学,动力学,一.惯性参考系,6-1 惯性参考系中的质点动力学,二.牛顿定律,1.一般工程问题：固定于地面或相对于地面作匀速直线平动；2.人造卫星、洲际导弹问题：地心为原点，三轴指向三个恒星；3.天体运动问题：太阳为中心、三轴指向三个恒星。,1.第一定律（惯性定律）：2.第二定律（力与加速度之间的关系定律）：
3、3.第三定律（作用与反作用定律）：,动力学,将动力学基本方程 表示为微分形式的方程，称为质点的运动微分方程。,1.矢量形式,2.直角坐标形式,三.质点的运动微分方程,动力学,3.自然形式,质点运动微分方程除以上三种基本形式外,还可有极坐标形式, 柱坐标形式等等。,应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题。,动力学,四.质点动力学的两类基本问题,1.已知质点的运动规律，求作用于质点上的力； -求微分问题。,2.已知质点上所受的力，求质点的运动规律。 -按质点运动的初始条件和力的函数关系对运动微分方程进行求解，从数学角度看，是解微分方程或求积分，并确定相应的积分常数的问题。,例1 在曲柄
4、滑槽机构中，活塞和滑槽的质量共为50kg。曲柄OA长r=0.3m，绕轴O作匀速转动，转速n=120r/min。求滑块作用在滑槽上的水平力（各处摩擦不计）。,解：（1）取活塞为研究对象； （2）受力分析，画受力图； （3）运动分析，写出运动方程；,求加速度,由,得,例2： 离心式转速计工作原理如图所示。弹性细绳ACD系住的小球质量为m。弹性细绳的原长(未受力时的长度)为CD，弹簧常数为k。设AB=CB=l，试求转速计稳定转动时,其转动轴的角速度与偏角的关系以及杆AB所受的力。,O,解：取小球A为研究对象，分析受力。,细绳的弹性力F沿AC线，大小为,列出小球A的运动微分方程,求小球的加速度。,如果
5、sin0，则由第一式可解得故杆AB所受的力的大小为，方向与S相反。 再将S的值代入第二式，注意到三角关系，可解得,系统稳定转动时的最小角速度为,即,动力学,第一类问题解题步骤和要点：,正确选择研究对象（一般选择联系已知量和待求量的质点）。 正确进行受力分析,画出受力图(应在一般位置上进行分析)。 正确进行运动分析（分析质点运动的特征量）。 选择并列出适当形式的质点运动微分方程（建立坐标系）。 求解未知量。,动力学,解：选重物(抽象为质点)为研究对象 受力分析如图所示,运动分析，沿以O为圆心, L为半径的圆弧摆动。,课堂练习. 桥式起重机跑车吊挂一重为G的重物，沿水平横梁作匀速运动，速度为 ，重
6、物中心至悬挂点距离为L。突然刹车，重物因惯性绕悬挂点O向前摆动，求钢丝绳的最大拉力。,动力学,列出自然形式的质点运动微方程,求解未知量,注减小绳子拉力途径：减小跑车速度或者增加绳子长度。 拉力Tmax由两部分组成, 一部分等于物体重量,称为静拉力一部分由加速度引起，称为附加动拉力。全部拉力称为动拉力。,动力学,2.第二类：已知作用在质点上的力，求质点的运动（积分问题） 已知的作用力可能是常力, 也可能是变力。变力可能是时间、位置、速度或者同时是上述几种变量的函数。,如力是常量或是时间及速度函数时， 可直接分离变量 。,如力是位置的函数，需进行变量置换,动力学,列直角坐标形式的质点运动微分方程并
7、对其积分运算,微分方程 积分一次 再积分一次,解：属于已知力为常量的第二类问题。 选择填充材料M为研究对象，受力如图所示，M作斜抛运动。,例3 煤矿用填充机进行填充, 为保证充填材料抛到距离为S=5米,H=1.5米的顶板A处。求 (1)充填材料需有多大的初速度v0 ? (2)初速 与水平的夹角a0？,动力学,初始条件：,动力学,代入最高点A处值，得： 即将到达A点时的时间t, x=S, y=H 代入运动方程，得,发射初速度大小与初发射角 为,约束条件：,例4：求质量为m的质点M在粘性介质中自由下落的运动方程。设质点受到的阻尼力Fr=-cv，c称为粘度系数，简称粘度。初始时质点在介质表面上被无初
8、速度释放。,解：取质点M为研究对象，作用其上的力有重力和介质阻尼力，均为已知，求质点的运动，属于动力学第二类问题。,在任意位置上，有,本题中力是速度的函数，采用变量分离法，考虑运动初始条件：t=0，x0=0，v0=0，对上式积分一次,或,于是,有,即,分离变量，再积分一次,质点的运动方程,质点开始做加速运动，速度增大，随着时间的增加，质点其与速度方向相同的加速度逐渐减小。当t时，速度图形趋于一渐近线，即质点的速度趋于常数。,此速度为质点在阻尼介质中运动的极限速度。跳伞运动员着地时的速度即可由该式求出。,动力学,例5 发射火箭，求脱离地球引力的最小速度。,解：属于已知力是位置的函数的第二类问题。
9、 取火箭(质点)为研究对象, 建立坐标如图示。火箭在任意位置x 处受地球引力F 的作用。,则在任意位置时的速度,即：,动力学,可见，v 随着 x 的增加而减小。若则在某一位置x=R+H 时速度将减小到零，火箭回落。若时，无论x多大（甚至为）, 火箭也不会回落。因此脱离地球引力而一去不返 时（）的最小初速度,（第二宇宙速度）,动力学,第二类问题解题步骤如下：正确选择研究对象。正确进行受力分析，画出受力图。 判断力是什么性质的力（应放在一般位置上进行分析， 对变力建立力的表达式）。正确进行运动分析。 除应分析质点的运动特征外，还要确定 出其运动初始条件。,动力学,选择并列出适当的质点运动微分方程。
10、,如力是常量或是时间及速度函数时， 可直接分离变量 。,求解未知量。应根据力的函数形式决定如何积分，并利用运动的初始条件，求出质点的运动。,如力是位置的函数，需进行变量置换,动力学,一.基本方程,6-2 非惯性参考系中的质点动力学,对于动参考系Oxyz,将上式代入牛顿第二定律F=ma=m(ar+ae+aC)或表示为 mar=F-maemaC,令：FIe=-mae，FIC=-maC，分别称为牵连惯性力和科氏惯性力。,质点相对运动微分方程,质点相对运动的动力学方程。,当非惯性参考系作平动时，,当非惯性参考系作匀速直线平动时，,即质点的相对运动动力学方程与绝对运动动力学方程完全相同。,古典力学的相对
11、性原理：在一个系统内部所做的任何力学试验，都不能确定这一系统是静止的还是在作匀速直线平动。也称为伽利略、牛顿相对性原理。,当质点相对于动参考系作匀速直线运动时，,当质点相对于动参考系静止不动时，,例6 固定在铅垂杆CD上的直管AB绕轴线以匀角速度转动，直管轴线与转动轴成45角，管内有一小球由相对静止状态开始运动。设小球的起始位置到O点的距离为a。忽略摩擦，求小球沿直管的运动方程。,解：取小球为研究对象,质点的相对运动动力学方程在x方向的投影式为,该微分方程的解可表示为,其中x1为（a）式的齐次方程 的解,x2为（a）式的非齐次方程的特解,于是,根据初始条件t=0, 得,解得,故,二.质点相对地
12、球的运动,例7 北京位于地球表面北纬=40处，在北京的上空h=100m处有一质量为m的质点自由下落，求由于地球自转的影响，落体到达地面时对于铅垂线的偏离量。（落体偏东现象）,解：选取固结于地球的非惯性参考系为Oxyz，其中z轴近似通过地球中心，铅直向上，x轴水平向东，y轴水平向北。,质点的受力有：地球引力F；分析质点相对地球的运动时，应再加上牵连惯性力FIe和科氏惯性力FIC。,其中地球引力F和牵连惯性力FIe之和，就是物体在地球表面表现出的重力P，即,科氏惯性力,质点的相对运动微分方程,投影形式为,采用逐次近似法解上述微分方程。,初始条件为， 时,由于地球自转的角速度很小，在最初的计算中，可取,则式(1)的零次近似方程为,积分一次得零次近似的速度,代入式(1)，得一次近似的微分方程,上式积分一次，得一次近似速度,再积分一次，得一次近似的运动方程为,即：落体已不再沿z 轴下落，而在x方向有偏离，偏距与时间t的三次方成正比。因此，下落距离愈大，偏距也就愈大。,如果,动力学,第六章结束,
