1、学而思奥数网，助你考入优秀的重点中学！ 联系电话：62164116学而思奥数网 Page 1 of 81 第 13 讲 植树问题内容概述几何图形的设计与构造，本讲讲解一些有关的植树问题典型问题1今有 10 盆花要在平地上摆成 5 行，每行都通过 4 盆花请你给出一种设计方案，画图时用点表示花，用直线表示行【分析与解】 如下图所示：2今有 9 盆花要在平地上摆成 10 行，每行都通过 3 盆花请你给出一种设计方案，画图时用点表示花，用直线表示行【分析与解】 如下图所示：3今有 10 盆花要在平地上摆成 10 行，每行都通过 3 盆花请你给出一种设计方案，画图时用点表示花，用直线表示行【分析
2、与解】 如下图所示：4今有 20 盆花要在平地上摆成 18 行，每行都通过 4 盆花请你给出一种设计方案，画图时用点表示花，用直线表示行【分析与解】 如下图所示：5今有 20 盆花要在平地上摆成 20 行，每行都通过 4 盆花请你给出一种设计方案，画图时用点表示花，用直线表示行【分析与解】 如下图所示：学而思奥数网，助你考入优秀的重点中学！ 联系电话：62164116学而思奥数网 Page 2 of 81 第 14 讲 数字谜综合内容概述各种具有相当难度、求解需要综合应用多方面知识的竖式、横式、数字及数阵图等类型的数字谜问题 典型问题1ABCD 表示一个四位数，EFG 表示一个三位数，A
3、，B，C，D，E，F，G 代表 1 至 9 中的不同的数字已知 ABCD+EFG=1993，问：乘积 ABCDEFG 的最大值与最小值相差多少?【分析与解】 因为两个数的和一定时，两个数越紧接，乘积越大；两个数的差越大，乘积越小A 显然只能为 1，则 BCD+EFG=993，当 ABCD 与 EFG 的积最大时，ABCD、EFG 最接近，则 BCD 尽可能小，EFG 尽可能大，有 BCD 最小为234，对应 EFG 为 759，所以有 1234759 是满足条件的最大乘积；当 ABCD 与 EFG 的积最小时，ABCD、EFG 差最大，则 BCD 尽可能大，EFG 尽可能小，有 EFG 最小为
4、234，对应 BCD 为 759，所以有 1759234 是满足条件的最小乘积；它们的差为 12347591759234=(1000+234)759 一(1000+759)234=1000（759234)=5250002.有 9 个分数的和为 1，它们的分子都是 1其中的 5 个是 , , , , 另外 4 个数的分母137913个位数字都是 5请写出这 4 个分数 【分析与解】 l 一( + + + + )= =37913201051需要将 1010 拆成 4 个数的和，这 4 个数都不是 5 的倍数，而且都是 3371l 的约数因此，它们可能是 3，7，9，11，21，33，77，63，9
5、9，231，693经试验得 693+231+77+9=1010所以，其余的 4 个分数是： , , , .51383.请在上面算式的每个方格内填入一个数字，使其成为正确的等式【分析与解】 1988=2277l=4497， + ，在等式两边同时乘上 ，就得 +12431497564 显然满足题意1984又 + = ，两边同乘以 ，就得 + 显然也满足350142970180+ ， + 均满足.1289564小明按照下列算式： 乙组的数口甲组的数1= 对甲、乙两组数逐个进行计算，其中方框是乘号或除号，圆圈是加号或减号他将计算结果填入表141 的表中有人发现表中 14 个数中有两个数是错的请你改正问
6、改正后的两个数的和是多少? 学而思奥数网，助你考入优秀的重点中学！ 联系电话：62164116学而思奥数网 Page 3 of 81 【分析与解】 甲组的前三个数 0.625， ， 都是小于 1 的数，2 与这三个数运算后，得2394735.05，4 ，4 ；不论减 1 还是加 l 后，这三个数都比 2 大，而这是 2 与小于 1 的数运算的516 7结果，因此可以猜想方框内是除号现在验算一下：2 0.625= = =4.05；7382502 = =3 ；131642 = = =3 ；942 3= .73从上面四个算式来看，圆圈内填加号，这样有三个结果是对的，而 4 是错的516按照算式
7、乙组的数甲组的数+1*23+1=1 ，显然不为 1.5，上面已认定 3 是正确的，因此，只有把 2 改为 1.5，才有231.53+1=1 ，而 1.50.625+l=3.4，1.5 +1=3.2512由此可见，确定的算式*是正确的表中有两个错误，4 应改为 4 ，2 应改为 1.5，5614 +1 =5+ =6 156287改正后的两个数的和是 6 15图 143 中有大、中、小 3 个正方形，组成了 8 个三角形现在先把 1，2，3，4 分别填在大正方形的 4 个顶点上，再把 1，2，3，4 分别填在中正方形的 4 个顶点上，最后把 1，2，3，4 分别填在小正方形的 4 个项点上(1)能
8、否使 8 个三角形顶点上数字之和都相等?如果能，请给出填数方法：如果不能，请说明理由学而思奥数网，助你考入优秀的重点中学！ 联系电话：62164116学而思奥数网 Page 4 of 81 (2)能否使 8 个三角形顶点上数字之和各不相同?如果能，请给出填数方法；如果不能，请说明理由【分析与解】 (1)无论怎样填法，都不可以使八个三角形顶点上数字之和相等事实上，假设存在某种填法使得八个三角形顶点上数字之和都相等，不妨设每个三角形顶点上数字之和为 k在计算八个三角形顶点上数字之和时，大正方形四个顶点上每个数字恰好使用过一次；中正方形四个顶点上每个数字各使用过三次；小正方形四个顶点上每个数字
9、各使用过二次因此，这八个三角形顶点上数字之和的总和为：8k=(1+2+3+4)+3(1+2+3+4)+2(1+2+3+4)，即 8k=60,k 不为整数，矛盾，所以假设是错误的(2)易知：不可能做到三角形的三个顶点上数字完全相同，所以三角形顶点上数字之和最小为 1 +1+2=4，最大为 3+4+411而 411 共 8 个数，于是有可能使得 8 个三角形顶点上数字之和各不相同，可如下构造，且填法不惟一图(a)和图(b)是两种填法6图 145 中有 11 条直线请将 1 至 11 这 11 个数分别填在 11 个圆圈里，使每一条直线上所有数的和相等求这个相等的和以及标有*的圆圈中所填的数【分析与
10、解】 表述 1：设每行的和为 S，在左下图中，除了 a 出现 2 次，其他数字均只出现了 1次，并且每个数字都出现了，于是有 4S=(1+2+3+11)+a=66+a；学而思奥数网，助你考入优秀的重点中学！ 联系电话：62164116学而思奥数网 Page 5 of 81 在右上图中除了 a 出现 5 次，其他数字均只出现了 1 次，并且每个数字都出现了，于是有5S=(1+2+3+11)+4a66+4a综合以上两式 ，46(1)2S5-4 得 66-11a=0，所以 a=6，则 S=18考虑到含有*的五条线，有 4*+(1+2+3+4+11)-t=5S=90即 4*-t=24，由 t 是
11、 111 间的数且t*，可知*=7，而每行相等的和 S 为 18.表述 2：如下图所示，在每个圆圈内标上字母，带有*的圆圈标为 x，首先考虑以下四条直线：(h、f、a)，(i、g、a)，(x、d、b)，(j、e、c)，除了标有 a 的圆圈外，其余每个圆圈都出现了一次，而标有 a 的圆圈出现了两次，设每条直线上数字之和为 S，则有：(111)112+a=4S，即 66+a=4S再考虑以下五条直线：(h、f、a)，(i、g、a)，(j、x、a)，(e、d、a)，(c、b、a)，同理我们可得到 66+4a=5S综合两个等式 ，可得 a 为 6，每条直线上和 S 为 18645aS最后考虑含 x 的五
12、条直线：(x、h)，(x、g、f)，(j、x、a)，(x、d、b)，(i、x、c)其中除了x 出现了 5 次，e 没有出现，其他数字均只出现了一次，于是可以得到：66+4xe=5S=90，即 4x-e=24，由 e 是 111 间的数且 ex 可知 x=7即每行相等的和 S 为 18，*所填的数为 77一个六位数，把个位数字移到最前面便得到一个新的六位数，再将这个六位数的个位数字移到最前面又得到一个新的六位数，如此共进行 5 次所得的新数连同原来的六位数共 6 个数称为一组循环数已知一个六位数所生成的一组循环数恰巧分别为此数的 l 倍，2 倍，3 倍，4 倍，5 倍，6 倍，求这个六位数学而思
13、奥数网，助你考入优秀的重点中学！ 联系电话：62164116学而思奥数网 Page 6 of 81 【分析与解】方法一： = ， = ， ， ， 17.042857.02851437.0285147.02857， 。.07142856.对应有 142857，285714，428571，571428，714285，857142，它们依次是 142857 的1、2、3、4、5、6 倍且只用了 1、4、2、8、5、7 这 6 个数字，满足题意所以这个六位数为 142857方法二：首先可以确定最小的六位数的首位为 1，不然 2*的 6 倍就不是六位数，于是不妨设这个六位数为 ，那么 6 个六位数
14、中必定存在一个数为 .abcde 1abcde而个位数字 1，只能由 11，37 或 99 得到但是 只能对应为 (26)，所abcde以只能是 3 得到即 = 3ce1abcde于是，我们不难递推出 d 为 5，c 为 8，b 为 2，a 为 4，所以这个六位数为 142857方法三：部分同方法二， = 3那么有 10+l=(100000+ )3，解得 =42857abceecde所以这个六位数为 142857学而思奥数网，助你考入优秀的重点中学！ 联系电话：62164116学而思奥数网 Page 7 of 81 15 讲 计数综合 1内容概述将关键的已知数据看作变量，得到一类结构相同
15、的计数问题，通过建立这些问题的结果所构成数列的递推关系，逐步地求得原问题的答案与分数、几何等相关联的计数综合题典型问题1一个长方形把平面分成两部分，那么 3 个长方形最多把平面分成多少部分? 【分析与解】 一个长方形把平面分成两部分第二个长方形的每一条边至多把第一个长方形的内部分成 2 部分，这样第一个长方形的内部至多被第二个长方形分成五部分 同理，第二个长方形的内部至少被第一个长方形分成五部分这两个长方形有公共部分(如下图，标有数字 9 的部分)还有一个区域位于两个长方形外面，所以两个长方形至多把平面分成 10 部分第三个长方形的每一条边至多与前两个长方形中的每一个的两条边相交，故第一条边被
16、隔成五条小线段，其中间的三条小线段中的每一条线段都把前两个长方形内部的某一部分一分为二，所以至多增加 34=12 个部分而第三个长方形的 4 个顶点都在前两个长方形的外面，至多能增加 4 个部分所以三个长方形最多能将平面分成 10+12+4=262一个楼梯共有 10 级台阶，规定每步可以迈 1 级台阶或 2 级台阶，最多可以迈 3 级台阶从地面到最上面 1 级台阶，一共可以有多少种不同的走法?【分析与解】 我们知道最后一步可以迈 1 级台阶、2 级台阶或 3 级台阶，也就是说可以从倒数第1、2 或 3 级台阶直接迈入最后一级台阶即最后一级台阶的走法等于倒数第 1、2 和 3 级台阶的走法和而倒
17、数第 l 级台阶的走法等于倒数第 2、3 和 4 级台阶的走法和，如果将 1、2、3级台阶的走法依次排成一个数列，那么从第 4 项开始，每一项等于前 3 项的和有 1，2，3 级台阶的走法有 1，2，4 种走法，所以 4，5，6，7，8，9，10 级台阶的走法有7，13，24，44，81，149，274 种走法 3一个圆上有 12 个点 A1，A 2，A 3，A 11，A 12以它们为顶点连三角形，使每个点恰好是一个三角形的顶点，且各个三角形的边都不相交问共有多少种不同的连法?【分析与解】我们采用递推的方法I 如果圆上只有 3 个点，那么只有一种连法学而思奥数网，助你考入优秀的重点中学！
18、联系电话：62164116学而思奥数网 Page 8 of 81 如果圆上有 6 个点，除 A1点所在三角形的三顶点外，剩下的三个点一定只能在 A1所在三角形的一条边所对应的圆弧上，表 1 给出这时有可能的连法如果圆上有 9 个点，考虑 A1所在的三角形此时，其余的 6 个点可能分布在：A 1所在三角形的一个边所对的弧上；也可能三个点在一个边所对应的弧上，另三个点在另一边所对的弧上在表 2 中用“+”号表示它们分布在不同的边所对的弧如果是情形，则由，这六个点有三种连法；如果是情形，则由，每三个点都只能有一种连法共有 12 种连法最后考虑圆周上有 12 个点同样考虑 A1所在三角形，剩下 9
19、个点的分布有三种可能：9 个点都在同一段弧上：有 6 个点是在一段弧上，另三点在另一段弧上；每三个点在 A1所在三角形的一条边对应的弧上得到表 3共有 123+36+155 种学而思奥数网，助你考入优秀的重点中学！ 联系电话：62164116学而思奥数网 Page 9 of 81 所以当圆周上有 12 个点时，满足题意的连法有 55 种.4现在流行的变速自行车，在主动轴和后轴分别安装了几个齿数不同的齿轮用链条连接不同搭配的齿轮，通过不同的传动比获得若干挡不同的车速 “希望牌”变速自行车主动轴上有 3 个齿轮，齿数分别是 48，36，24；后轴上有 4 个齿轮，齿数分别是 36，24，16
20、，12问：这种变速车一共有多少挡不同的车速?【分析与解】算出全部的传动比，并列成表：这里有 4 对传动比是相同的：1， ，2，3，将重复的传动比去掉，剩下 8 个不同的比，所以共有 8 挡不同的车速5分子小于 6，分母小于 60 的不可约真分数有多少个?【分析与解】 分子的取值范围是从 1 到 5当分子为 1 时，分母可从 2 到 59，共有 58 个真分数，它们当然都是不可约分数 由于 2，3，5 都是质数，因此当分子分别为 2，3，5 时，分母必须而且只需适合下列两个条件：分母大于分子且小于 60分母不是分子的倍数易知：当分子为 2 时，适合条件的分母有 29 个；当分子为 3 时，适合条
21、件的分母有 38 个：当分子为 5 时，适合条件的分母有 44 个；最后来看分子为 4 的情形，与分子为 2 基本相同，分母不能为偶数，此外分母不能为 3所以共有 28(=291)个总之，符合要求的分数共有 58+29+38+44+28197 个6一个正方形的内部有 1996 个点，以正方形的 4 个顶点和内部的 1996 个点为顶点，将它剪成一些三角形问：一共可以剪成多少个三角形?如果沿上述这些点中某两点之间所连的线段剪开算作一刀，那么共需剪多少刀?【分析与解】方法一：如下图，采用归纳法，列出 1 个点、2 个点、3 个点时可剪出的三角形个数，需剪的刀数学而思奥数网，助你考入优秀的重点中学！
22、 联系电话：62164116学而思奥数网 Page 10 of 81 不难看出，当正方形内部有 n 个点时，可以剪成 2n2 个三角形，需剪 3n+l 刀，现在内部有1996 个点，所以可以剪成 21996+2=3994 个三角形，需剪 31996+1=5989 刀方法二：我们知道内部一个点贡献 360 度角，原正方形的四个顶点共贡献了 360 度角，所以当内部有 n 个点时，共有 360n+360 度角，而每个三角形的内角和为 180 度角，所以可剪成(360n+360)180=2n+2 个三角形2n+2 个三角形共有 3(2n+2)=6n+6 条边，但是其中有 4 条是原有的正方形的
23、边，所以正方形内部的三角形边有 6n+64=6n+2 条边，又知道每条边被 2 个三角形共用，即每 2 条边是重合的，所以只用剪(6n+2)23n+1 刀本题中 n=1996，所以可剪成 3994 个三角形，需剪 5989 刀7如图 153，某城市的街道由 5 条东西与 7 条南北向马路组成现在要从西南角的 A 处沿最短路线走到东北角的 B 处，由于修路十字路口 C 不能通过，那么共有多少种不同走法?【分析与解】 因为每个路口(点)只能由西边相邻点、南边相邻点走过来，所以达到每个点的走法为西边相邻点、南边相邻点的走法之和，并且最南方一排、最西方一排的所有点均只有 1 种走法因为 C 点不能通过
24、，所以 C 处所标的数字为 0如下图所示：所以，从 A 到 B 满足条件的走法共有 120 种8经理将要打印的信件交给秘书，每次给一封，且放在信封的最上面，秘书一有空就从最上面拿一封信来打有一天共有 9 封信打，经理按第 1 封，第 2 封，第 9 封的顺序交给秘书午饭时，秘书告诉同事，已把第 8 封信打印好了，但未透露上午工作的其他情况，这个同事很想知道是按什么顺序来打印根据以上信息，下午打印的信的顺序有多少种可能?(没有要打的信也是一种可能)【分析与解】 我们根据最后一封信来计数：(1)第 9 封信在上午送给秘书；于是，T=1，2，3，4，5，6，7，9则下午打印的每种可能都是 T 的一个子集，因为秘书可以把不在子集中的信件上午一送来就打完了，而未打别的信集 T 有 8 个元素，故有 28=256 个不同子集(包括空集)(2)第 9 封信在午后才送给秘书令S1，2，3，4，5，6，7，则上午未打印的信的号码是 S 的一个子集若将 9 排在子集之后，则与中的情形相同，故只有子集中至少有一封信已把号码 9 放在该子集的非最后的位置上对于有 k 个元素的子集，号码 9 有 k个位置可放，即可放在第 i 一 1 个元素之后和 i 个元素之前，i=1，2，k于是不同的顺序总数为：0C07+1C17+2C27+7C77=7272=726=448即下午有 448 种可能的打印顺序
