1、第八节函数与方程,1函数零点(1)定义：对于函数yf(x)(xD)，把使_成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点(2)函数零点与方程根的关系：方程f(x)0有实根函数yf(x)的图象与_有交点函数yf(x)有 _,f(x)0,x轴,零点,(3)零点存在性定理：如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_，那么函数yf(x)在区间_内有零点，即存在x0(a，b)，使得_,f(a)f(b)0)的图象与零点的关系,(x1，0)，(x2，0),(x1，0),1函数的零点是函数yf(x)的图象与x轴的交点吗？【提示】不是函数的零点是一个实数，是函数yf(x)的图象与x轴交点
2、的横坐标,2“f(a)f(b)0”是“函数yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续)”的什么条件？【提示】f(a)f(b)0函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，反之不一定成立，如函数f(x)x22x1在区间(0，2)内有零点x1，但f(0)f(2)0，因此，“f(a)f(b)0”是“函数f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续)”的充分不必要条件,1(人教A版教材习题改编)若函数f(x)x2mx1有两个零点，则实数m的取值范围是()A(1，1)B(2，2)C(，2)(2，) D(，1)(1，)【解析】依题意，m240，m2或m2.【答案】C,【答案】C,【答案】C,【答案】B
3、,5(2013德州调研)已知函数f(x)x2xa在区间(0，1)上有零点，则实数a的取值范围是_【解析】函数f(x)x2xa在(0，1)上递增由已知条件f(0)f(1)0，即a(a2)0，解得2a0.【答案】(2，0),【思路点拨】(1)先根据零点存在性定理证明有零点，再根据函数的单调性判断零点的个数(2)画出两个函数的图象寻找零点所在的区间,【尝试解答】(1)因为f(x)2xln 23x20，所以函数f(x)2xx32在(0，1)上递增，且f(0)10210，所以有1个零点,【答案】(1)B(2)(1，2),确定函数f(x)零点所在区间的常用方法(1)解方程法：当对应方程f(x)0易解时，可
4、先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上；(2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数yf(x)在区间a，b上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)0.若有，则函数yf(x)在区间(a，b)内必有零点(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断,【答案】D,【思路点拨】解答(1)可用基本不等式求出最值或数形结合法求解，(2)转化为两个函数f(x)与g(x)有两个交点，从而数形结合求解,可知若使g(x)m有零点，则只需m2e.故当g(x)m有实数根时，m的取值范围为2e，),f(x)x22exm1(xe)2m1e2，其图象的对称轴为xe，开口向下，最大值为m1e
5、2，故当m1e22e，即me22e1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)f(x)0有两个相异实根m的取值范围是(e22e1，),已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解,1.函数的零点不是点，是方程f(x)0的实根2函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个
6、区间上存在零点的充分不必要条件,函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点,从近两年高考试题看，函数的零点、方程的根的问题是高考的热点，题型以客观题为主，主要考查学生转化与化归及函数与方程的思想,思想方法之五用函数与方程思想解决图象公共点问题,【答案】B,易错提示：(1)不能把函数图象的交点问题转化为方程的根的问题，找不到解决问题的切入点(2)不能把方程根的情况与相应函数的极值大小联系起来，思维受阻，无法解答防范措施：(1)明确函数图象的交点、方程的根与函数的零点三者之间的关系是解决问题的关键所在(2)方程的根的情况与函数的极值的大小有密切的关系，求解时应注意寻找它们之间的关系,1(2012湖北高考)函数f(x)xcos 2x在区间0，2上的零点的个数为()A2B3C4D5,【答案】D,【答案】A,课后作业（十一）,
