1、第 1 页 共 19 页高中数学函数专题1已知在实数域 R 上可导的函数 对任意实数 都有)(xfy21,x若存在实数 ，使 ，),()(212xfxfba, 0)(bff且求证：（1） ；（2） 上是单调函数0,在证明：（1） 2)(ffff 又 ,()()(0,()22xxxfaa0)()(2xfxf即（2） bfbfbf xxx 1limlim)lim000即 )(1)()(1)(li0 fxfffx 在 R 上是单调递增函数.), bf2已知抛物线 C 的方程为 为焦点，直线 与 C 交于Fxy,420:1kyklA、B 两点，P 为 AB 的中点，直线 过 P、F 点。l（1）求直线
2、 的斜率关于 的解析式 ，并指出定义域；2lk)(kf（2）求函数 的反函数 ；（3）求 与 的夹角 的取值范围。)(f1f1l2（4）解不等式 。,02logaxa解：（1） 142ky 0642ky 1k0,12,21 Fkxpp 12)(2kkf（2） 4)(21kf（3） 4,0,10,1,3 tgkftg（4） ，原不等式为 4241)(21 xxf 021log2xxa当 时， ；当 时， ，显然，a1,2aa104时， ；当 时， 。10x42ax第 2 页 共 19 页3已知二次函数 有最大值且最大值为正实数，集合)(41)(2Rtatbatf ，集合 .0|xA|2xB（1）
3、求 和 ；（2）定义 与 的差集： 且 .设 ， ， 均为整数，且 。A|BxabxAx为 取自 的概率， 为 取自 的概率，写出 与 的三组值，使)(EP)(FP， ，并分别写出所有满足上述条件的 （从大到小） 、 （从小到大）31)(F依次构成的数列 、 的通项公式（不必证明） ；nab（3）若函数 中， ，)(tfnn（理）设 、 是方程 的两个根，判断 是否存在最大值及最小值，若存120)(tf |21t在，求出相应的值；若不存在，请说明理由。（文）写出 的最大值 ，并判断 是否存在最大值及最小值，若存在，求出)(tf )(f相应的值；若不存在，请说明理由。解：（1） 有最大值， .配
4、方得 ，由)()(412Rttbatfa 0aabtaf412)(). ， 。104ba 0|xA|bxB（2）要使 ， 。可以使 中有 3 个元素， 中有 2 个元素， 中32)(EP31)(FABABA有 1 个元素.则 . 中有 6 个元素， 中有 4 个元素， 中有 2 个元素。,4ba则 . 中有 9 个元素 , 中有 6 个元素, 中有 3 个元素.则,7ba . .01,3nn（3） （理） ，得 .0)(tf 0b，6916921121 224|)( nnnatttng ，当且仅当 时等号成立.69n31 在 上单调递增。 .又 ，故没有最小值。)(N4max21)(|gt 0
5、)(limgn（文） 单调递增，nnabg4241 ，又 ，没有最大值。min)()(ff 12)(lif第 3 页 共 19 页4已知函数 是奇函数 。1log)(xmfa )1,0(a(1)求 m 的值；（2）判断 在区间 上的单调性并加以证明；）（ xf),(（3）当 时， 的值域是 ，求 的值.2,1ra(f),(r与解:（1）m=1（2）由（1） ， ).1,0log)(axfa任取 ，1)(,()(, 21212 xtxttx则令设.)1)( 2211xt,2,0,011.)(211 xtx即上是减函数；),(,1logl, 在时当 xfaaa当 01 时，要使 的值域是 ，则 ，
6、xf),(1loga01),1x即而 a1，上式化为 xa又 当 x1 时， .当 .),12(log1l)( xf aa 0)(f 0)(,1xfx时因而，欲使 的值域是 ，必须 ，所以对不等式，当且仅当f,时成立. 1.32,1,12arar得解 之第 4 页 共 19 页5|AB|=|x B-xA|表示数轴上 A、B 两点的距离，它也可以看作满足一定条件的一种运算。这样，可以将满足下列三个条件的一个 x 与 y 间的运算 p(x,y)叫做 x,y 之间的距离：条件一，非负性 p(x,y)0，等号成立当且仅当 x=y；条件二，交换律 p(x,y)=p(y,x);条件三，三角不等式 p(x,
7、z)p(x,y)+p(y,z).试确定运算 s(x,y)= 是否为一个距离？是，证明；不是，举出反例。|1yx解：要说明 s(x,y)是否为距离，只要验证它是否满足三条即可s(x,y)= 0 等号成立当且仅当|x-y|=0,即 x=y ，第一条满足|yxs(x,y)= = =s(y,x) ，第二条也满足|1|xs(x,z)= 函数 f(x)= =1- (或 )在 x0 上单调增，且|x-|zx1x1z|x-y|+|y-z|(8 分）s(x,z) =|zy|zyx+ + =s(x,y)+s(y,z) （10 分）|1zyx|1yx|总之，s(x,y)是距离6已知曲线 相交于点 A，以其上一动点
8、P（x 0,y0）为切轴与dcbaL23:点的直线 l 与 y 轴相交于 Q 点.（）求直线 l 的方程，并用 x0 表示 Q 点的坐标；（）求 sinm0APx(）解： cbaxkcbxad 02023,3),( 00200200 )()( yxcxyy Q得令3, ycbxaQ（）由正弦定理得： 0 32 3200 0200320200| |sin()()|i |lmlisxxabcxdabAPxxcxc第 5 页 共 19 页7设 、 为常数， ：把平面上任意一点（ ， ）ab FxbaxfM;sinco)(|ab映射为函数 （1）证明：不存在两个不同点对应于同一个函数；.sincox（
9、2）证明：当 时， ，这里 t 为常数；f)(0 Mtff)(0（3）对于属于 M 的一个固定值 ，得 ，在映射 F 的作用) ),(01Rf下， M1作为象，求其原象，并说明它是什么图象？答案：（1）假设有两个不同的点（ ， ） ， （ ， ）对应同一函数，即abcd与 相同，xbabFsinco),(xdcFsino),(即 对一切实数 x 均成立。特别令 x=0，得 a=c；令xiis，得 b=d 这与（ a，b） ， （c，d）是两个不同点矛盾，假设不成立 .2故不存在两个不同点对应同函数。（2）当 时，可得常数 a0， b0，使xf)(0 xbaxfsinco)(001tfsin)o
10、s(0ttxba icincos由于 为常数，设 是常数.t,0 mttmtt ,si,i000 则从而 。Mmxfsi)(1（3）设 ，由此得 xntxfios)(（ ， ）tbtainco00其 中 tabc00在映射 F 下， 的原象是（m，n） ，则 M1的原象是)(f ,si,si|),( Rttttn 消去 t 得 ，即在映射 F 下，M 1的原象 是202 |),(202banm以原点为圆心， 为半径的圆。ba8试构造一个函数 ，使得对一切 有 恒成立，但是(),fxDxD|()|(|fxf既不是奇函数又不是偶函数，则 可以是()fx()f 2,1)9设 ABC= ,且 AB=
11、,符合此条件的(A,B,C)共有(注:A,B,C 顺序不同5432,131为不同组) (A) A.500 组 B.75 组 C.972 组 D.125 组第 6 页 共 19 页10电信局为了配合客户的不同需要，设有 A，B 两种优惠方案.这两种方案应付电话费（元）与通话时间（分钟）之间的关系如图所示（实线部分）(.注：图中 MNCD)试问：（I）若通话时间为 2 小时，按方案 A、B 各付话费多少元？ （II）方案 B 从 500 分钟后，每分钟收费多少元？（III）通话时间在什么范围内，方案 B 才会比方案 A 优惠？解：设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为 则由已知及图象可得
12、),(,xfA9806()3,();1Afx168,(05)()3;.Bxfx（I）通话时间 2 小时，按方案 A，B 各付话费 116 元和 168 元；（II）因为 ，所以方案 B 从 500 分钟后，每分钟收费 0.3)50(.13)(nfnfB元元；（III）由图象知，当 时，由60x),(xffA可得),(,),(,504 fffx BB 由时在时当 .380x即当通话时间在（ ，方案 B 比方案 A 优惠.38第 7 页 共 19 页11、(04 河南)若 求函数 的单调区间.,Raaxef2)(解： 2(xaxfe（I）当 a=0 时，若 x0,则 0.所以当 a=0 时，函数
13、f(x)在区)(f )(f间（，0）内为减函数，在区间（0，+）内为增函数.（II）当 ,02,02,2 xaa或解 得由时由 .2xax解 得所以，当 a0 时，函数 f(x)在区间（， ）内为增函数，在区间（ ，0）a2内为减函数，在区间（0，+）内为增函数；（III）当 a0，解得 0 .a所以当 a0x 1，x 2是方程 x2-ax-2=0 的两非零实根，x1+x2=a， 从而|x 1-x2|= 21214)(xx= 8a.x1x2=-2，-1a1，|x 1-x2|= 8a3.要使不等式 m2+tm+1|x 1-x2|对任意 aA 及 t-1，1恒成立，当且仅当 m2+tm+13 对任
14、意 t-1，1恒成立，即 m2+tm-20 对任意 t-1，1恒成立. 设 g(t)=m2+tm-2=mt+(m2-2)，方法一：g(-1)=m2-m-20， g(1)=m2+m-20，m2 或 m-2.所以，存在实数 m，使不等式 m2+tm+1|x 1-x2|对任意 aA 及 t-1，1恒成立，其取值范围是m|m2，或 m-2.方法二：当 m=0 时，显然不成立；当 m0 时，m0， m0. 则 0,从而 f(x)在(0,+)上单调递增;)x若 x0.从而 f(x)在(0, )上单调递增;,2a)x,2a若 x 则 0，从而 f(t)在区间（0， ）上是增函数；3 3当 t1 时，f(t)0，从而 f(t)在区间（ ，1）上是减函数.所以当 t= 时，f(t)有最大值为 f( )= .33
