1、第5节 指派问题,在生活中经常遇到这样的问题，某单位需完成n项任务，恰好有n个人可承担这些任务。由于每人的专长不同，各人完成任务不同(或所费时间)，效率也不同。于是产生应指派哪个人去完成哪项任务，使完成n项任务的总效率最高(或所需总时间最小)。这类问题称为指派问题或分派问题(assignment problem)。,例7 有一份中文说明书，需译成英、日、德、俄四种文字。分别记作E、J、G、R。现有甲、乙、丙、丁四人。他们将中文说明书翻译成不同语种的说明书所需时间如表5-7所示。问应指派何人去完成何工作，使所需总时间最少?,表5-7,类似有：有n项加工任务，怎样指派到n台机床上分别完成的问题；有
2、n条航线，怎样指定n艘船去航行问题。对应每个指派问题，需有类似表5-7那样的数表，称为效率矩阵或系数矩阵，其元素cij0(i,j=1,2,n)表示指派第i人去完成第j项任务时的效率(或时间、成本等)。解题时需引入变量xij,，其取值只能是1或0。并令,当问题要求极小化时数学模型是：,约束条件说明第j项任务只能由1人去完成；约束条件说明第i人只能完成1项任务。满足约束条件的可行解xij也可写成表格或矩阵形式，称为解矩阵。 如例7的一个可行解矩阵是,显然，解矩阵(xij)中各行各列的元素之和都是1。但这不是最优解。,指派问题是0-1规划的特例，也是运输问题的特例，即n=m,aj=bi=1 当然可用
3、整数线性规划，0-1规划或运输问题的解法去求解，这就如同用单纯形法求解运输问题一样是不合算的。利用指派问题的特点可有更简便的解法。指派问题的最优解有这样性质，若从系数矩阵(cij)的一行(列)各元素中分别减去该行(列)的最小元素，得到新矩阵(bij)，那么以(bij)为系数矩阵求得的最优解和用原系数矩阵求得的最优解相同。,利用这个性质，可使原系数矩阵变换为含有很多0元素的新系数矩阵，而最优解保持不变，在系数矩阵(bij)中，我们关心位于不同行不同列的0元素，以下简称为独立的0元素。若能在系数矩阵(bij)中找出n个独立的0元素；则令解矩阵(xij)中对应这n个独立的0元素的元素取值为1，其他元
4、素取值为0。将其代入目标函数中得到zb=0，它一定是最小。这就是以(bij)为系数矩阵的指派问题的最优解。也就得到了原问题的最优解。,以下用例7来说明指派问题的解法。第一步：使指派问题的系数矩阵经变换，在各行各列中都出现0元素。(1) 从系数矩阵的每行元素减去该行的最小元素；(2) 再从所得系数矩阵的每列元素中减去该列的最小元素。若某行(列)已有0元素，那就不必再减了。例7的计算为,行列都有零元素,第二步：进行试指派，以寻求最优解。为此，按以下步骤进行。经第一步变换后，系数矩阵中每行每列都已有了0元素；但需找出n个独立的0元素。若能找出，就以这些独立0元素对应解矩阵(xij)中的元素为1，其余
5、为0，这就得到最优解。当n较小时，可用观察法、试探法去找出n个独立0元素。若n较大时，就必须按一定的步骤去找，常用的步骤为：,(1) 从只有一个0元素的行(列)开始，给这个0元素加圈，记作。这表示对这行所代表的人，只有一种任务可指派。然后划去所在列(行)的其他0元素，记作。这表示这列所代表的任务已指派完，不必再考虑别人了。(2) 给只有一个0元素列(行)的0元素加圈，记作；然后划去所在行的0元素，记作。(3) 反复进行(1)，(2)两步，直到所有0元素都被圈出和划掉为止。(4) 若仍有没有划圈的0元素，且同行(列)的0元素至少有两个(表示对这个可以从两项任务中指派其一)。这可用不同的方案去试探
6、。从剩有0元素最少的行(列)开始，比较这行各0元素所在列中0元素的数目，选择0元素少的那列的这个0元素加圈(表示选择性多的要“礼让”选择性少的)。然后划掉同行同列的其他0元素。可反复进行，直到所有0元素都已圈出和划掉为止。(5) 若元素的数目m等于矩阵的阶数n，那么这指派问题的最优解已得到。若mn，则转入下一步。,现用例7的(bij)矩阵，按上述步骤进行运算。按步骤(1)，先给b22加圈，然后给b31加圈，划掉b11，b41；按步骤(2)，给b43加圈，划掉b44，最后给b14加圈，得到,注意：矩阵中符号即是文中的符号。以下同。,可见m=n=4,所以得最优解为,该矩阵表示：指定甲译出俄文，乙译
7、出日文，丙译出英文，丁译出德文。所需总时间最少,例8求表5-8所示效率矩阵的指派问题的最小解。,解 按上述第一步，将这系数矩阵进行变换。,经一次运算即得每行每列都有0元素的系数矩阵，,再按上述步骤运算，得到,这里的个数m=4，而n=5；所以解题没有完成，这时应按以下步骤继续进行。,第三步：作最少的直线覆盖所有0元素，以确定该系数矩阵中能找到最多的独立元素数。为此按以下步骤进行：(1) 对没有的行打号；(2) 对已打号的行中所有含元素的列打号；(3) 再对打有号的列中含元素的行打号；(4) 重复(2)，(3)直到得不出新的打号的行、列为止。(5) 对没有打号的行画一横线，有打号的列画一纵线，这就
8、得到覆盖所有0元素的最少直线数。,令这直线数为l。若ln，说明必须再变换当前的系数矩阵，才能找到n个独立的0元素，为此转第四步：若l=n，而mn，应回到第二步(4)，另行试探。 在例8中，对矩阵按以下次序进行： 先在第五行旁打，接着可判断应在第1列下打，接着在第3行旁打。经检查不再能打了。对没有打行，画一直线以覆盖0元素，已打的列画一直线以覆盖0元素。得,由此可见l=4n。所以应继续对矩阵进行变换。转第四步。,第四步：对矩阵进行变换的目的是增加0元素。为此在没有被直线覆盖的部分中找出最小元素。然后在打行各元素中都减去这最小元素，而在打列的各元素都加上这最小元素，以保证原来0元素不变。这样得到新
9、系数矩阵(它的最优解和原问题相同)。若得到n个独立的0元素，则已得最优解，否则回到第三步重复进行。在例8的矩阵中，在没有被覆盖部分(第3、5行)中找出最小元素为2，然后在第3、5行各元素分别减去2，给第1列各元素加2，得到新矩阵。按第二步，找出所有独立的0元素，得到矩阵。,已具有n个独立0元素。这就得到了最优解，相应的解矩阵为由解矩阵得最优指派方案：甲B，乙D，丙E，丁C，戊A还可以得到另一最优指派方案甲B，乙C，丙E，丁D，戊A所需总时间为min z=32,指派问题的匈牙利法第一步:各行元素该行行最小， 各列元素该列列最小 若有n个独立的0元素则已得最优解，否则转第二步第二步:1. 从只有一
10、个0元素的行（列）开始，把0元素记为 ，表示“确定”，然后划去所 在行（列）的其他0元素，记为，表示“不考虑” 2. 划去行（列）的新矩阵再回到:1 3. 若仍有没划圈的0元素，且同行（列）至少有两个0元素，则从0元素最少的行（列）开始试探 若 “确定”的数目m等于矩阵的阶n，则最优解得到第三步：1. 对没有 的行打 （对应的人没找到合适的工作） 2. 对已打 的行中的所含的列打 （没找到工作的人最适合的工作） 3. 对打 的列中的所含 的行打 （没有工作的人所适合的工作分给谁了），重复2 3 对没有打 的行划线（所有找到合适工作的人）对打 的列划线（没找到合适工作的人最适合的工作）如直线数任
11、务数，转第四步,如直线数=任务数, 的数n,工作,人,费用,1 2 j n,12im,n+1 n+2 m,用匈牙利法求解,例：现有4份工作，6个人应聘，他们承担各项工作所需时间如下表所示，且规定每人只能做一项工作，每一项工作只能由一个人承担，试求使总时间最少的分派方案。,工作,人,时间,1 2 3 4,123456,5 6,000000,000000,12 7 9 7,7 17 12 14,15 14 6 6,4 10 7 10,6 5 5 8,4 5 7 6,分派方案：,第3个人第4项工作,第4个人第1项工作,第5个人第3项工作,第6个人第2项工作,第1、2个人没工作,总时间=,6+4+5+5=20,工作,人,费用,1 2 j n,12im,m+1 m+2 n,(b)mn,用匈牙利法求解,思考,若人数少于工作数，需要某个人完成两件工作，怎么办？例：甲乙丙丁4人要完成5项任务，其中1人完成两项任务，其余3人每人完成1项。每人做各种工作所消耗的时间如下表所示。问应如何进行指派使总的消耗时间最小？,
