1、- 1 -利用洛必达法则来处理高考中的恒成立问题高中理科竞赛2010 年和 2011 年高考中的全国新课标卷中的第 21 题中的第 步，由不等式恒成立来求参数的取值 2范围问题，分析难度大，但用洛必达法则来处理却可达到事半功倍的效果。一洛必达法则法则 1 若函数 f(x) 和 g(x)满足下列条件：(1) 及 ； lim0xafli0xag(2)在点 a 的去心邻域内，f(x) 与 g(x) 可导且 g(x)0； (3) ，limxflg那么 = 。 lixaflixafl法则 2 若函数 f(x) 和 g(x)满足下列条件：(1) 及 ； lim0xfli0xg(2) ，f(x) 和 g(x
2、)在 与 上可导，且 g(x)0； 0A,A,(3) ，limxflg那么 = 。 lixflixfl法则 3 若函数 f(x) 和 g(x)满足下列条件：(1) 及 ； limxaflixag(2)在点 a 的去心邻域内，f(x) 与 g(x) 可导且 g(x)0； (3) ，limxflg那么 = 。lixaflixafl利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： 将上面公式中的 xa，x换成 x+，x-， ， 洛必达法则也成立。 1 xa洛必达法则可处理 ， ， ， ， ， ， 型。 2 010在着手求极限以前，首先要检查是否满足 ， ， ， ， ， ， 型定式，
3、否则滥 3 10用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。 若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。 4二高考题处理1.(2010 年全国新课标理)设函数 。2()1xfea（1） 若 ，求 的单调区间；0a（2） 若当 时 ，求 的取值范围x0原解：（1） 时， ， .()xf()xfe当 时， ；当 时， .故 在 单调减少，在(,),()0f()fx,0)单调增加(0,)（II） 12xfea由（I）知 ，当且仅当 时等号成立.故0x，()()从而当 ，即 时， ，而 ，02()fx(0)f- 2 -于是当
4、 时， .0x()0fx由 可得 .从而当 时，1e1(0)xe12a，()2()()x xxfae故当 时， ，而 ，于是当 时， .0,lnxff(0,ln)()0fx综合得 的取值范围为a,原解在处理第（II）时较难想到，现利用洛必达法则处理如下：另解:（II）当 时， ，对任意实数 a,均在 ；0x()0fx()0fx当 时， 等价于()f21xae令 (x0),则 ，令 ，则21xge32()xg20xhxe， ，xh0xh知 在 上为增函数， ；知 在 上为增函数，0,hx0,； ，g(x)在 上为增函数。g,由洛必达法则知， ，故2000112limlixxxee2a综上，知 a
5、 的取值范围为 。,2 （2011 年全国新课标理）已知函数，曲线 在点 处的切线方程为 。()yfx1,()f 230xy（）求 、 的值；b（）如果当 ，且 时， ，求 的取值范围。0x1ln()kf原解：（） 22(l)xbf由于直线 的斜率为 ，且过点 ，故 即230xy1(,)(1),2f解得 ， 。1,2baa1b（）由（）知 ，所以lnf()1x。22(1)lnkkxx考虑函数 ，则 。()2lnhx(0)2()1 xh（i）设 ，由 知，当 时， ，h（x）递减。而 故当0k21)kx1x0(1)0h时， ，可得 ；(,1)x()hx2(0h- 3 -当 x （ 1，+ ）时，
6、h（x）021从而当 x0,且 x 1 时，f（x ）- （ + ）0，即 f（x） + .lnxk1lnxk（ii）设 00,故 （x）0,24()0kkkh而 h（1）=0，故当 x （1， ）时，h（x）0，可得 h（x）0,而 h（1）=0，故当 x （1，+22()0 ）时，h（x）0，可得 h（x） =0h, , h1在 上为增函数x=01当 时， ，当 x （1，+ ）时，(0,)0h0x当 时， ，当 x （1，+ ）时，xgg在 上为减函数，在 上为增函数g, ,由洛必达法则知 2111lnln120limiimxxx，即 k 的取值范围为（- ，00规律总结：对恒成立问题中
7、的求参数取值范围，参数与变量分离较易理解，但有些题中的求分离出来的函数式的最值有点麻烦，利用洛必达法则可以较好的处理它的最值，是一种值得借鉴的方法。从高考题看含参不等式恒成立问题的解题策略已知不等式恒成立，求参数的取值范围问题是中学数学的重要内容之一，是函数、方程、不等式交汇处一个较为活跃的知识点。这类问题以含参不等式“恒成立”为载体，镶嵌函数、方程、不等式等内容，综合性强，思想方法深刻，能力要求较高，因而成为近几年高考试题中的热点。为了对含参不等式恒成立问题的解题方法有较全面的认识，本文以 2010 年高考试题的解法为例，对此类问题的解题策略作归纳和提炼，供大家参考。一 分离参数，转化为求函
8、数的最值对于变量和参数可分离的不等式，可将参数分离出来，先求出含变量一边的式子的最值，再由此推出参数的取值范围。- 4 -例 1（2010 年全国卷 1 理）已知函数 ()1lnfxx（）若 ，求 的取值范围2()xfax（）证明: 0f解析：（） ，由 lnlx(0)x()ln1xfx得 ，令 ，于是，问题化为求函数 的最大值。2()1xfaxlx()gg，当 时， ；当 时， 。 当 时， 有最大值，g001()g1()max()()（）略。评析：含参不等式分离参数后的形式因题、因分法而异，因此解决含参不等式恒成立问题需把握住下述结论：（1） 恒成立 ；（2） 恒成立()fxgamax()
9、()fg()fxga；（3） 恒成立 。 （4） 恒成立max()fgin()。in二 分离参数，转化为求函数的确界如果分离参数后相应的函数不存在最值，为了能够利用分离参数思想解决含参不等式恒成立问题，我们利用如下的函数确界的概念：函数 的上确界为 ，记作 ；函数 ()yfx()xDin(),MfxDM上 ()yfx的下确界为 ，记作 。于是，有如下结论：（1）若 无最大()xDa,Mf上 f值，而有上确界，这时要使 恒成立，只需 。 （2）若 无最小值，而有下确界gaga()fx，这时要使 恒成立，只需 。M上 ()fx上()例 2 （2010 年湖南卷理）已知函数 ， 对任意的 ，恒有fx
10、bc,Rx()fxf（）证明：当 时，02()fxc（）若对满足题设条件的任意 ， ，不等式 恒成立，求 的最小值。b2()()fMM解析：（）略。（）由 即 恒成立，得()fxf2()040bcb从而 ，等号当且仅当 ，即 时成立214bc2142（1）当 时， ，令 ，则 ，则2()fcbMct1t21bct因为函数 （ ）的最大值不存在，但易知其上确界为 ()1gttt3M（2）当 时， 或 0， ，从而 恒成立cb2()8fcb2b2()()fc综合（1） （2）得 的最小值为 32例 3 （2010 年全国卷理）设函数 2()1xfea（）若 ，求 的单调区间。0a()fx（）若 时
11、， ，求 的取值范围。x0a解析：（）由 对所有的 成立，可得（1）当 时， ；R（2）当 时， ，设 ，问题转化为求 的最小值或下确界。0x21xea21()xeg()gx，令 ，因为 ，2 4()eg2xxh22xhe- 5 -，又 的二阶导数 ， 的三阶导数 ，0x()hx“2()xxhee()h(3)2(4)0xhe所以 是增函数，故 ，所以 增函数，故 ，所以 是增函“ 0()0xh数，故 ，从而 ，于是 在 上单调递增，故 无最小值，此时，0gg0,g由于 无意义，但运用极限知识可得 。由洛必达法则可得：()g()limx故 时， 。因而 ，综合（1）2000011limlili2
12、xxxeee1()2xa（2）知 取值范围为 。a,评析：用分离参数法求解本题，最大的难点在于求分离参数后所得函数的下确界，应用洛必达法则求超出了中学所学知识范围。显然，这不是命题者的意图。因此，我们应该探求这类问题的另一0li()xg种更为一般地思考途径。三 从研究函数的性质入手，转化为讨论函数的单调性和极值 对于不能分离参数或分离参数后求最值或确界较困难的问题，如例 3，我们可以把含参不等式整理成或 的形式，然后从研究函数的性质入手，转化为讨论函数的单调性和极值。在解(,)fa(,)0fxa题过程中常常要用到如下结论：（1）如果 有最小值 ，则 恒成立 ， 恒成立()ga(,)0fx()0
13、ga(,)0fxa；()0g（2）如果 有最大值 ，则 恒成立 ， 恒成立(,)fx,。a例 4（2010 年天津文）已知函数 其中32()1fxax()R0a（）若 ，求曲线 在点 处的切线方程，1y)f（）若在区间 上， 恒成立，求 的取值范围,2()0f解析：（）略。（） ，令 ，解得 或()3fxax()f0x1a（1）若 ，则 ，于是当 时， ；当 时， 。所以02112()f102x()0fx当 时， 有极大值。于是 时， 等价于 解得 x()fx,x()fx()102f2a（2）若 ，则 ，于是当 时， ；当 时， ，a1210()0fx()0fx当 时， 。所以，当 时， 有最
14、大值，当 时， 有最小值。于是1x()0fxxxa时， 等价于 解得 或 ，因此，,2()f()10fa25a25a综合（1） （2）得 05a例 5：内容同例 3解析：（）略（） ，由方程 不能求出极值点。显然，用例 4 的解法是行不通的，()12xfe()0fx但我们注意到 ，故问题转化为 在 时恒成立，即函数 在 为不减函()fx0,数，于是可通过求导判断 的单调性，再求出使 成立的条件。()f ()f- 6 -由（）有 ，当且仅当 时成立，故 ，而当1xe0x()12(12)xfeaxax，即 时 120a2()f()是 上的不减函数，()f,()0f当 时，由 可得1xe01xe()
15、2()()2xfaa故当 时， ，而 ，于是当 时0,ln)ff(0,ln2)xa综合得fx评析：函数、不等式、导数既是研究的对象，又是解决问题的工具。本题抓住 这一重要的(0)f解题信息，将问题转化为 在 时恒成立，通过研究函数 在 上是不减函数应()0fxx()fx,满足的条件，进而求出 的范围。隐含条件 对解题思路的获得，起到了十分重要的导向作用。a()0f从以上高考题的解法可知：以函数的观点作指导，用导数知识作工具，从研究函数的单调性、最值（极值）等问题入手，将含参不等式恒成立问题转化为研究函数的性质问题，是确定恒不等式中参数取值范围问题的重要思考方法。对这类问题的处理，需要考生具备过
16、硬的导数、不等式知识，并能灵活运用这些知识研究函数的性质等问题。在高三复习课教学中，有意识地给学生这方面的训练，对培养他们的数学综合素质是大有好处的。洛必达法则一. 微分学中值定理拉格朗日中值定理如果函数 在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，那末在(a,b) 内至少有一点c，使 即 成立。这个定理的特殊情形，即： 的情形，称为罗尔定理。 罗尔定理 若 在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，且 ，那末在(a,b)内至少有一点 c，使 成立。下面我们在学习一条通过拉格朗日中值定理推广得来的定理柯西中值定理柯西中值定理如果函数 ， 在闭区间 a，b上连续，在开区间(a，b)内可
17、导，且 0，那末在(a， b)内至少有一点 c，使 成立。在求函数的极限时，常会遇到两个函数 、 都是无穷小或都是无穷大时，求它们比值的极限，)(xfF此时极限 可能存在，也可能不存在通常把这种极限叫做未定式，并分别简称为 型或 型。)(limxFf 0例如， 就是 型的未定式；而极限 就是 型的未定式我们容易知道，对于未定式xsn0xlnim的极限求法，是不能应用“商的极限等于极限的商 “这个法则来求解的，那么我们该如何求这类问题的极限呢？计算未定式的极限往往需要经过适当的变形，转化成可利用极限运算法则或重要极限的形式进行计算. 这种变形没有一般方法，需视具体问题而定，属于特定的方法. 本节
18、将用导数作为工具，给出计算未定式极限的一般方法，即洛必达法则. 本节的几个定理所给出的求极限的方法统称为洛必达法则.一、 型未定式0- 7 -定理 1 设函数 、 满足下列条件：)(xfF（1） ， ；0lim0x 0)(li0（2） 与 在 的某一去心邻域内可导，且 ；)(f 0)(xF（3） 存在（或为无穷大） ，则 li0x这个定理说明：当 存在时， 也存在且等于 ；当 为无穷大)(li0xFfx)(lim0xfx)(lim0xfx)(li0xFfx时， 也是无穷大)(lim0Ffx这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（ ospital）法则.
19、HL例 1 计算极限 .0e1lix解 该极限属于“ ”型不定式，于是由洛必达法则，得.0e1limx0elix例 2 计算极限 snixab解 该极限属于“ ”型不定式，于是由洛必达法则，得000sincoslmlixxaabb注 若 仍满足定理的条件，则可以继续应用洛必达法则，即(),fxg()()()lililixaxaxafffgg例 3 计算极限 32216lim48x解 由洛必达法则，得322lixx231lim4x263li4x例 4 计算极限 arctnli1x解 arct2limxx21lix2lim1x二、 型未定式定理 2 设函数 、 满足下列条件：)(xfF（1） ，
20、；li0x )(li0x（2） 与 在 的某一去心邻域内可导，且 ；f 0)(xF（3） 存在（或为无穷大） ，则 )(lim0x注：上述关于 时未定式 型的洛必达法则，对于 时未定式 型同样适用0例 5 计算极限 lni()x解 此极限满足洛必达法则，于是得00xlimli00ffxx- 8 -1lnimilim0xxx例 6 计算极限 l(0)nxe解 所求问题是 型未定式，连续 次施行洛必达法则，有nlienx1linx2(1)liex !lim0exn例 7 计算极限 20tamsix解 （利用等价无穷小量代换 ）nlix 30tnlx sinx:22200ec1tan1ta1ilil
21、()33xxx使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“ ”和“ ”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“ ”或“0”型才能运用该法则；（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在习题 4-61.用洛必达法则求下列极限：（1） ； （2） ；x)sin(lmxx2tan3lim0（3） ； （4） ；)0(lin 为 常 数 ）、 n,0(（5） ； （6） ；201lixxarcxot)1li（7） ； （8） esinlmx2nl7m04. 洛必达法则在使用洛必塔法则时应注意以下几点：洛必塔法则只适用于 型或 型的极限.0如果 仍是 型或 型,则可继续使用洛必塔法则 .(x)g lif如果 不存在且不是 ,并不表明 不存在 ,只表明洛必塔法则失效,这时应用其他 m g(x) limf方法求解.
