1、用洛必达法则来处理高考中的恒成立问题 2010 年和 2011 年高考中的全国新课标卷中的第 21 题中的第步，由不等式恒成立来求参数的取值范围问题，分析难度大，但用洛必达法则来处理却可达到事半功倍的效果一洛必达法则若函数 f(x) 和 g(x)满足下列条件：(1) 及 ； lim0xafli0xag(2) 与 可导且 ； (3) ， 那么 = lixaflglimxafglixafl利用洛必达法则求极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则,若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止二高考题处理1.(2010 年全国新课标卷理第 21 题
2、)设函数 2()1xfea（1） 若 ，求 的单调区间；0a(fx（2） 若当 时 ，求 的取值范围)0a原解：（1） 时， ， .(1xfe()1xfe当 时， ；当 时， .故 在 单(,0)x),()0f()fx,0)调递减，在 单调递增（II） 由（I）知 ，当且仅当 时等号成立.()12xfea1xex故 ， ()从而当 ，即 时， ，而 ，02()0 )fx(0)f于是当 时， .由 可得 .x()fx1e1xe从而当 时， ，12a()12()(1)2xxxxfeaea故当 时， ，而 ，于是当 时，(0,lnx00f(0,ln).()f综合得 的取值范围为a1,2原解在处理第（
3、II）时较难想到，现利用洛必达法则处理如下：另解:（ II）当 时， ，对任意实数 a,均在 ；0x()0fx()0fx当 时， 等价于x()f21xae令 (x0),则 ，21xge32()xg令 ，则 ， ，0xhx1xhe0xhe知 在 上为增函数， ；知 在 上为增函0,0,数， ； ，g(x)在 上为增函数。xgx,由洛必达法则知， ， 故2000112limlixxxee 12a综上，知 a 的取值范围为 ,2 （2011 年全国新课标理第 21 题）已知函数，曲线 ()yfx在点 1,()f处的切线方程为 230xy（）求 a、 b的值；（）如果当 ，且 1x时， ln()1xk
4、f，求 的取值范围原解：（） 22(ln)bfxx由于直线 230xy的斜率为 1，且过点 (,1)，故()1,2f即1,2ba解得 1a， b（）由（）知 lnf()1x，所以 22l (1)lnkkxf 考虑函数 ()2lnhx(1)x(0，则2(1)kxh（i）设 0k，由2()kx知，当 x时， ()0，h（x）递减。而 (1)h故当 (0,1x时， ()0h，可得 21h；当 x （1，+ ）时，h（x）0从而当 x0,且 x1 时，f（x）-（ 1ln+ k）0，即 f（x） 1ln+ xk.（ii）设 00,故 h （x）0,而 h（1）=0 ，故当 x （1， ）时，h（x）0
5、 ，可得 21h（x）0,而 h（1）=0，故当 x（1，+ ）时，h（x）0，可得 21 h（x） =0x, 1,1在 上为增函数h=01当 (0,)x时， ，当 x（1，+ ）时，0hx0hx当 时， ，当 x （1，+ ）时，g g在 上为减函数，在 上为增函数gx,1,由洛必达法则知2111lnln120limiimxxx0k，即 k 的取值范围为（- ，0规律总结：对恒成立问题中的求参数取值范围，参数与变量分离较易理解，但有些题中的求分离出来的函数式的最值有点麻烦，利用洛必达法则可以较好的处理它的最值，是一种值得借鉴的方法3 （2010 年全国卷 2 数学理第 22 题）设函数 1x
6、fe（）证明：当 x -1时， 1xf；（）设当 0时， a，求 a 的取值范围原解：（I）当 时， 当且仅当x)(xf .1xex令 当 ， 是增函.1.1)( egeg则 0)(g时 ,)(在数；当 是减函数。于是 在 x=0 处达到最小值，0,)(,0)( 在时 xx )(x因而当 时， 所以当R.1xegx即 .1)(,1xf时（II）由题设 .0)(,0fx此 时当 不成立；1)(,01,0axfaxxa则若时当 则 当且令当)()(fh令时 .0)(xh()().xf fff（i）当 时，由（I）知210a,1xx()()()hxfxfaf,0)(2(xfa是减函数，,在 .1,0
7、fhx即（ii）当 时，由（I）知21a).(f()()hxfxfax)()(xfaxff.1当 时，ax20 .1)(,0)(,0)( axfhxxh即所 以综上，a 的取值范围是 .1,原解在处理第（II）时非常难想到，现利用洛必达法则处理如下：另解：（II）证明：当 时，令 ，则 ，从而 ；010axxa01x另一方面当 时， 这与已知当时当 时， 1xfa矛()0fe盾则 则0a(1)(1)(xxaexfx(1)0xxae，当 时，此式成立；当 时()xxee=001xe（ ）令 则1()11() ,xxxFe（ ） （ ）222()=(xxxxee） ） ）令 则221xxg2)()
8、xgex令 则()he(2(0()xhhe从而 在 上单调递增且 那么可以得到()hx0,(0)()0hx在 上单调递增且 从而在 上,()0gx所以 在 上单调递增且 从而()gx, ()()gxF在 上单调递增1xeF（ ） 0,00000(1)1122limlilimlilimx xxxxxxeee（ ）的取值范围是a1,24已知函数 ()lnfxax（1）若 ，求函数的最小值=-（2）当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围t(21)(3ftfta5 （2012 年郑州市一测 21 题）设函数 ()ln-(1),fxpR（1）当 时，求函数 的单调区间；p()f（2）设函数 对任意 都有 成立，求 的取2()+1)gxpxx()0gxp值范围
