1、第十六章 坐标变换、参数方程和极坐标方程161 坐标轴的平移基础练习1已知双曲线的两条渐近线方程分别是 ， ，实轴在平行于 轴的直线3420xy410xyy上，且实轴长为 ，求双曲线方程，并写出顶点坐标和焦点坐标6解： ，顶点坐标 , ，焦点坐标为 ， 2219yx24，2，2642证明：二次函数 的图形是一条抛物线2yabxc解：（提示：把原方程化简，如果能化成抛物线的标准方程，就可以证明它是抛物线 ）设 ， ，得 bxa24 21ya3已知抛物线的对称轴平行于 轴，顶点是（1，2） ，且过点（3，6） ，求抛物线方程y解：设 由顶点的定义知= ， ，2ycxb2c再将点的坐标代入可得 23
2、yx4已知双曲线两顶点坐标是 ， 虚轴长为 ，求双曲线方程158解：两个顶点的中点坐标 ，所以双曲线的中心为 ，从而可以设双曲线为2M2，继而可得双曲线方程为 221yxab2196yx5已知两个定圆 和 ，一动圆 和它们都相外切，求动圆的圆心2184Cy 25Cx P的轨迹方程P解：由题，动圆的圆心到两圆圆心 ， 的距离之差等于两圆的半径之差 ，所以其轨迹为0 3一双曲线的右支，其中心为 ，两焦点为 ， ，从而可得轨迹方程为4，80，241952xyx6椭圆 的中心在直线 上滑动，对称轴作平行移动，2436yx（1）求滑动时椭圆的方程（2）中心滑到何位置时，椭圆与直线 相交所得的弦长为 yx
3、423解：（1） 223614xkyk（2） ，即中心为 或 1k192，152，7已知 的两个顶点 ， 是椭圆 的两个焦点，顶点 在抛物线ABC AB22135xyC上移动求 的重心轨迹方程21yx解：由题可得， ， ，设 ，由重心坐标公式，重心1014，21Ca，所以 的重心轨迹方程为 243aG， AB 2341xy8已知抛物线 的焦点和准线分别是椭圆 的一个焦点和对应的准线，求这个椭圆的短28yxE轴端点的轨迹方程解：通过坐标变换分析，易知焦点为 ，准线为 0F，4x设椭圆短轴的一个端点为 ，则 ， ，Pxy，2axyc由点 到焦点 的距离与到准线的距离之比是 知：PFe，化简得 ，即
4、 224xxyy 240xyx240yx162 坐标轴的旋转变换基础练习1设旋转解 ，求新坐标系中的两点 ， 在原坐标系中的坐标432A0B解：由坐标轴的旋转公式 ， 25A，2设旋转角 ，求原坐标系中的两点 ， 在新坐标系中的坐标621C02D解：由坐标轴的旋转公式可得 ， 3，33按所给的角臼旋转坐标轴，变换下列各方程：（1） ， （2） ， 0xy40xy2（3） ， （4） ， 262383解：直接利用坐标旋转公式：（1）将 代入得 cosinixyx0（2）将 代入得 cosinixyx20y（3）将 代入得 siincoyxy24x（3）将 代入得 sii24利用坐标轴的旋转，化简
5、下列方程，使其不含 项xy（1） （2） 2220xyxy22450y（3） （4） 41610314x解：为使其不含 项，对二次曲线 ，旋转角 满足 xy 22AxByCDEyFcot2ACB（1） ，cot24ACB将 代入得 sinixyx20y（2） ， ，cotsi5ACB1cos5将 代入得 sinixyx26y（3） ，cot24ACB将 代入得 sinihxyx2516y（4） ，cot26ACB将 代入得 sinixyx2194y163 直线与圆锥曲线的参数方程基础练习1若参数方程 （ 为参数）表示的抛物线焦点总在一条定直线上，这条直线的方程是2xmty，t_解：消去 ，可得
6、 ，从而其焦点所在定直线为 t24x 21yx2给定椭圆 ，如果存在过左焦点 的直线交椭圆于 ， 两点，且 ，则离心率21xyabFPQOPQ的取值范围是_e解：直接联立直线与椭圆方程求解， 的取值范围为 e512，3设一椭圆中心为原点，长轴在 轴上，离心率为 ，若圆 上点与这个椭圆上x3223:1Cxy点的最大距离为 ，试求这个椭圆的方程17解：等价于圆心 到椭圆上的点最大距离为 ，302C， 7设椭圆方程为 ， ，则 21xyab2eab214xyb任取椭圆上一点 ，则 ，若 ，则M， 222343byb 12当 时， 取最大值，即 ，故矛盾yb2C27b12b若 ，则当 时， 取最大值，
7、即 1 1y2243， ，则椭圆的方程为 2b24a214xy4已知抛物线 及定点 ， ， ， ， 是抛物线上的点，设直ypxAab0Bab2paM线 ， 与抛物线的另一个交点分别为 ， ，当 变动时，直线 恒过一个定点，此AMB1M2 12定点坐标为_解：设 ， ， ，20yp21yp2yp由 ， ， 共线得 ，同理 ， ， 共线得 ，A101bayB220payb设 是直线 上的点，则 ，xy2M1212ypx将以上三式中消去 ， ，得： 1y 002pxbaypa当 ， 时上式恒成立，即定点为 xapb，5已知：设 ， 为正实数， 为参变量，则满足 且 2sincosxyxy的点 的轨迹
8、方程是_222sincos1abxyxy，解：由辅助角公式， ，知 ， ，所以点 的轨sinarct1yx22sinxy22cosyxxy，迹方程为 21xyab6实数 ， 满足 ，设 ，则 的值为_2245xy2sxymaxin1S解：易知 ，设 ，代入 ，得 20scosiny2245810s25s于是 ，得 ，故 ， ，故 815s 13 max103Sminmaxin13S7已知 ，求 的值域24xy2ySx解：设 ， ，则 ，由此可知 sectan22115cosinsi4441S，能力提高8过椭圆 中心 作互相垂直的两条弦 ， ，设点 ， 的离心角分别为210xybaOACBDAB
9、和 （这里 的离心角是 ，等于说 的坐标为 ） ，求 的取值范围12A1A11cosinab12cos解：当 ， 恰与坐标轴重合时， ；CBD12cos0当 ， 与坐标轴不重合时，令 ， ，则 ，故xO2xB12kZ12tan由题意知 ， ，11cosinAba，22cosinBba，则 ， 故1tant2tt211212tantancot b；2 22cotanbzab2122 211cost abl取等号条件是 ，即 的倾斜角为 或 时，故 2tanBD43210cosab 9设动点 在椭圆 的内部 ，过 作椭圆的弦 ，证明： ， 中必有1P，21xybabPABPB一个不超过 22ab证
10、明：弦 所在直线的参数方程是 ，AB1cosinxty代入椭圆方程得 ，222 22cosinsi 0batbatba由韦达定理，上面方程两根 满足： ，12t2122cosint2 22122221cosiniababPABtt ab 所以， ， 中必有一个不超过 21164 极坐标系基础练习1在极坐标系中，作出下列各点的点：（1） ， ， ， ， 32A135B2C4D23.5E，（2） ， ， ， ， ，并说明这五个点有什么关系64（3） ， ， ， ， ，并说明这五个点有什么关系1333.673，解：（1）略（2）五个点在以极点为圆心半径为 的圆上2（3）五个点在倾斜角 且过极点的直线
11、上32若 ，请判断极坐标方程 和方程 的关系Rff解：这两个方程是等价的， ， ， 均表示同一点3已知 ， ， 为极点，求 的面积36A2BOAB解： ，易得 1sin2OBSA 934BS4从极点 作直线 与直线 相交于 ，在 上取点 ，使得 ，求点 的lcosMOP12OMP轨迹方程解： 3cos0能力提高5求圆心为 ，半径为 的圆的极坐标方程2Ca，a解： sin06如图 ，求经过点 ，且与极轴垂直的直线 的极坐标方程160Ma，la xM (，)Pl O图 16-解： cosa7已知直线 上三点的极坐标分别为 ， ， ，且 ， ， 均为正l 1A2B3C，123数求证：23311212
12、3sinsinsin0证：若 过极点 ，则 ，结论成立若 不过极点 ，不妨设 ，则由三解形面lO12 lO1230积公式得 ，移项，两边除以 即得1231sinsin123165 圆锥曲线的极坐标方程基础练习1求双曲线 的实轴长312cos解：对照圆锥曲线的统一极坐标方程，知实轴长为 22在极坐标系下，和圆 相切的一条直线方程为（ ） 4in（A） （B） （C） （D）sin1cos2sin3cos4解：由题，该圆的直角坐标方程为 ，所以 与该圆相切，故选 B24xy2x3请判断极坐标方程 所确定的曲线534cosin解： ，故曲线的离心率大于 ，所以为双曲线5421cos3414曲线 与曲
13、线 关于直线 对称，求曲线 的方程5inC6C解： 为极角，由极坐标的对称可得， 32cos5sin5求双曲线 的直角坐标方程612cos解：对照圆锥曲线的统一极坐标方程： ， ，同时注意到其右焦点位于原点处，故为6ep2241xy能力提高6过抛物线 的焦点 作弦 ，求 的值20ypxF12P12FP解：由统一方程 ，设 ， ，1cos12，故 ， ，得 1cosp2p12cosspp7已知椭圆 ， 为其左焦点，过 作两直线 ， 分别交椭圆于 、 和 ， 且xyFF1l2PQMN，求四边形 面积最大值和最小值12lPMQN解：由 得 ， ， ， ， ，21xya1bc2e1P以 为极点、 为极
14、轴建立极坐标系，则椭圆方程为 F cos依题意，不忍妨设 ，则 ， ， ，其1P，2Q，32M，432N，中 02，所以 ，12 21coscos2sQ，34 2inMN，又由 得： 211628sinSP20sin1 69S 当 时， 取最大值 ；sin0S当 时， 取最小值 2 98已知椭圆 ，直线 ， 是 上的一点，射线 交椭圆于点 ，又 在 上2146xy128xyl，PlOPRQOP且满足 ，当点 在 上移动时，求 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线2OQPR lQ解：以原点 为极点， 轴正方向为极轴建立极坐标系，x则椭圆和直线 的极坐标方程分别是 ， l 2248sin24cos3i
15、n设 ， ， ，则由 得 ，1PQ2R， 2OQPR 21即 2448cos3insi变形整理 22cos3in将其转换成直角坐标系即 23460xyx所以所求点轨迹是中心为 ，长轴长为 ，短轴长为 的椭圆（除去原点） 1，12153166 解析几何的综合运用能力提高1已知两曲线 与221 20CAxDyACxBDy，关于 轴对称，试判断它们是什么曲线22 410xyB，解： ， ， ，1Cfxy，2gxy31425312ABfxygxyCD， CD所以是椭圆2一抛物经的顶点和焦点分别是椭圆 的左右焦点，求此抛物线2251690389560xyxy的方程解：椭圆方程为 ，所以其左右焦点为 ，
16、，221695xy1041所以抛物线方程为 20x3将曲线 先向右平移一个单位，再向下平移两个单位，得曲线 在直线2313xyy C上取一点 ，过 作与曲线 共焦点的椭圆，则所作的椭圆长轴最短时，求 点的坐标8yMCM解：曲线 为 ，焦点为 ， C2 140F240，点 的选取为到两点距离之和最小的点，作 关于直线 的对称点 ，连接 ，1 8xy84B，1FB交直线 于 ，故 点的坐标为 8xy53， 53，4如果双曲线 经过平移坐标轴后得新方程 ，求新坐标系下的坐标210xy21xy原点在原坐标系下的坐标解：原双曲线为 ，经平移后双曲线中心变为 ，2210故新坐标下的坐标原点在原坐标系下的坐
17、标为 1，5已知圆 和直线 ，求圆 关于直线 对称的圆方程2412390Cxyy， 345lxyCl解：考虑圆心的对称， 216抛物线 沿 轴平移_个单位（正方向为正） ，沿 轴平移_个单位（正方2yx y向为正）后，与直线 相切于 50ly，31，解： 的判别式等于零，又 过点 ，所20025yx 200xx200yx31，以 0x，7设抛物线 向右平移一个单位，向上平移两个单位后与直线 相切，求切点坐24yx 20xyb标解： 的判别式等于零，解得 210yxxb241yyb756xy8已知椭圆 ，试求对称中心到准线的距离25350解：中心 ，准线 ，可得距离为 0，3x69将椭圆 在坐标
18、平面上平行移动，使它的中心保持在 上，当椭圆在214yC， 36yx截得弦长为 时，求中心的坐标6lyx，解：椭圆 ，联立 与椭圆方程，可以解得中心坐标为22314kyk， 6lyx，或 87361，876，10已知两个定圆 和 ，一动圆 与它们都相外切，求圆心 的轨215Cxy，2284Cxy， PP迹解：由题意，动圆的圆心到两圆圆心 的距离之差等于两圆的半径之差 ，0， 3所以其轨迹为一双曲线的右支，其中心为 ，两点为 ， ，4,80从而可得轨迹为双曲线 的右支224195xy11直线 到直线 的角为 且和圆 相切，求 的方程l13y321xyl解： 02132xyk利用直线之间的到角公式可得： 015kk
