1、第十二章 数列、数学归纳法与数列的极限8设 ， ， ， 是曲线 上的点列， ， ， ， ，是 轴正半轴上的点1P23nPyx1Q23nQx列，且三角形 ，三角形 ，三角形 都是正三角形，设它们的边长为 ， ，1OQ12nP 1a2， 表示前 项的和求 ， ， ， 并加以证明3anSn1S23S解： ， ， ，1234三角形 中， 点坐标为 ，1nQPn2nnaS偶则 ， 2324n nnaS21134na两式相减，可得 ，则 ，则 1n n3nS9已知数列 满足： ， ，其中 数列 满足：a23ak *112naN偶 0knb214nb偶（1）求 、 、 、 2b34（2）求数列 的通项公式n
2、（3）是否存在正数 ，使得数列 的每一项均为整数，如果不存在，说明理南，如果存在，求出kna所有的 k解：（1）经过计算可知 ， ，4152k求得 ，45632ka 132b421kb（2）由条件可知 121nnak类似地有 -有 1211nnnnaaa即 因此， 122n211nna即 ，2nb故 ， 132132nabb 242231nakbb所以， *4nnkN（3）假设存在正数是，使得数列 的每一项均为整数na则南（2）可知 212123nnnak偶由 ，及 可知 或 21akZ64Zk当 时， 为整数，利用 ， ， ，结合式，反复递推，2131a23Z可知 ， ， ， ，均为整数4a
3、567a当 时，变为 2k2121235nna偶我们用数学归纳法证明 为偶数， 为整数21na2n1偶时，结论显然成立，1n假设 时结论成立，这时 为偶数， 为整数，k21n2na故 为偶数， 为整数，2121nnaaa所以 时，命题成立k故数列 是整数列综上所述， 的取值集合是 n k12偶10已知函数 与函数 ， 的图像关于直线 对称fx1yax0yx（1）试用含 的代数式表示函数 的解析式，并指出它的定义域af（2）数歹 中， ，当 时， 数列 中， ， 点n12n 1nanb1212nnSb在函数 的图像上，求 的值23nSPa偶 fxa（3）在（2）的条件下，过点 作倾斜角为 的直线
4、 ，则 在 轴上的截距为nP4nly13nb，求数列 的通项公式1n偶a解：（1）由题可知： 与函数 互为反函数，fx10yxa所以， ， 21fxa0（2）因为点 在函数 的图像上，所以，123nnSPa偶 fx123nS #在上式中令 可得： ，又因为 ， ，21aS1a12Sb代入可解得： 所以 ，a2fx式可化为： #213n偶（3）直线 的方程为： ， ，nlnnSyxa123偶在其中令 ，得 ，又因为 在 轴上的截距为 ，0xnly1nb所以， 13nnSab结合式可得 2a由可知当自然数 时， ， ，n 2nS211nnSa两式之差得： 结合式得21nba 2132nnanN偶在
5、中，令 ，结合 ，可解得 或 2，a21a又因为：当 时， ，所以，舍去 ，得 2n 1n2a同上，在中，依次令 ， ，可解得 ， 3434猜想 下面用数学归纳法证明naN（1） 1，2，3 时，由已知条件及上述求解过程知显然成立（2）假设 时命题成立，即 （ ，且 ） ，kkaN3k则由式可得 22131kkk把 代入上式并解方程得 或 ka1ka1k由于 ，所以 ，3 2k02所以， 不符合题意，应舍去，1ka故只有 所以， 时命题也成立k 1nk综上可知：数列 的通项公式为 nanaN11设函数 的定义域、值域均为 ， 的反函数为 ，且对于任意实数 ，均有fxRfx1fx x，定义数列
6、， ， ， 152fxf08na 10a1nnfa2偶（1）求证： 1na（2）设 ， ，求证： 12nnb012偶 *162nnbN（3）是否存在常数 和 ，同时满足：当 及 时，有 ；当 ，AB042nnABa23n偶有 成立，如果存在满足上述条件的实数 、 ，求出 、 的值；如果不存在，证明42nna AB你的结论解：（1）证明：由于 ，设 则152fxfxna152nnffa即 152nnaa（2）证明：由于 则11na12nnaa即 由于 则 1nb01026b*06nnbN（3）解：由（2）可知： 假设存在常数 和 ，112naAB使得 对 成立，则4nnABa0偶解得 01824
7、数学归纳法证明 对一切 ， 成立2nna2n N当 时，由 得n15na则 时， 成立221054872a24na假设 时，不等式成立，即 ，nk kk则 ，1114426262k kkka 这说明 时，不等式成立n综合，可知 成立42nnanN偶则 满足题设AB12设 ， ， 为正数，证明12n2233 12349nnnn naaaaaa 证明：对 归纳， 时显然成立等号；设 是时结论对于任意 个正数成立，1kk当 时，对于任意 个正数 ， ， ， ，据假设有1nkk121k，2213 23419kkk kaaaaa 所以 122311k kk ，21449k kaaaa 只要证221212
8、31214k k ka 平方整理，只要证212123123414k k kaaaa 南柯西不等式 2222223131k k ，23411kkaaa即 221212341k k ka 所以 ，1234k k kaaa 即成立，因此当 时结论成立故由归纳法知，所证不等式成立n127 数列的极限1判断下面计算是否正确，并说明理由： 222473limnn 2lilililimn00解：不正确， 2222131473li lin nnn2判断下面问题的解答过程是否正确，并说明理由：已知数列 ， 满足 ， ，求 的值nxnylim1nxy1linxylimnxy解：由于 lim2lilim1nnnxy
9、xylililinnn 2+ ， ，5li3nxli5nx- 2 ， ， lim1y1liny则 li5nx解的做法不对，这样做必须先要证明 ， 存在limnxliny3计算：（1） 231lim4567nn（2） 22223li 1n n （3） 1li 3 （4） 2222lim34n n（5） 101li 10nn （6） 213linna（7） 4lim2n（8） 42111li nn 解：（1）上下同除以 ， 3n2 23 31limlim45674567nnn（2） 2222211limli1n nn （3）利用裂项求和， 311112232n 111lim2lim22323n n
10、 （4） ，1n2221134n1lim1lim2n n （5） 1kn则，原式 010101lili5nnkkk（6） ， 时，原式 ；2 11 13333limlimlilim22nnnnn nnaaaa 30时，原式 ； 时，原式 3a238（7） ，414limlinnn e，故原式 4141 41lim23lili nnnn e 4e（8） ，221112 nn224211limlim1nnn 4 （1）已知 ，求实数 的取值范围35li125nnm（2）已知 ，求实数 的取值范围2li97nkk解：（1） 351lili25325n nnn所以， ，得出： 15m8m（2） ，得出
11、： 2 27li397li 1639n nkkkn6k5 （1）若数列 与 满足 ， ，求 的值nablim2nabli1nablimnab（2）若 ，求 的值lim1nlin（3）若 ，求 ， 的值3li2abneab解：（1） lililimnnnn，lim3nnabab，3li2nlilinnnnbab，lim1na，1li2nb则 lili3nna（2）容易证明 ，11limli2limli20nnnaa原式 li1lilinnna（3） ，3 32li li2banbn nee，22lim3 21limli2nanbanb abane e 得出： ， 2abR6已知 ， 分别是 和
12、展开式的系数和，求 的值n3nx23npq3lim2nab解： ， ， a5nblim1nab7求 的值lin解： ，则 lglii0nnli1n8相交于点 点的两条不互相垂直的直线 、 ，在 上取一点 ，作 作OOAB1A1BO，作 ，一直无限地作下去，若已知 ， ，求所有垂线段的长12BAO2B17AB126度和解：用等比数列求和公式，499设数列 的首项 ，前 项和为 ，满足关系na1nnS式 3230,234ntStt偶（1）求证：数列 是等比数列na（2）数列 的公比为 ，作数列 ，使 ， ， ，求nftnb11nnbf234偶lgimnab（3）求和： 11234nbb解：（1）
13、，令 ，得 为等比数列1nntSS23tq123nnta（2） ，求出 ，123nb3nb则 lglg23imi lg213ntatb（3）求出 ，再计算得到 n29167nnS偶为 数 为 数10某公司全年的纯利润为 元，其中一部分作为奖金发给 位职工奖金分配方案如下：首先将职b工按工作业绩（工作业绩均不相同）从大到小由 l 至 排序，第 1 位职工得奖金 元，然后再将余nba额除以 发给第 2 位职工，按此方法将奖金逐一发给每位职工并将最后剩余部分作为公司发展基n金（1）设 为第 位职工所得奖金额，试求 ， ，并用 、 和 表示 （不必证明）kan k2a3knbk（2）证明 ，并解释此不
14、等式关于分配原则的实际意义121k偶（3）发展基金与 和 有关，记为 对常数 ，当 变化时，求 nbnPbnlimnPb解：（1）第 1 位职工的奖金 ，第 2 位职工的奖金 ，1a21a第 3 位职工的奖金 ，231abn偶第 位职工的奖金为 k 1kk（2） ，此奖金分配方案体现了“按劳分配”或“不吃大锅饭”等原1120kkabn则（3）设 表示奖金发给第 位职工后所剩余款，kfbn则 ， ，1fn221fbb，得 ，故 kkfb nnnPflimnbPe11冬天，洁白的雪花飘落时十分漂亮为研究雪花的形状，1904 年，瑞典数学家科克（Koch Heige Von）把雪花理想化，得到了雪花
15、曲线，也叫科克曲线它的形成过程如下（参见网 12-5）：（i ）将正三角形（图）的每边三等分并以中间的那一条线段为一底边向形外作等边三角形，然后去掉底边，得到图；（ii）将网的每边 i 等分，重复上述作图方法得到图；（iii ）再按上述方法无限多次继续作下去，所得到的曲线就是雪花曲线 12-5将图，图，图中的图形依次记作 ， ， 设 的边长为 11M2n1M求：（1）写出 的边数 、边长 、周长 nMnanbnL（2） 的面积 nS（3）观察上述求解的结果，数列 ， 有怎样的特性？它们的极限是否存在？若存在，求出极nnS限并归纳雪花曲线的特性解：（1） ； ； 134na13nb143nL（2
16、）当由 生成 时，每条边上多了一个面积 的小等边三角形，共有 个1nMn 2nb1na则 2221111333444nnnnnSabSaba223 由于 ，14S则24231133nnn 214399n1250n（3） ， 都是等比数列，且是单调递增的数列；nLnS极限不存在； 极限存在， 23lim5nS雪花曲线的特性是周长无限增大而面积有限的图形12考察数列 ， ， ， ， ， ，13nnx6nnxqrstnqrnstZ求： ， ， limnrqlinslintq解：由于 ，13236nnrst所以 ；2nqt；13236nnrst2qt这是一个关于 ， ， ， 的一元四次线性方程，n2r
17、3ns6nt解得 ；111231234nnnq；2323nnnnnr，ns nt于是 123123123123limlinnnnnnrq由于上式分母的四个数中， 的绝对值最大，因此上式极限等于 123 12另两个类似，所以， ， ， limnrq1linsq1lim6ntq13已知 ，数列 满足 ， ， 0ana1a1nna2偶（1）已知数列 极限存在且大于零，求 （将 用 表示） liAa（2）设 ， ，证明： nbaA12n偶 1nnb（3）若 对 ，2，都成立，求 的取值范围n a解：（1）由 存在，且 ，对 两边取极限得 ，解得limnalim0nA1nna1Aa又 ，则 24A0A2
18、4a（2）由 ， ，得 nab1nna11nnbAab则 1n nA即 对 1，2，都成立nb（3）令 ，得 12 142a则 4a则 ，解得 21 32a现证明当 时， 对 ，2，都成立3a nb 1当 时结论成立（已验证） n假设当 时结论成立，即 那么1k 2kb1 1kk kkbA1 2kk kkbb故只须证明 ，即证 对 成立1kA kA 32a由于 ，224aa而当 时， ，则 32a 241a 2a则 ，即 kkkbAb kAb故当 时， 32a 112kk即 时结论成立根据和可知结论对一切正整数都成立nk故 对 1，2，都成立的 的取值范围为 b a32偶128 无穷等比数列各
19、项的和基础练习1化混循环小数 为分数0.3245解： 70.3245102计算：（1） 213lim13nn（2） 255li00nn解：（1） 21133lim21nn（2） 2 25550li10141nn3等比数列 的首项为 ，前 项和为 ，且 ，则 =_na1annS126793limnS解： ， 为公比，利用条件求出 ， 1nqS 3qlin4无穷等比数列 的所有项的和是 9，各项平方和是 27，则此数列的公比 =_na q解： 122911327qqa偶 5在等比数列 中， ，且前 项和 满足 ，则以 的取值范围是_n1annS1limna1解： 11lim2naSqa偶6已知数列
20、 满足 ， 是数列 的前 项和，求数列： ， ，*2nNnSna21S3， ，所有各项的和432S1n解： ，则 ，所求和为 112nnS147无穷数列 的前 项和 满足关系式 ，当 且 时，求无穷na 1nnSmaR偶2m0数列 的各项和 nS解： ，*111 2nnnnSmaan N偶 - 得出： *2nN偶首项为 ，公比为 ，且 ，1m11m则 ，答案为 11S8已知等比数列 的首项为 ，公比为 ，且 ，求首项 的取值范围na1aq1lim2nnaq1a解： 11limlim2nnnq，或 11li002naqq偶 1132aq得出 且 或 101a139数列 的前 项和记为 ，已知 ，
21、求 nnS*53naSN13521limnnaa解：先求数列通项， ，再利用无穷等比数列求和公式计算，134na13521lim5nna能力提高10设 ， ， 3nnabnbZ（1）猜测用 ， 表示 的表达式nab53n（2）若点 的坐标是 ，求当 时，直线 斜率的极限Pn偶1nP解：（1） 533ab（2） ，5325333nnnnnnnnab得出 1lim3nba11在直角三角形 中，斜边 ，直角边 ， 是 的内切圆，作 和 ，ABC54AC1O ABC 2O AB及 都相切，再作 和 ， 及 都相切，如此无限继续下去，求所有圆面积的和AC1O 3O 2解：相邻两个圆的半径比为 ， 的半径
22、为 1结果为 101 201412一弹性小球自 米高处自南下落，当它与水平地面每碰撞一次后速度减少到碰前的 ，不计05h 79每次碰撞时间，计算小球从开始下落到停止运动所经过的路程和时间解：利用公式 ， ，利用无穷等比数列各项和的公式，计算出：2vgvt总路程是 米，总时间是 8 秒0.313定义：将一个数列中部分项按原来的先后次序排列所成的一个新数列称为原数列的一个子数列已知无穷等比数列 的首项和公比均为 na12（1）试求无穷等比子数列 各项的和*31kN（2）已知数列 的一个无穷等比子数列各项的和为 ，求这个子数列的通项公式na 17（3）证明：在数列 的所有子数列中，不存在两个不同的无
23、穷等比子数列，使得它们各项的和相等解：（1）依条件得 则无穷等比数列 各项的和为：*312kkaN31ka23718a（2）设子数列的首项为 ，公比为 ，由条件得： ，1bq102q则 ，即 ，则 12q 12q 11747bq偶而 ，则 ， *1mbN18b所以，满足条件的无穷等比子数列存在且唯一，它的首项、公比均为 ，18其通项公式为 ， 18nb*（3）假设存在原数列的两个不同的无穷等比子数列，使它们的各项和相等设这两个子数列的首项与公比分别为 、 和 、 ，其中 、 、 、 且 或 ，则2amb12nabm*nNabmn112abanbmmn若 且 ，则 ，矛盾；若 且 ，则 ，矛盾；
24、ab12mnabmn12anb故必有 且 ，不妨设 ，则ab1122nabnm 12ababnm mnmab等式的左，右端的奇偶性均矛盾22abnn故不存在原数列的两个不同的无穷等比子数列，使得它们的各项和相等129 数列的综合应用能力提高1设等差数列 ， 的前 项和分别为 和 ， ，且 ，nabnnST127nA3746285abb；函数 是函数 的反函数，且 ， 26Sygx21fx11ncgnN偶c（1）求常数 的值及函数 的解析式Ayg（2）求数列 及 的通项公式nac（3）若 ，试求 nd偶为 数为 数 12ndd解：（1）由 知： ，而 ，3746285abb5a199522aSb
25、T，解得 令 ，得 ，即 9275A1A21yx12y12xg（2）令 ， ，得 ，即 1nSk26S1k2nS当 时， ，当 时， ，11an 2112nann综合之： 2n由题意， 变形得： 1c12nnc数列 是 为公比，以 为首项的等比数列n21，即 1nc2nnc（3）当 时，2k121321242nk kddaacc 4413kk12 2423nn1243n当 时，nk131321242nk kddaacc 24k221413432k nnk综合之： 12122432nn ndd 偶偶为 数为 数2已知正整数列 满足条件：对于任意正整数 ，从集合 中不重复地任取若干个na 12na
26、a偶数，这些数之间经加减运算后所得的数绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与 ， ，12a一起恰好是 1 至 全体自然数组成的集合，其中 为数列 的前 项和nanSnSna（1）求 ， 的值12a（2）求数列 的通项公式na解：（1）记 ，显然 对于 ，有12AS偶1aS2122Sa，2222234sa偶故 ，所以 14a3（2）由题意知，集合 按上述规则，共产生 个正整数；12naa偶 nS而集合 按上述规则产生的 个正整数中，除 1，2， 这 个正整数外，12na偶 1n nS还有 ， ， ，共 个数ni 12aiS偶2所以， 123nnSS因为 ，所以， 3n 11322nnS又因为当
27、 时， 2 13nnna 而 也满足 所以， 1a1313a3 是定义在2，4上且满足如下条件的函数 组成的集合：对任意的 ，都有A x12x偶；存在常数 ，使得对任意的 ， ，都有21x偶01L12x偶1212x（1）设 ， ，证明： 34偶xA（2）设 ，如果存在 ，使得 ，那么这样的 是唯一的xA012x0020x（3）设 ，任取 ，令 ， ，证明：给定正整数 ，对任意1偶1nnx1偶 k的正整数 ，成立不等式 p2kkpLx解：（1）对任意 ， ， ， ， ，所12偶31x1偶3325x 3152以 ，2x偶对任意的 ， ，12偶，1212 23331121xxxxx，23331122
28、1xxx所以 ，23331120 令 ， ，23331122Lxxx012L所以 xA（2）反证法：设存在两个 ， ， ，使得 ， ，则0x12偶0x002x02x由 ，得 ，所以 ，矛盾，故结论成立002xL 0L 1L（3） ，所以322121xx 121nnxxkkpkpkpkpkx L 12311111 21 21kpkpkkkkk LxxLxxLxx 4在正项数列 中，令 na11niiiSa（1）若 是首项为 25，公差为 2 的等差数列，求 n 10S（2）若 （ 为正常数）对正整数 恒成立，求证 为等差数列11nnpSanna（3）给定正整数 ，正实数 ，对于满足 的所有等差数
29、列 ，求kM21kaM n的最大值1221kkTaa解：（1）：由题意得， ，所以 112iiiia201105aS（2）证：令 ， ，则 1n212paap所以 111niii nS112niii npSaa-，得 ，121112nnnna化简得 aa231nn-，得 12aa在中令 ，得 ，从而 为等差数列n13na（3）记 ，公差为 ，则 ，ktad122112kkkTtd则 ，12T221kMatd，222444300051kd Tttdtk则 ，当且仅当 ，即 时等号成立12kT 235tdkM1304kMatd5已知函数 定义域为0，1 ，且同时满足对于任意 ， ； ；若fx 01
30、x偶3fx 14f， ， ，则有 10x 2 12 12123fxff（1）试求 的值f（2）试求函数 的最大值fx（3）设数列 的前 项和为 ，满足 ， ， nanS1a32nSa*nN求证： 12327lognfff解：（1）令 ，则有 ，即 120x0ff 03f又对任意 ，总有 ，所以 偶3fx f（2）任取 ， ， ， 1x201221211213xxfxfx因为 ，则 则 0 3fx 3f f f则当 时， ，所以函数 的最大值为 401x偶14fxf fx（3）当 时， ，则 n1132nnnnaSa13na则数列 是以 为首项，公比为 的等比数列 n1 1nn1 11 1111
31、3333nn nnnf f ff 4nf则 ，即 11133nnnf 13nnfa则 2 1213nfaff 1133122nnn n 又 ，则原不等式成立321327logl 3nna 6设 ， 为正八边形的相对顶点，顶点 处有一只青蛙，除顶点 外青蛙可以从八边形的任一顶AEAE点跳到两相邻顶点中任一个，落到顶点 时青蛙就停止跳动，设青蛙从顶点 恰好跳 次后到 的方EAnE法数为 ，求 nan解：显然 ， 且任何奇数次跳不到 ，421230a*210maN又从 跳到 2 次可到 和 ，设从点 处跳 步到 的跳法为 ，则 ACGCnEnb21从而， 2nnba（表示点 到 ，或由 到 或 后再回到 ）BD或 2nn（表示点 到点 或 ，或者点 到 或 再回到 ）ACGAHA由-，化简，得 ，24nnba从而 24na当 ， 时，另 ，则 ， ， m2mca1240mmcc12c由特征方程 得，特征根为 240x故 22mmmcAB由 ， ，得1024， 12故 112mmmac
