1、第四章 幂函数、指数函数、对数函数4.1 幂函数基础练习1研究下列函数的性质,并作出其图像 ;16yx 3解: 的图像 的图像16yx 13yx 52 5 2424525图1图图2设 ,已知幂函数 为偶函数,且在 上递减,试确1323a, , , , , , , ayx0,定满足条件的幂函数,并作出它们的大致图像解: 函数 的图像 函数 的图像2yx1 42542函数 的图像 函数 的图像12yx13tx 54 2225函数 的图像 函数 的图像1yxyx242245函数 的图像 函数 的图像2yx 3yx 图2图图422463已知 , 是幂函数,其图像分布在第一、第三象限,求3241mfxm
2、x0的解析式f解:春回大地为 是幂函数,所以 ,解得 或 或 f 32413m2m由于 是幂函数,且图像分布在第一、第三象限,故 0fx所以 34已知函数 为偶函数,且 ,求 的值,并确定 的解析式23mfxZ35fffx解:由于 是偶函数,则 应为偶数2又由于 ,即 ,整理,得 ,35ff22335m231m由于 ,则 201又由于 ,则 或 mZ当 时, 为奇数(舍去) ;当 时, 为偶数023123故 的值为 1, 2fx5若 ,试求实数 的取值范围3m解:由于函数 在 上单调递增,所以 ,解得 y, 132m236若 ,试求实数 的取值范围11223m解:由题 6 题解配图, ,解得
3、01m 3O Oxyxy y =x412y=x图6图图7若 ,试求实数 的取值范围44132mm解:作出幂函数 的图像如题 7 解题配图所示由图像知此函数在 上不具有yx 0, ,单调性,若分类讨论步骤较繁,把问题转化到一个单调区间上是关键考虑 时, 4a4x 图7图图24于是有 ,即 44132m44132m又由于幂函数 在 上单调递增,yx0,由于 ,解得 ,或 34能力提高8讨论函数 在 时随着 的增大其函数值的变化情况221kyx0x解:(1)当 ,即 或 时, 为常函数0k0y(2)当 时, 或 ,此时函数为常函数2112k(3) 即 时,函数为减函数,函数值随 的增大而减小2k,
4、, x(4)当 ,即 或 时,函数为增函数,函数值随 的增大而增大2011k2(5)当 ,即 时,函数为增函数,函数值随 的增大而增大2k20x(6)当 ,即 时,函数为减函数,函数值随 的增大而减小201k1k9已知幂函数 为偶函数,且在区间 上是减函数,求 的解析式,23mfxZ0, fx并讨论函数 的奇偶性bgaxf解:因为幂函数 在区间 上是减函数,所以有 23mfxxZ0, 230m解上述不等式得到: ,而 ,所以 或 11m, 2当 或 时, 是奇数,不合题意,0m22当 时, 是偶数,故 ; 1344fx32agxb(1)当 , 0 时, 是奇函数ab3gxb(2)当 , 时,
5、是偶函数2a(3)当 时, 既是奇函数又是偶函数当 时, 即不奇函数,又不是偶函数0ab32gxb10已知函数 ,且 kfZ23ff(1)求 的值k(2)试判断是否存在正数 ,使函数 在区间 上的值域为p121gxpfxx12,;若存在,求出这个 的值;若不存在,说明理由748,解:(1) 或 120120kk(2)假设存在 满足题设,由(1)知 , p21gxpx12,由于 ,则两个最值点只能在端点 和顶点 处取得g, 4p,则 解得 2max min4712348gxpp, 2则存在 满足题意11设函数 ( , 为常数) ,且:bfxa(1) 20(2) 有两个单调递增区间,写出一个同时满
6、足上述两个条件的有序数对 fx ab,解: ,如 4ba14,12已知函数 有如下性质:如果常数 ,那么该函数在区间 上是减函数,在区yx0a0,间 上是增函数,(1)如果函数 的值域为 ,求实数 的值20byx6, b(2)研究函数 (常数 )在定义域内的单调性,并说明理由2c(3)对函数 和 (常数 )作出推广,使它们都是你所推广的函数的特例研ayx2ayx0究推广后的函数的单调性解:(1) 2log9b(2) 和 递减, 和 递增1/4c, 1/40c, 1/4c, 1/4c,(3) (常数 )在 上是减函数,在区间 上是增函数;当 为奇nnyxaa/0na, 1/na, n数,则相反4
7、.2 指数函数1利用指数函数的性质,比较下列各组中两个数的大小;(1) 和 231.4(2) 和 230.734.(3) 和 2812089解:(1) .4(2) 330.7(3) 22088912若函数 101xf m, 解:由于 ,则 1x, 3设 ,求出 的值42xf23100ffff解:可证: ,进而可得:答案为 500f4某工厂今年 1 月、2 月、3 月生产某产品分别为 1 万件、1.2 万件、1.3 万件,为了估测以后每个月的产量,以这三个月的产品数量为依据,用一个函数模拟该产品的月产量 与月份数 的关系,模拟yx函数可以选用二次函数或函数 (其中 、 、 为常数) 、已知四月份
8、该产品的产量为 1.37xyabcabc万件,请问用以上哪个函数作为模拟函数较好?请说明理由解: 作为模拟函数较好理由略20.851.4xfx5比较 与 ( 且 )的大小amb0m, 1解: ,1abab 时, ,1ab时,则 ab时,则 0m, m综上, ab6设 10xf(1)证明 在 上是增函数,(2)求 值域fx解:(1) 12D, 21122112 12 0000xxxxx xff 由于 ,则 ,所以原函数单调递增11xx21ff(2) 00xxf,7设函数 ,求使 的 取值范围1x2f x解: 41xf x ,7(1)求函数 的值域1402xxf(2)如果函数 有两个不同的零点,求
9、实数 的取值范围142xxfa a(3)已知函数 在 上单调递减,求实数 的取值范围71xax , a解:(1) ,21xf令 ,02xt,则 , 1gt3gt,(2) ,xt, ,2a0t,问题转化为 在 有两个不同的零点,21gt,可得: 034,(3)略9已知函数 , 在 上是增函数,求实数 的取值范219xafx01a, , a围解: ,3xfa时, 单调递增,则 且 ;1ax 1a290时, 单调递减,则 ,0, x则 3, ,能力提高10设 , ;2xef2xeg(1)求证: 且 是奇函数ff(2)求证: 且 是偶函数221xxfxgx证明:(1) ,2xef2xxxefxg则 ,
10、所以 为奇函数2eff(2) xg, , ,21xe221xef222xefxg,则 为偶函数g11设 ,求函数 的最大值和最小值0x 12241xxay解:当 时, , ;1a 2min3amax49当 时, , ;512a min1y2ax49当 时, , ;4ia3当 时, , a 2min49y2maxy12定义在 上的增函数 对任意 , 都有 RfyRfxyffy(1)求 0f(2)求证 为奇函数x(3)若 对任意 恒成立,求实数 的取值范围3920xfkfxk解:(1)令 ,可得 0yf(2)令 ,可证 ff(3)即 3923121xxxkkk13已知集合 是满足下列性质的函数 的
11、体体;存在非零常数 ,对任意 ,有Mf TxR成立fTf(1)函数 是否属于集合 ?说明理由x(2)设函数 ( ,且 )的图像与 的图像有公共点,证明: xfa01ayxxfaM(3)若函数 ,求实数 的取值范围sinkk解:(1)对于非零常数 , , ,因为对任意 , 不能恒成,TfxTf xRT所以 fxM(2)因为函数 ( 且 )的图像与函数 的图像有公共点,xfa01ayx所以方程组: 有解,消去 得 ,yyx显然 不是方程 的解,所以存在非零常数 ,使 0xxTTa于是对于 有 ,故 faxTxxfaf xfaM(3)当 时, ,显然 k00fM当 时,因为 ,所以存在非零常数 ,对
12、任意 ,有 成立,sinfxk RfTfx即 sinxT因为 ,且 ,所以 , ,于是 , ,0kRxkTRsin1kx, sin1kx,故要使 成立,只有 ,当 时, 成立,则 ,isikx12kmmZ当 时, 成立,即 成立,1Tininsisikxkx则 , ,即 , 2kmZ2kmZ综合上述得,实数 的取值范围是 ,14已知函数 有如下性质:如果常数 ,那么该函数在 上是减函数,在ayx0a0a,上是增函数a,(1)如果函数 在 上是减函数,在 上是增函数,求 的值20byx4, 4, b(2)设常数 ,求函数 的最大值和最小值14c, 12cfxx (3)当 是正整数时,研究函数 的
13、单调性,并说明理由n0ncgx解:(1)由已知得 ,则 24b(2)由于 ,则 ,于是,当 时,函数 取得最小值 1c, 1c, xccfx2c,2f当 时,函数 的最大值是 ;c fx2f当 时,函数 的最大值是 24 1c(3)设 , 120x21221112nnnncgxxx当 时, ,函数 在 上是增函数;2ncg2c,当 时, ,函数 在 上是减函数21nxc21xx0n,当 是奇数时, 是奇函数,g函数 在 上是增函数,在 上是减函数2n, 2nc,当 是偶数时, 是偶函数,nx函数 在 上是减函数,在 上是增函数gx2nc, 20n,15若 , , , , 为常数,且113xpf
14、23xpfR1p2221ffff, ,(1)求 对所有实数 成立的充要条件(用 , 表示) xx12p(2)设 为两实数, 且 , ,若 求证: 在区间 上的ab, ab1p2ab, fafbfxab,单调增区间的长度和为 (闭区间 的长度定义为 ) 2mn, nm解:(1) 恒成立1fxf12123xpxpfxf 123xp(*)3log若 ,则 ,显然成立;若 ,记 1202 12p12gxpx若 时,12p12121pxxx 所以 ,故只需 1maxg23logp当 时,12p1212212px 所以 ,故只需 21maxg13logp综上所述, 对所有实数 成立的充要条件是 ffxx1
15、23logp(2)第一,如果 ,则 的图像关于直线 对称如题 15 解题配123logp 1ffx1xp图 因为 ,所以区间 关于直线 对称fafbab, 1因为减区间为 ,增区间为 ,所以单调增区间的长度和为 1ap, 1pb, 2ba第二,如果 ,不妨设 ,则 23log2213logp于是当 时, ,从而 1x 113pxxpxf f1fxf当 时, ,从而 2p 2222logx p 2fx当 时, 及 ,111pfxf由方程 ,得 01203xppx 203l显然 ,表明 在 与 之间1022132logp0x1p2所以 10202fxxf p综上可知,在区间 上, 如题 15 解题
16、配图 ab, 1020fxaxf b b故由函数 及函数 的单调性可知, 在区间 上的单调增区间的长度之和为1fx2fxfa,由 ,即 ,得 02xpf123pabp123log2故由 得 0122logbp综合上述两方面可知, 在区间 上的单调增区间的长度和为 fx, 2ba (x0,y0)(b,f(b)图15图图(P1,) (P2,)(a,f(a) (b,f(b)(a,f(a)(b)(a) xOyyO x4.3 对数概念及其运算基础练习1把下列各题的指数式写成对数式:(1) (2) 246031(3) (4) x .5x解:(1) log(2) 301(3) 4l2x(4) .52把下列各
17、题的对数式写成指数式:(1) (2) 5log78log7x(3) (4) 43x13解:(1) (2) (3) (4) 57x87xx173x3计算下列各题:(1) 22lglg5llg1(2) 358100.6(3) 2662lolg(4) l0.7lg3(5) 1lolmba(6) 278lg0l.解:(1)1.(2) 1.(3) 1.(4) 21.5(5) 1.(6) 324 (1)已知 , ,试用 、 表示 5loga5lbab5log1(2)已知 ,求 1276og1(3)已知 , ,求 8l9b36l45解:(1) (2) (3) 4a2a5设 且 0xyz, , , xyz(1
18、)求证: 1(2)比较 , , 的大小346z解:(1)换无法,令 , , , ,即可证1xyzmlog3mx1log4my1log6mz(2)由于 ,则 643466用 , , 表示下列各式:logaxlalogaz(1) yz(2) 23la解:(1) ogllogaaxyz(2) 1l23a7求解下列各题:(1)已知 , ,试用 , 表示 lg0bab24log15(2)已知 , ,试用 , 表示 3o55lg7763(3)已知 ,试建立 间的关系式62abcc、 、解:(1) 1(2) 2ab(3) 或 123abc0c8我们都处于有声世界里,不同场合,人们对音量会有不同的要求,音量大
19、小的单位是分贝 ,dB对于一个强度为 的声波,分贝的定义是: 这里 是人耳能听到的声音的最低声波强度,I 01Iyg0I,当 时, ,即 120W/mI0ydB(1)如果 ,求相应的分贝值(2) 时声音强度 是 时声音强度 的多少倍?7dBI6dI解:(1) ,相应的分贝值为 2/I 120(2) 时声音强度 是 时声音强度 的 10 倍009科学研究表明,宇宙射线在大气中能够产生放射性碳 14碳 14 的衰变极有规律,其精确性可以称为自然界的“标准时钟” 动植物在生长过程中衰变的碳 14,可以通过与大气的相互作用得到补充,所以活着的动植物每克组织中的碳 14 含量保持不变死亡后的动植物,停止
20、了与外界环境的相互作用,机体中原有的碳 14 按确定的规律衰减,我们已经知道其“半衰期”为 5730 年湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳 14 的残余量约占原始含量的 76.7,试推算马王堆古墓的年代解:马王堆古墓是近 2200 年前的遗址能力提高10设 , ,且 ,求 的最小值1xy2logl30xy24Txy解:令 ,log0tt则 , , , ;则 ,则 ,23t23t12t1t1logxxy代入可得: 244Tx可知: ,当且仅当 , 时取最小值minxy11 (1)设 都是正数,且 ,求 的值abc, , 36abc2abc(2)已知 ,且 ,求: 的值0, , 1, , logllo
21、glloglbcacabbca(3)设 ,若 ,求 的值292078fxx 207901f2097f解:(1)令 , , , ,代入,原式 345abc3loam4l5lm(2)利用公式: ,证明如下:logl,loglllg glll glbbbbcacbbcacacb可得:原式为 0(3)利用函数奇偶性,令 ,为奇函数,208xf由于 ,209207log7log9则原式 612解方程组: (其中 ) 13xyxyR,解:方程组的解为 ; 1y2413对于正整数 和实数 ,若 ,且 ,求abc, , xyzw, , , 70xyzwabc1xyzw证: c证明:由 取常用对数得 70xyz
22、wlgllglabc所以 , , ,1lglaw1lglby170cz相加得 ,由题设 ,11lgllg70abcwxyz1xyzw所以 ,所以 所以 70abc7025abc若 ,则因为 ,所以 与题设矛盾,所以 llgxw又 ,且 为 70 的正约数,所以只有 , , abc abc, , c所以 4.4 反函数基础练习1求下列函数的反函数:(1) 53yx(2) 20(3) (4) ( 且 ) xyR2x解:(1)由 ,得 ,将 与 互换,得 5335yxy35xy(2)由 ,得 ,因为 ,所以有 20yx 2x0 2y将 与 互换,得 ,所以函数 的反函数是2x(3)由 ,得 ,将 与
23、 互换,得 ,32yx32yxy32y所以函数 的反函数是 3(4)由 ,得 ,即 2xyyx3yx当 时, ,将 与 互换,得 ( 且 ) 2R2x所以,函数 ( 且 )的反函数是 ( 且 ) 32xyRxy2若函数 存在反函数,则下列命题中不正确的是( ) f函数 与函数 的图像关于直线 对称fyx若 是奇函数,则 也是奇函数yfx1x若 在其定义域 上是增函数,则 在 上也是增函数ab, 1yffafb,函数 与 的图像重合f1fy解:3函数 在区间 上存在反函数的充要条件是( ) 23fxx2, 1a, a, , 1, ,解:抛物线只能是在单调区间上才存在反函数,4已知 ,函数 的图像
24、与 的图像关于直线 对称,则231xfygx1yfxyx_1g解:由于 , ,则 , xf1xfgf3112gf5若点 既是 的图像上,又在它的反函数图像上,则124, 2axby_; _a解: 20.5710ab6若函数 的反函数是 ,则 _2xf1fx12f解:解方程 得 1f7若定义在 上的函数 的反函数是 ,且 ,则R1yx1yfx01f_208f解: ,可得:20091xf8已知函数 (定义域为 ,值域为 )有反函数 ,则方程 有 ,且yxDA1yfx0fxa的充要条件是 满足:_fD1yfx解: 且 10a1f9设函数 ,又函数 与 的图像关于 对称,求 的值2xfg1fyx2g解
25、:由图像可知 2gf10若点(2,1)既在函数 的图像上,又在它的反函数的图像上,求实数 的mxn mn,值解: f37mn11 (1)设函数 (定义域为 ,值域为 )的反函数是 ,且函数 在 上yfxDA1yfxyfxD单调递增,证明函数 在 上也是增函数1(2)设函数 是 上的奇函数,证明函数 也是 上的奇函数f 1yfxA解:(1) 时, , 则21x12122100xfffxf,得证fyfx(2)略12已知函数 ,20xf(1)求函数 的反函数 1f(2)若 时,不等式 恒成立,试求实数 的取值范围2x xaxa解:(1) ,1f(2) ,能力提高13 12fx(1)证明函数 有反函数
26、,并求出反函数f(2)反函数的图像是否经过(0,1)点?反函数的图像与 有无交点?yx(3)设反函数为 ,求不等式 的解集1yfx10fx解:(1) 在正实数集上是增函数,则 有反函数,fxfx;24f xR(2) 经过点(0,1) ;无交点;(3)解集为空集14已知函数 的反函数定义:若对给定的实数 ,函数 与yfx 0ayfxa互为反函数,则称 满足“ 和性质” ;若函数 与 互为反函1yfxayfx 1f数,则称 满足“ 积性质” fa(1)判断函数 是否满足“1 和性质” ,并说明理由20gx(2)求所有满足“2 和性质”的一次函数(3)设函数 对任何 ,满足“ 积性质” 求 的表达式
27、yf ayfx解:(1)函数 的反函数是 2x11gx由于 10g而 ,其反函数为 ,21xy故函数 不满足“1 和性质” x(2)设函数 满足“2 和性质” , fkbR0k则 ,则 1fx1xbf而 ,得反函数 2kx2yk由“2 和性质”定义可知 对 恒成立,bkkxR则 , ,即所求一次函数为 1kbRfb(3)设 , ,且点 在 图像上,则 在函数 图像上0ax0xy, a0yx, 1yfax故 ,可得 10fy 0affx令 ,则 ,即 ax0x0ff0xff综上所述, ,此时 ,其反函数就是 ,而 ,1nkbqxkakyax1kfxa故 与 互为反函数yfxyfa4.5 对数函数
28、基础练习1求下列函数的定义域:(1) (2) 2log1yx21logyx(3) (4) la3l(5) (6) 24lgxy22logl16xxy解:(1) 1, ,(2) 2, ,(3) (-1,1) (4) 15315, ,(5) 202, , ,(6) 4, ,2求下列函数的值域:(1) (2) 21log67yx213log45yx解:(1) 8, , ,(2) , 24509, ,3利用对数函数的性质,比较下列各题中两个值的大小:(1) 和 ;0.1log0.1l(2) 和 ,其中 , ;m340m1(3) 和 ,其中 lalbab解:(1) 0.10.1og(2)当 时, ,当
29、时, 23llog4m0123logl4m(3) l3ab4函数 在 恒为正,求实数 的范围2ogyxa, a解:首先,由于 取值可以正无穷大,可知 1所以只要 在 恒大于 1,即 ,在 上恒成立2, 2x2,转化为: 在 上恒成立1x2,即 在 上恒成立则 a, minax因为 在 上单调递增则 ,则 yx, i152512a5设 ,则对任意实数 是 的什么条件?322log1fx0ab, , 0ffb解: 是奇函数,且单调递增x0fafbfafba 充分必要条件6已知函数 的反函数是 ,且 ,求 的范围xef1fx0.816fk解: ,则 11ln2yfx 2ln9og34k7已知函数 ,
30、lgxf(1)求函数 的定义域,并判断它的单调性(不用证明) x(2)若 的反函数为 ,证明方程 有解,且有唯一解f1f 10fx(3)解关于 的不等式 x解:(1) 的定义域为 , 在定义域(-1,1)内是增函数fx、f(2)令 ,得 ,即 是方程 的一个解01f0x设 是 的另一解,则由反函数的定义知 ,这与 矛盾,故11f 10fx01f有且只有一个解10fx(3)先计算定义域,然后由于 ,则 或 f15012xx1502x8 (1)已知 在区间 上是 的减函数,求实数 的取值范围log4ay、 a(2)函数 , 在区间 上是增函数,求实数 的取值范围2f a34、 a(3)如果不等式
31、在区间 上恒成立,求实数 的取值范围l0ax12、解:(1)分类讨论可得 1、(2) ,恒成立a, 在 单调递减0、2x34恒成立,故 , ,且 , a 8 132a 164、(3)易知 ,极限情况 1loga、9若函数 的值域为 ,求实数 的取值范围2log3ayxR解: 可以取遍所有的正数,即 2x 4019 、10已知函数 是奇函数 1lamfxa(1)求出实数 的值(2)根据(1)的结果,判断 在 上的单调性(不必证明) fx1、(3)如果当 时, 的值域恰为 ,求 和 的值2xr、ar解:(1)由定义可知 (2) , 单调递减; , 单调递增a10a1x(3)即 , 01mrx、23
32、11设函数 ,2logllogxf xpx(1)求函数的定义域(2)问 是否存在最大值与最小值?如果存在,请把它写出来;如果不存在,请说明理由fx解:(1) 的定义域为 1p、(2)当 ,即 时,函数 既无最大值又无最小值;1p 3 fx当 ,即 时,函数 有最大值 ,但无最小值2log1p12已知 是偶函数4logfxkxR(1)求 的值k(2)证明:对任意实数 ,函数 的图像与直线 最多只有一个交点ayf2yxb(3)设 ,若函数 与 的图像有且只有一个公共点,求实数 的取值4log23xxxg a范围解:(1) ,所以 1k41log2xy(2)由 ,41log2xxb假设方程有两个不相
33、同的实根 ,则 12、114xxb221xxb由得 ,因为 ,所以 ,即 ,代入或不成立,假设错1214xb12x40b误,命题成立(3)解法 1:由方程 44loglog3x xa#可变形为 ,由得 ,或 ,4230xxxa 02x042x由得 ,令 ,则 ,或 2413xxa43xt53at253t则 2616753tt当 时, 单调递增,则 ,则 ,此时方程 有且只有一个解;53t74t 75340t1a#当 时, , ,当 时方程 有且只有一个20t 613at 解当 或 时,函数 与 的图像有且只有一个公共点3a1fxg解法 2: ,4441423loglo230xxx xxaa,2
34、 2411013xxaatat 两个交点 式两相异正根 ,40331aa一个交点 式只有一个正根 讨论得 ,1、综上: 时,一个交点31a、13已知 ,当点 在 的图像上运动时,点 在函数2logfxMxy、fx2Nxny、的图像上运动 nygnN(1)求 的表达式n(2)求集合 关于 的方程 有实根, Aax12gxaR(3)设 ,函数 的值域为 ,12ngnHx 10FHxb 5422loglba、求实数 的值b、解:(1)由条件知 ,则 02xyn020logyx则 2lognx(2)由于方程 即 ,12xaa则求集合 就是求方程 有实根时 的范围Ax而 ,2194a则 时原方程总有实根
35、, 94 Aa(3) ,且 在 单调递减21logFxxFxR则 ,5242ll1ogogbbaa, 524l1ogba3b14设 , , 且 若 当 有意义,11lxx xnaf nRN2n fx1、求 的取值范围解: 在 有意义,当且仅当 ,对 恒成立即函fx、 210xxa 、数 对于任意的 恒成立1210xxngan 、因为 在 上是减函数,其最小值为 ,所以x、 12ngna对 恒成立的充要条件是 ,即 0g1102na故所求实数 的范围为 a2n、15已知 ,是 上的奇函数1xfaR(1)求 的值(2)求 的反函数f(3)对任意的 解不等式 0k、12logxfxk解:(1)由题知
36、 ,得 ,此时fa,即 为奇函数21201xxxxfxffx(2)由于 ,得 ,xxy 1xy则 12log1f(3)由于 ,则 ,则 ,12logxfxk1xk1xk当 时,原不等式的解集 ;0k当 时,原不等式的解集 2 1x16已知 ,其中 2logafxa(1)试求 的定义域和值域;求出 的反函数 f1fx(2)求出 的反函数 f1fx(3)判断函数 的奇偶性和单调性1(4)若实数 满足 ,求 的取值范围m120ffm解:(1)由于 ,所以,函数 的定义域为 函数 的值域为 2xfxRfxR(2)设 ,则 ,利用 与 互为倒数,可得 ,yf2yax21221yax所以, 所以, , 1
37、xfa(3)任取 ,则 ,所以,函数 为奇函数xR1 12xf f 1fx任取 , ,且 ,则由 及指数函数的性质可知:12x, ,所以, ,即 ,所以, 在定义域内单调xa12xa1122xxaa12fxf1fx递增(4)由 得: ,即120fmffmf11f结合 的单调性可知:上式等价于: ,解之得: 或 x 211m217已知函数 2log0afxa、(1)求反函数 ,并求出其定义域1(2)设 如果 ,求 的取值范围2laPnf32nPNa解:(1)设 2ogyxx则 2yyax两端平方整理得: 220yyyaaa 则 12xxf由于 时, 值域为 ;a2logafxlog2a、时, 的
38、值域为 0xloga、则 的定义域为: 时, ,1f1、时, al2a、(2) ,1 22 1og2nnPnf aa由 ,3332nnnnn即 3130nnnnaa由于 ,则 ;03nn a又由于 ,则 ,nNlog2l1aa即 13a4.6 指数方程和指数不等式1解下列方程:(1) 139xx(2) 628x(3) 55610xx(4) 94xx(5) 212(6) xx解:(1) . (5) .(6) .05.3.4123log210、2解下列不等式:(1) 283xx(2) 14xx(3) 223x解:(1) (-2,4) (2) 20log(3) 、3已知关于 的方程 有一根是 2x2
39、1940xxa(1)求实数 的值(2)若 ,求不等式 的解集01a2xxa解:(1)将 代入可得 或 (2)设 后解方程得 1xt1、4设 , ,求证:关于 的方程 的根不在区间0 ,1内0ax2xa证明:用反证法证:假设方程有解 ,x、由不等式可知: ,则 22xa 1则 ,得出: ,矛盾21a 因此,题目结论成立能力提高5若 ,不等式 恒成立,则实数 的取值范围是_x、2410xmm解:令 ,则对于 , 恒成立 2t10t、2t236设方程 的两根为 , ,则( ) 2log1x1x212x ,10、 0 2 12解:D7设 ,则关于 的方程 的所有实数解之和为536xxxt1230tt_解: ,单调递减,且 , , ,12xxxt03tt1t所以答案为 44.7 对数方程和对