1、第十二章 数列、数学归纳法与数列的极限121 数列基础练习1写出下面数列的一个通项公式：（1）90，70，40，0， 50（2） ， ， ， ， 381524135（3） ，2， ，8， 9（4）7，77，777，7777，77777（5）1，0， ，0， 315解：直接带入检验即可 （1） （2） （3） （4） （5）05n1n2109n12n2已知数列 的通项公式 ，则 的最大项是第几项，值是多少？na245nana解： ，最大项是 22451n23已知数列 ， ， ， ，则 是这个数列的第几项？5解： ，数列第 7 项1na4数列 中， ，对所有的 ，都有 1a2n 123ana（1）
2、求 （2） 是此数列中的项吗？356解：（1） 2*1nanN且（2） 25611n5已知数列 的通项公式是 ，为使 时，恒有 成立，则正整数 的最na231nanN120naN小值是多少？解： ，故所求的最小的 是 991290n122 递推数列与递推方法基础练习1求下列递推数列的通项公式：（1） ， 12a12nan（2） ， （3） ， ， 1a2 *213nnaaN（4） ， 1n（5） ， 16a1132nna（6） ， ， 141n解：（1） ，令 ， ， a1nbanb131322nabn（2） 11222nnna（3）由特征根法可知： ， ，3173xx则 117722nnna
3、pq因为 ， ，解得： ， ，1234p1734q则 1737742n nna （4）令 ，则 ，故 nb113nnbb23nba（5） ，则 11332nna 1259knnnka132nnna（6） 1133nnnn2已知数列 各项都是正数，且满足： ， ， ，求数列 的通项a0a142nnanNna公式解： ，两边取对数，可得： 212nna 21nna3已知数列 中， ， ，求 的通项公式n1a123nnn解：取倒数法 1132123nnnnna4已知数列 满足性质：对于 ， ，且 ，求 的通项公式nanN1423na1na解：不动点法， ， 4123x， 11nna15nna两式相除
4、，可得： ，得 ， 11 11225nnnnaa542nna*N5若 则称 为 的不动点，函数 0fx0xf 3xf（1）求 的不动点 （2）数列 满足 ， ，求数列 的通项公式f na1nnfa15na解：（1） ， （2） ， 03x113n3n两式相除，可得 11111nn nnaaa 6已知数列 中， ， ， ，求数列 的通项公式n1421nna 2nb*Nnb解： 121221 nnnnbb7已知数列 ，满足 ，且 ，求 nx1nx12xn解： 11 12!n xn !x能力提高8在 轴的正方向上，从左向右依次取点列 ， ，2，以及在第一象限内的抛物线jA1上从左向右依次取点列 ，
5、，使 都是等边三角形，其23yxkB1且 12kBA且中 是坐标原点，求第 2011 个等边三角形的边长0A解：易得 ， 令 ， ，132B且10A且0ja且23kkBb且则 21121 34432kkkkkkbaa则边长 则第 2011 个等边三角形的边长为 20111kkLa9已知数列 满足 ， ， ，其中 是给定的实数， 是正整np21a2120nnapn数，试求 的值，使得 的值最小n解：令 ，1nba2且由题设 ，有 ，且 20n 120nb1b于是 ，即 112niii ib2n则 4n又 ， ，则 1ap213211207apa则当 的值最小时，应有 ， ，且 nn na n即
6、， 10nba 110nb由（1）式，得 ，42由于 ，且 ，解得 ，3n *N04n则当 时， 的值最小4040a10将 位性别相同的客人，按如下方法入住 ， ， nA共 个房间首先，安排 1 位客人和m12余下的客人 的入住房间 ；然后，从余下的客人中安排 2 位和再次余下的客人 的人住房间 ；171A 72A依此类推，第几号房间就安排几位客人和余下的客人 的入住；这样，最后一间房间 ，正好安排7n最后余下的 位客人试求客人的数目和客房的数目，以及每间客房入住客人的数目n解：设安排完第 号客房 后还剩下 位客人，则 ， kkAka0am0n因为第 号客房 入住的客人数为 ，所以 ，k 17
7、117kka即 ，变形得 167kka 16336kkaa这表明数列 是等比数列，公比 ，6kb7q其中 ， 03am161342nbann代人通项公式得 ，即 167427nnm1763n由于 为正整数，并且 与 叫互质，故 ，但mn11n 10n且解得 ，从而 由此可知，客房 入住 位客人；6n361A367客房 入住 位客人；客房 入住 位客人；2A027324客房 入住 位客人；客房 入住 位客人；418465567最后一间客房入住了剩下的 6 位客人综上可知，共有客人 36 人，客房 6 间，每问客房均人住 6 位客人11已知数列 中， ；数列 中， 当 时， ，na1nb102n
8、123nnab，求 ， 123nbbn解：因 ，11123n nnaaba所以 ，22nb b即 （1）1na又因为 ，11122333nnnnbababab所以 2 111213nnnna 即 （2）3nb由得： ， 12nna13nnb12数列 定义如下： ，且当 时， n1a221na且当 为 数 时当 为 数 时 .已知 ，求正整数 309nan解：由题设易知， ， ， ，又由 ，当 为偶数时， ；0na121an1na当 是奇数时， 1n1na由 ，所以 为偶数，于是 ，所以， 是奇数309na23019na2n于是依次可得：， 是偶数，12n12， 是奇数，498a4n， 是偶数，
9、21n6， 是奇数，6831a8n， 是偶数，1n4， 是偶数，416513a6n， 是奇数，32n432， 是偶数，14an， 是奇数，6412n46， 是偶数，16a0n，0128n所以， ，解得， 1238n13数列 ， 定义如下： ， ，且nxny1x139y， ， ， ，123n15246nn2证明：对一切正整数 ， 是完全平方数x证明：由题设得： ， 1242348nny15246nnxy两式相减得： ，又 ，消去 得6xyx23xy1n，所以 两式相减得21478nnx31478nn，记 ，由 ， ，可得 ， ，故 ，321nxax139y264x30251a， ，且28a35
10、2223148nnnaa下证明 是正整数数列式为 ，2222231114949nnnnnnnaaaa所以 ， 12322 12777na由于 ，3051640a故 1232177nnnaa而 是严格递增数列，故 也是严格递增数列，从而 ，x32170nnaa故 ，即 ， ， ，31270nnaa3217nnaa28则 是正整数数列，从而对一切正整数 ， 是完全平方数nx123 等差数列基础练习1三个数成等差数列，其和为 15，其平方和为 83，求此三个数解：设三个数为 ， ， ，由条件 ， ，ac0c 5a238c则 ，三个数是 3，5，72c2试判断数列： ， ， ， 是不是等差数列，若是求
11、出其公差lg1lg2l4解：是等差数列； l23若 、 、 成等差数列，且 ，求证： ， ， 不可能是等差数列1abcababc解：设 ， u10u把 ， 用 表示出，可知无论 ， ， 如何排序， ， ， 不能是等差数列cc4已知数列 的前 项和为 ，且满足 ， nanS1202nnaS 1a（1）求证：数列 是等差数列 （2）求 1nSn解：（1）将 代入即可，1a 11nnSS，显然数列 是等差数列12nS n（2） ，利用公式： ，12nnfS12nSa则1122.nna且5 ，且两数列 ， ， ， ， 和 ， ， ， ， ， 均为等差数列，求 xyx1a23y1bx23by44321b
12、a解： ， ，则 14ad43bd4218a6在等差数列 ， ， ， ，的相邻两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列，52求新数列的通项解： ，则 1324dd324na7已知数列 是各项不为零的等差数列，且对任意正整数 恒有na n12a成立，其中 是常数，求 的值11nncacc解：利用裂项求和的方法， ，得 11nnada1c能力提高8设无穷等差数列 的前 项和 nnS（1）若首项 ，公差 ，求满足 的正整数 132a1d22kk（2）求所有无穷等差数列 ，使得对于一切正整数 都有 成立na 22kS解：（1） 42nSk（2） ， ，1kad221kkSad把 ， ， 带入解出
13、或 或 ，经检验符合要求310109已知等差数列 中， ， ，求数列 的前 项的和na32S64na解： ，则 12na10n250556nnST 10设数列 为正项数列，前 项的和为 ，且有 、 、 成等差数列annSnaS2n（1）求通项 （2）设 ，求 的最大值na150nSffn解：（1） ， ，作差，利用 ，得到nnS21na1nnSa11 1n na a（2） ， 时， 有最大值 052fn0f7211等差数列的前 项和 ，前 项和 ，求前 项和 nSmmSnmnmnS解：由于 是等差数列的前 项和，设： ，nS 2nab，2amb两式相减，可得22 1mnanbnmanbSabm
14、n12 （1）若等差数列 ， 的前 项和为 与 ，满足 ，求 的值nabnAB*714nAN1ab（2）若关于 的方程 和 的四个根可组成首项为 的等差数列，求x20x20xba4的值ab（3）在等差数列 中，它的前 项和为 ，已知 ， ，求 nannS8n214nS3nS解：（1） ， 12A11243abB（2）由根与系数关系，这四项分别为 ， ， ， ， ， ， 5273416a54b172ab（3） ， ， 成等差数列， nS2n32nS38nS13求所有正整数 ，使得下述命题成立：设 ， ， 成等差数列，若 为有理数，则 ， ， 中至少有1a2na12naa 1a2na一个数为有理数
15、解：设公差为 ， ，则 dnd126nkQ于是 为有理数， 为整数时命题得以成立213a23我们要证明 必须是整数，从而推出 n1mod3n否则，我们取 为无理数，而 使得 为有理数，da2则对任意 ， ，因此它是无理数，这与要求相悖ka213210nkndd124 等比数列基础练习1等比数列 中， （1）已知 ， ，求通项公式 （2）已知以 ，求na24a5123458a的值23456a解：（1） （2） 1nn32有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是37，第二个数与第三个数的和是 36，求这四个数解：12，16，20，25 或 ， ， ， 94
16、8163493若 ， ， ， 成等比数列求证： abcd2222bcadbad证明：设 ， ， ，q2a3q22222 31bcdbaaq23231aqqqd 4数列 是等比数列，其中 ， ，求 n 48nS260n3nS解： ， ， 成等比数列， ，得出 S232n22n36nS5已知等差数列 的公差和等比数列 的公比都是 ，又知 ，且 ， nanbd14ab10（1）求 与 的值 （2） 是 中的第几项1d16bna解：（1） ， （2） 是 中的第 34 项3a316n6求数列的通项公式：（1）在数列 中， ， （2）在数列 中， ，a1213na na12， 25a2130nna解：（
17、1） ，得出： 31na（2） ，得出： 211nnaa221213nnna利用累加法可得： ，得出： 23k3n7等比数列 的公比大于零且不等于 1，且数列的第 17 项的平方等于第 24 项求使na成立的正整数 的取值范围123121nnaaa n解：设等比数列 的公比为 ，n0q且则由 得 2174a2163a则 9q又 和 分别是以 为首项， 为公比以及 为首项， 为公比的等比数列na1n1aq1aq则 ，112 9nnnq911112 n nnnaqqaa于是已知不等式即为 9911nnq由于 ， ，当 时，有 ，0q1qn此时， 918119nn n因此，当 时， 为大于 19 的
18、任意自然数q当 时，有 ，011n此时， 9181 19nqn因此，当 时， 为 l， 2，3，4，18 这 18 个自然数08已知 ，且 ，数列 的前 项和为 ，它满足条件 数列 中，a1nanS1naSnb （1）求数列 的前 项和 （2）若对一切 都有 ，求 的取值范围lgnnb nbnT*N1nba解：（1） （2） 或 1lnaT10a9从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入资金 800 万元，以后每年投入资金比上年减少 本年度当地旅游产业收入估计为 400 万5元，由于该项建设对旅游的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上
19、年增加 14（1）设 年内（本年度为第 1 年）总投入为 万元，旅游业总收入为 万元写出 、 的表达n nanbnab式（2）至少经过几年旅游业的总收人才能超过总投入？ 解：（1）第 1 年投入 800 万元，第 2 年投入 万元，第 年投入 万元，所1805n1805n以 年内总投入n 11 480 015 5n nna a同理，第 1 年收入 万元，第 2 年收入 万元，第 年收入 万元，所4401n104n以 年内的旅游总收入为n15401406014nnnb b（2）当 ，即 时旅游业的总收人才能超过总投入na56145nn化简得 45270nkt设 ， ，则 ， （舍） ，即 ，解得
20、 nx2x25x1425n5n所以至少经过 5 年旅游业的总收人才能超过总投入能力提高10正数列 ， ， ，满足 且 ，求通项0a1na21212nnnaa 01a解： 2211212nn nnn令 ，则 ，得 1nab11nnnbb21nka11已知数列 的通项为 ，求这个数列的前 项的和n234na且为 数为 数 *mN解：分组求和法， 12635m12已知数列 中， 是它的前 项和，并且 nanS 1 14213nSana且（1）设 ，求证：数列 是等比数列，并求其通项公式123nnba且 nb（2）设 ，求证：数列 是等差数列，并求其通项公式c c（3）求数列 前 项和na解：（1）
21、，两式相减，因为 ，142nS1112nnnSab故 132nb（2） ， 134nc14nc（3） ，2a21111132442nnnnnkkkknk11121334nnkknnn 4n13无穷正实数数列 具有以下性质： ， nx01x012iix且（1）求证：对具有上述性质的任一数列，总能找到一个 ，使 均成n 201123.9nxx 立（2）寻求这样的一个数列使不等式 对任一 均成立220114nxx n解：（1）不断反复利用二元均值不等式 22222222010103041 1 11 3nn n nnxxxxxxx 312023 12nnxxx 2221110 4nnnx 因此，当 足
22、够大时，就有 220113.9nx （2）取无穷等比数列 ， ，则2nn2且222011 110.54nn nxx 14如果有穷数列 ， ， ， （ 为正整数）满足条件 ， ， ，即1a23na1na21na1na，我们称其为“对称数列” 例如，由组合数组成的数列1inian且就是“对称数列” 0Cmm且（1）设 是项数为 7 的“对称数列” ，其中 ， ， ， 是等差数列，且 ， 依次nb 1b234b12b41写出 的每一项（2）设 是项数为 （正整数 ）的“对称数列” ，其中 ， 是首项为 50，nc21k1kkc121kc且公差为 的等差数列记 各项的和为 当 为何值时， 取得最大值？
23、并求出 的最4nc21kS2kS 21kS大值（3）对于确定的正整数 ，写出所有项数不超过 的“对称数列” ，使得 1，2， ，1mm2依次是该数列中连续的项；当 时，求其中一个“对称数列 前 2 008 项的和 12m 50 08S解：（1）设 的公差为 ，则 ，解得 ，nbd41321bd3d则数列 为 2，5，8，11，8，5，2（2） 2121121kkkkSccc ，kkk，222143150kS则当 时， 取得最大值21kS的最大值为 62621kS（3）所有可能的“对称数列”是：1，2 ， ， ， ， ， ， ，2，1；22m12m1，2， ， ， ， ， ， ，2，1； ， ，
24、 ，2，1，2， ， ， ；m m ， ， ，2，1，1，2， ， ， ；2 2m对于，当 时， 08 2070808S当 时，1507 122092mmm 120912092mmm对于，当 时， 208m 2081S当 时， 1507 208m对于当 时， 208S当 时， 15027m 92083m对于，当 时， 208S当 时， 15027 208m125 数学归纳法及其应用基础练习1下面对于命题“任何 个女孩都有相同颜色的眼睛”的证明是否正确请说明理由n证明：（1）当 时，命题显然成立1（2）假设 时，命题成立，即任何 个女孩都有相同颜色的眼睛则当 时，*nkN且 k 1nk不妨设这
25、个女孩分别为 ， ， ， ， ，去掉 ，则剩下的 ， ， ，1a23ka11a2a3ka有 个，由归纳假设，她们眼睛颜色相同，若去掉 ，则剩下的 ， ， ， 有 个，南1ka 23k1归纳假设，她们眼睛颜色也相同，由等量代换原理可知， ， ， ， ， 这 个女孩1a2ka眼睛颜色也相同根据（1） （2）可以断定，对任何 命题“任何 个女孩都有相同颜色的眼睛”都成立*nNn答：不正确 走时的命题仅对 ， ， 成立，与第 个女孩无关nk1a2ka1ka2用数学归纳法证明：（1） *1tnsii4si2nxx（2） 222 *14nn nN（3） *tatatat3tant 2nN 且证明：（1）对
26、 归纳， 时 显然成立，n12coscos1cot2iinisixxx x设 时命题成立， 时由归纳假设只需证明：n1tsi2i4si2sinn nxxx因为 ，11cocos12cotininnnn则 11tss2cos2si2i4si2nnnnnxxxx （2）对 归纳， 时 显然成立，设 时命题成立， 时由归纳假设只需证明102212114nk nnn上式左边 ，2右边 ，左边=边，故原命题成立11234nnn（3）对 归纳，我们将定义域延拓为 ， 为整数，可以看出不影响归纳过度0时命题显然成立，设 时命题成立， 时只需证明：1，由 ，tanttan1t 1tant1t1欲证上式右边=边
27、，获证tanttanta1tan11n 1f 3用数学归纳法证明：（3） 能被 9 整除*7nN（2）当 为正奇数时， 能被 64 整除427n（3） 能被 整除121nnx3x证明：（1）对 归纳， 时 ， 时命题成立， 时只需证明：971nn，而右边 被 9 整除197332nn2732971（2）对 归纳， 时容易验证设 时成立， 时，因为m4242 27456nnn，由于 为奇数，所以 ，所以上式被 64 整除。从而完成了归纳过程，818n81命题成立（3）对 归纳， 时命题成立，设 时命题成立， 时：1nnn，12 23231n nxxxx 用归纳假设命题对 也成立，故原命题成立4用
28、数学归纳法证明：（1） *11322324nnnN 且（2） * （3） *sisixN证明：（1） ， ， ，故利用归纳可知结论对所有大于1nka2134a1102nan1 的正整数成立（2） 是结论成立，设 时结论成立， 时，命题对 成立，故原命题成立121212nnnn nkkkk1n（3） 时结论显然成立，设 1，2。3， 时结论成立， 时最后一个不等号用了归纳假 sin1sicosicsiisixxxxx 设于是命题得证5设 ， ， 和 均为锐角，求证：12n12ntantatta2 证明： sinsitntcocxyxyxyxy， ， ， 均为锐角si0利用 ， ， ， 均为锐角，
29、证明本题tataxyxyxy当 时， ，显然成立2n1212ttnta假设当 是时，命题成立，k即 1212tatttn2k k 当 时，nk121121tantatank kk 12tatttankk显然得证6试证明： coscos22nxx 证明：先证加强命题： ，ssnN 本题利用第二数学归纳法证明当 时， ，显然成立0ncos0x当 时，若 ，显然 ，显然成立112 cos2x若 ， ，cos2x2cs11cosx x则 ，显然成立ocsx假设 时，命题成立nk则 1若 ，则 ，显1cos2x 1 1cos2cos2cos12cos22k kkxxxx 然得证若 ，从上面可知： ，s
30、22ssssx则 co2co1x则 212ss2cos1cosk kxxx ，显然得证12k7设数列 中， ， ，其中 是不等于零的常数，求证： 不在数列 中na12p21nnpa pna证明：归纳法证明 ，因为 时， n1n2paq8在数列 中， ， ， ，3，其中 表示不超过 的最大整数，证明na12axx该数列中有无穷多项是 7 的倍数证明：直接验证可知 是 7 的倍数接下来我们归纳地构造出数列中 7 的倍数的项（注意不是全部的57 的倍数的项） 如果 ，则 ，如果这时 ，则有 ，na 2121mod7nnaaa2n否则，设 ，可以验证： ， ，43b43kb06k 由于 ，则必有 使得
31、 71a且016k且437nka由于 ，则 ， 5n 2nn因此我们构造了一个下标大于 的项使 ，故可以找出数列中的无穷多项被 7 整除9平面内有 个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证：这 个圆把平面分成 个部分n2n证明：（1）当 时，一个圆把平面分成两部分，此时 ，即命题成立1 2n（2）假设当 是时命题成立，即 个圆把平面分成 个部分kkk（3）那么当 时，这个圆中的是个圆把平面分成 个部分第 个圆被前 个圆分1kk成 条弧，这 条弧中的每一条把所在的部分分成了 2 个部分，这时共增加了 个部分，故k2 2个圆把平面分成 个部分，这说明当 时命题也成立1221
32、kkkn综上所述，对一切 ，命题都成立*nN126 归纳一猜想论证基础练习1数列 满足 ， ， na1216a*123nnanN（1）求 ， 34（2）猜测 ，并用数学归纳法证明na解：（1） ， 31240（2 na当 时，命题显然成立1k假设当 时命题成立那么当 时，n1 132k kaa 312k1k3122kk当 时命题也成立n综上所述，对一切 ，命题都成立*nN2设数列 是 12，1122，111222， a12n 个 个试问： 的每一项是否可以表示为两个相邻整数的乘积？n解： 10219na因为 ，且 ，3n0213nn，01 *19C9C910n knnnn N 则 ， 为两个相
33、邻整数，显然得证3n2n3对于数列 ，若 ， na101aa且1nna（1）求 ， ， 234（2）猜测 的通项公式，并证明你的结论na解：（1） ， ， 62518371a1049a（2） ，数学归纳法证明21na当 时， ，显然成立1n42121aa假设当 时，命题也成立，即： k21kk当 时，1n 222221 111kkkkkaaaa ，显然得证24ka4比较 与 的大小，并证明你的结论1nn解：当 时， ，当 时， ，用归纳法，后项比前项2 1nn3 1nn5数列 中，已知 ，前 项和为 ，并且 ， ， 成等差数列，求 ， ， ；猜测nx1xnSn1S2x1S23并加以证明nS解：
34、 12n（1） ， ， S23137124S（2）猜想： ，1nn用数学归纳法证明当 时，左边 ，右边 ；1102S假设 时，命题成立即： ；nk1kk当 时， 1122kkkkS 显然得证能力提高6已知数列 的通项公式是 ，试问是否存在常数 ， ， 使等式na2napqr对一切正整数 都成立1214npqr n解：先猜想，联立三个方程，用待定系数法解得： ， ， ，3p5q0r后用数学归纳法证明： 211241nnaa当 时，左边 ，右边 ；1n12381423假设 时，命题成立即 ；k 2113541kkaa当 时，左边1n11112kk2 2235354 43kkk2113k23542413kk，2218354kk右边 ，235143k显然，左边等于右边得证7设 为 的展开式中 的系数，试问是否存在实数 ，na23112nfxxx 2xa，使得对于不小于 2 的自然数 ，关系式 成立，并加以证明bn18nnaab解：121212 4683jnijijj nnijnija ， ， 823nab
