1、安 徽 农 业 大 学毕 业 论 文（设计）论文题目 常微分方程及其 matlab 求解 姓 名 段玉清 学 号 07119027 学 院 理学院 专 业 信息与计算科学 指导教师 汪宏喜 职 称 教授 中国合肥二 o 一一年 六 月安徽农业大学学士学位论文（设计）开题报告课题名称 常微分方程及其 matlab 求解 课题来源 教师指定学生姓名 段玉清 专业 07 级信息与计 算科学 学 号 07119027指导教师姓名 汪宏喜 职称 教授研究内容本文主要讨论了一阶常微分方程和高阶常微分方程的相关解法问题,并用 matlab 求解相关方程文章首先探讨了一阶常微分方程的解法，讨论的主要类型有：变
2、量可分离方程、可化为变量可分离方程的类型、齐次方程、一阶线性微分方程；在解决这些类型的一阶常微分方程时，用到的方法有：变量分离法和一阶线性方程的常数变易法然后讨论了高阶常微分方程的解法的问题，所讨论的解法有：非齐线性方程的常数变易法、常系数齐线性方程的欧拉待定指数法和非齐线性方程的比较系数法最后简单讨论了线性微分方程组的解法和其性。研究计划12011 年 2 月 25 日3 月 25 日 调查研究并查取相关资料22011 年 3 月 25 日4 月 25 日 完成主要内容中一、二两章32011 年 4 月 25 日5 月 25 日 完成主要内容中第三章42011 年 5 月 25 日5 月 3
3、0 日 完成论文初稿并修改，撰写毕业设计论文，打印成册52011 年 6 月 1 日6 月 10 日 准备毕业论文答辩特色与创新本文主要探讨常微分方程解法以及运用 matlab 实现其算法，既阐明了常微分方程解法的原理，也运用了数学工具来实现了算法。把理论和实践结合起来是本文的一大特色，易于简单的了解常微分方程同时又能掌握如何求解常微分方程指导教师意见同意开题教研室意见院系意见 主要领导签名：年 月 日目 录摘要 1关键字 1引言 1第一章 一阶微分方程的初等解法 11.1 变量分离微分方程与变量代换 11.1.1 变量分离微分方程 21.1.2 可化为变量分离微分方程的类型 21.2 线性分
4、式方程 31.3 线性方程与伯努利方程 41.4 全微分方程与积分因子 61.4.1 全微分方程 61.4.2 积分因子 71.5 一阶隐方程 81.5.1 可解出 y 或 x 的方程的解法 81.5.2 不显含 y（或 x）的方程 101.6 matlab 在一阶方程中的应用 10第二章 高阶微分方程的解法 132.1 线性微分方程的一般理论 131 齐次线性微分方程的解的性质与结构 132.非奇次线性微分方程与常数变易法 142.2 常系数线性微分方程的解法 141.复值函数与复值解 152.3.非齐次线性微分方程的比较系数法 182.4 用 matlab 解高阶线性方程 20第三章 线性
5、微分方程组 243.1 矩阵指数 243.2 基解矩阵的计算 251.矩阵 A 存在 n 个线性无关的特征向量的情形 253.3 用 MATLAB 解线性方程组 29致 谢 30参考文献 30Ordinary Differential Equation And Carry On By MATLAB 30Abstract30Keywords 30常微分方程及其 matlab 求解 第 1 页 共 30 页常微分方程及其 matlab 求解作者：段玉清 1 指导老师：汪宏喜（安徽农业大学理学院信息与计算科学专业 学号：07119027）摘要：本文主要讨论了一阶常微分方程和高阶常微分方程的相关解法问
6、题,并用matlab 求解相关方程文章首先探讨了一阶常微分方程的解法，讨论的主要类型有：变量可分离方程、可化为变量可分离方程的类型、齐次方程、一阶线性微分方程；在解决这些类型的一阶常微分方程时，用到的方法有：变量分离法和一阶线性方程的常数变易法然后讨论了高阶常微分方程的解法的问题，所讨论的解法有：非齐线性方程的常数变易法、常系数齐线性方程的欧拉待定指数法和非齐线性方程的比较系数法最后简单讨论了线性微分方程组的解法和性质。关键字: 一阶常微分方程 高阶常微分方程 解法 matlab引言：常微分方程作为现代数学的一个重要分支，它的产生几乎与微积分是同时代的，经过历史的演变，它已经是各种应用学科和数
7、学理论研究都不可缺少的工具。随着计算机技术的飞速发展，更使它的应用渗透到力学、天文、物理等各个领域。遗憾的是，绝大多数微分方程定解问题的解不能以实用的解析形式来表示，这就产生了理论与应用的矛盾：一方面，人们建立了大量实用的数学模型，列出了反映客观现象的微分方程；另一方面，人们又无法得到这些方程的准确解以定量地描述客观过程。从 20 世纪 80 年代以来，世界各国所开发的数学类科技软件多达几十种，在我国流行的数学软件主要有四种：MATLAB、Mathematica、 Maple 和 MathCAD。其中，MATLAB 有着其它几种数学软件无法比拟的优势和适用面，近几年，MATLAB 已成为科学工
8、作者首选的数学软件。本文把微分方程求解和 MATLAB 有机的结合起来，全面介绍了微分方程的求解在 MATLAB 中的实现，使得让数学基础不深厚的读者同样能轻易利用 MATLAB 解决较高深的微分方程问题。第一章 一阶微分方程的初等解法1作者简介：段玉清，男， （1987 ） ，黑龙江省佳木斯市人，汉族，2007 年 9 月至 2011年 7 月在安徽农业大学信息与计算科学专业学习。论文完成时间：2011 年 5 月 28 日常微分方程及其 matlab 求解 第 2 页 共 30 页1.1 变量分离微分方程与变量代换变量分离微分方程是一种最简单也是最基本的可用初等方法求解的微分方程类型，对一
9、般的微分方程总是设法寻求适当的变量代换，将其化为变量分离微分方程来求解。1.1.1 变量分离微分方程形如)(yhxfd（1.1）的方程，称为变量分离微分方程，其中 分别是 的连续)(,yhxfyx,函数。如果 ，方程改写为：0)(yhdxf)(（1.2）如果 是方程的解，且 ，则在解的定义域内满足)(y0)(xhdxfhd)(（1.3）两边积分得Cdxfxhd)()(（1.4）则 是由隐函数方程)(ydxfyh)(（1.5）所确定的函数，对一切允许值 C， 都将是方程的解，即),(xy（1.5）实际给出了方程的通解公式。如果 有实根 （k=1,2,3，,m）,则可以验证0)(yhky（k=1
10、，2,3，m ）也能是方程的解。有时可以通过扩大常数 C 的取值ky范围，使其包含于通解表达式中。1.1.2 可化为变量分离微分方程的类型常微分方程及其 matlab 求解 第 3 页 共 30 页对于方程),(yxfd在变量代换 下变成cbau（1.6）)(1,)(1axufxb整理得：（1.7）bcaxubfdx)(1,不难看出，得到的方程为变量分离微分方程当且仅当：（1.8）)()(1, ugxbcaxubf ）（由此我们可得出以下结论：变量代换 能化为变量分离微分方程的一般类型为：y（1.9）bacaxgdx)()其中 均为任意的连续函数，在变量代换 u 下，方程化为变u） 和（量分离
11、方程（1.10）)(gxbd求出（1.10）的解，用 代回原变量，即求的原方程解.cbyau1.2 线性分式方程我们把形如（1.11）2211cybxady的方程称为线性分式方程，这里 均为常数。21,ba当 时，方程（1-11）是齐次方程，当 不全为零时，如何021c 1c和化为某种已知的可解类型？ 当 的情形。2121,baba即设 ，则方程可以写成k21常微分方程及其 matlab 求解 第 4 页 共 30 页（1.12）221)(cybxakdy令 ，方程就化为变量分离微分方程u2（1.13）212cukdx 当 时021ba解方程组02211cybxa（1.14）设所求得的解为 。
12、,作坐标平移变换YyXx（1.15）将方程（1.11）变成齐次方程YbXad21（1.16）经过变换 将方程（1-16）化为变量微分方程。求解所得变量微分方程后，Yu逐步代回原来的变量，求得原方程的解。1.3 线性方程与伯努利方程我们把一阶线性方程通常写成其标准形式：),(xQyPdx（1.17）其中， 为连续函数，当 时，方程成为：)(,QP0)(,)(yxd（1.18）称方程（1.18）为方程（1.17）对应的齐次线性方程，而称（1.17）为非齐次线性方程。常微分方程及其 matlab 求解 第 5 页 共 30 页齐次线性方程（1.18）是变量分离微分方程，可求其通解为：dxPCey)(
13、（1.19）为了求（1.17）的解，设想用两个新的未知函数 的乘积表示原来的)(xvu和未知函数，即：)(xvuy（1.20）代入方程得)()()()( xQvuxPdvxuvdx （1.21）将其整理得：)()()()( xuxdxvdxu（1.22）设 为齐次方程 的解 ，则方程变成)(xu0)()(xuPdxdxPex)()()()()(QevP（1.23）这是一个变量分离微分方程，很容易求得其通解为;(1.24)CexvdxP)()(最后得到非齐次线性方程的通解exQeydxPdxP)()(（1.25）以上这种方法被称为常数变易法。形如 1,0)(nyxQPdxy（1.26）的方程称为
14、伯努利方程，将方程（1.26）两边同时除以 ，方程变成ny).()(1xydxynn常微分方程及其 matlab 求解 第 6 页 共 30 页由于 ,)1(1dynn即 关于 y 的导数恰好为 的 1-n（常数）倍，于是 ny,1111dxxdnxyn方程化为 ).()(11 xQnyxPdxyn令 ,1nz伯努利方程化为了线性方程 ).()(xnzxdx求得此线性方程的通解，代回原变量，就可得到伯努利方程的通解。此外，如果 n0，则 y=0 显然也是伯努利方程的解。1.4 全微分方程与积分因子全微分方程是另一种既简单又基本的可积方程类型，一般的方程可以通过求得其积分因子，乘以积分因子而化成
15、全微分方程求解，这是一阶微分方程初等积分方法的第二种有效途径。1.4.1 全微分方程我们讨论一阶对称形方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0. (1.27) 而且约定 M(x,y),N(x,y)在所考虑的单连通区域 G 都具有一阶连续偏导数。如果其左端恰好是一个全微分，即存在一个可微的二元函数 u(x,y)，使得M(x,y)dx+N(x,y)dy=du(x,y), （1.28）则称这个方程为全微分方程，u(x,y)称为左端全微分的一个原函数.根据数学分析中关于线积分 与路径无关的几个等价dyxNyxML),(),(命题及全微分方程的定义，方程（1.27）为全微分方程的充分必要条件是：在所考虑的单连通区域 G 内有.),(),(xyNyM
