1、 1 / 2018 年天津市河北区中考数学一模试卷 一、 选择题（本大题共 12 题，每题 3 分，满分 36 分） 1（ 3 分）计算（ 6） +2 的结果等于（ ） A 8 B 4 C 4 D 8 2（ 3 分） sin60的值等于（ ） A B C D 1 3（ 3 分）如图图形中，是轴对称图形的是（ ） A B C D 4（ 3 分）据统计，至 2017 年末，天津市常住人口总量为 15568700 人，将 15568700 用科学记数法表示为（ ） A 0.155687 108 B 1.55687 107 C 15.5687 106 D 15568.7 103 5（ 3 分）用 5
2、个完全相同的小正方体组合成如图所示的立体图形，它的俯视图为（ ） A B C D 6（ 3 分）估计 的值在（ ） A 2 和 3 之间 B 3 和 4 之间 C 4 和 5 之间 D 5 和 6 之间 2 / 7（ 3 分）计算 + （ ） A B C 1 D 1 8（ 3 分）方程组 的解是（ ） A B C D 9（ 3 分）如果两个变量 x、 y之间的函数关系如图所示，则函数值 y的取值范围是（ ） A 3 y 3 B 0 y 2 C 1 y 3 D 0 y 3 10（ 3 分）已知反比例函数 y ，当 3 x 1 时， y的最小值是（ ） A 9 B 3 C 1 D 1 11（ 3
3、分）如图，两个三角形的面积分别是 7 和 3，对应阴影部分的面积分别是 m、 n，则m n等于（ ） A 4 B 3 C 2 D不能确定 12（ 3 分）如图，二次函数 y ax2+bx+c（ a 0）图象的顶点为 D，其图象与 x轴的交点 A、B 的横坐标分别为 1 和 3，则下列结论正确的是（ ） A 2a b 0 B a+b+c 0 C 3a c 0 D当 a 时， ABD 是等腰直角三角形 3 / 二 、 填空题（本大题共 6 题，每题 3 分，满分 18 分） 13（ 3 分）计算 2a（ a+3b） 的结果等于 14（ 3 分）分解因式： x2 9 15（ 3 分）在不透明口袋内有
4、形状、大小、质地完全一样的 5 个小球，其中黑色球 3 个，白色球 2 个，随机抽取一个小球是白色球的概率是 16（ 3 分）一个多边形的内角和是外角和的 2 倍，则这个多边形的边数为 17（ 3 分） 关于 x 的一元二次方程 x2+（ a2 2a） x+a 1 0 的两个实数根互为相反数，则a的值为 18（ 3 分）如图，在由小正方形组成的网格中，点 A、 B 均在格点上 （ 1）在图 1 中画出一个直角 ABC，使得点 C 在格点上且 tan BAC ； （）在图 2 中画出一个 ABD，使得点 D 在格点上且 tan BAD ，请在图 2 所示的网格中，用无刻度的直尺，画出 ABD，并
5、简要说明理由 三、解答 题（本大题共 7 题， 第 19、 20 题 每题 8 分 ；第 21-25题 每题 10 分 ；满分 66 分） 19（ 8 分）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答： （ I）解不等式（ 1），得 ； （）解不等式（ 2），得 ； （）把不等式（ 1）和（ 2）解集在数轴上表示出来； （）原不等式组的解集为 4 / 20（ 8 分）某同学进行社会调查，随机抽查了某个地区的 20 个家庭的收入情况，并绘制了统计图，请你根据统计图给出的信息回答： （ I）在这 20 个家庭中，收入为 1.1 万元的有 个； （）求样本中的平均数、众数和中位数 21（ 10 分）已
6、知 AB 是 O 的直径，点 P是 AB 延长线 上的一点 （ I）如图 1，过 P 作 O的切线 PC，切点为 C作 AD PC于点 D，求证： PACDAC； （ II）如图 2，过 P 作 O的割线，交点为 M、 N，作 AD PN 于点 D，求证： PAM DAN 22（ 10 分）如图，某数学兴趣小组测量位于某山顶的一座雕像 AB 高度，已知山坡面与水平面的夹角为 30，山高 BC 为 285 米，组员从山脚 D 处沿山坡向着雕像方向前进 540米后到达 E 点，在点 E 处测得雕像顶端 A 的仰角为 60，求雕像 AB的高度 5 / 23（ 10 分）某公司计划组装 A、 B 两种
7、型号的健身器材共 40 套， 用于公司职工的锻炼组装一套 A 型健身器材甲种部件 7 个和乙种部件 4 个，组装一套 B 型健身器材甲种部件 3个和乙种部件 6 个公司现有甲种部件 228 个，乙种部件 194 个，设组装 A 型器材的套数为 x（ x为正整数） （）根据题意，填写下表 组装 A 型器材的套数为 x 组装 B 型器材的套数为（ 40 x） 需用甲种部件 7x 需用乙种部件 （）公司在组装 A、 B两种型号的健身器材时，共有多少种组装方案？ （）组装一套 A 型健身器材需费用 50 元，组装一套 B 型健身器材需费用 68 元，求总组装 费用最少的组装方案，最少总组装费用是多少？
8、 24（ 10 分）在平面直角坐标系中，已知点 A（ 2， 0），点 B（ 0， 2 ），点 O（ 0， 0）AOB绕着 O顺时针旋转，得 A OB，点 A、 B旋转后的对应点为 A、 B，记旋转角为 （ I）如图 1，若 30，求点 B的坐标； （）如图 2，若 0 90，设直线 AA和直线 BB交于点 P，求证： AA BB； （）若 0 360，求（）中的点 P 纵坐标的最小值（直接写出结果即可） 6 / 25（ 10 分）如图，抛物线 y ax2 2x+3 与 x 轴交于 A、 B 两点（点 A 在点 B 左边），与 y轴交于 C点， B（ 1， 0）第二象限内有一点 P 在抛物线上运
9、动， OP交线段 AC 于点 E （）求抛物线的解析式及点 A、 C 的坐标； （）设 PAC 的面积为 S当 S最大时，求点 P的坐标及 S的最大值； （）是否存在点 P，使点 E 是 OP 的中点若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由 7 / 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 题，每题 3 分，满分 36 分 1 【分析】 绝对值不等的异号加法，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值 互为相反数的两个数相加得 0依此即可求解 【解答】 解：（ 6） +2 4 故选： B 2 【分析】 根据特殊角的三角函数值直接解答即可 【解答】 解：根据特殊角的三角
10、函数值可知： sin60 故选： C 3 【分析】 根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行解答即可 【解答】 解： A、不是轴对称图形，故此选项错误； B、是轴对称图形，故此选项正确； C、不是轴对称图形，故此选项错误； D、不是轴对称图形，故此选项错误； 故选： B 4 【分析】 科学记数法的表示形式为 a 10n的形式，其中 1 |a| 10， n为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值 10 时， n是正数；当原数的绝对值 1 时
11、， n是负数 【解答】 解：将 15568700 用科学记数法表示为： 1.55687 107 故选： B 5 【分析】 找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中 【解答】 解：该几何体的主视图为： 俯视图为： 左视图为： 故选： C 8 / 6 【分 析】 估算确定出范围即可 【解答】 解： 9 13 16， 3 4， 则 的值在 3 和 4 之间， 故选： B 7 【分析】 先根据同分母分式的加法计算，再约分即可得 【解答】 解：原式 1， 故选： D 8 【分析】 方程组利用加减消元法求出解即可 【解答】 解： ， +，得： 4x 8， 解得： x 2， 将 x
12、 2 代入 ，得： 2+y 6， 解得： y 4， 所以方程组的解为 ， 故选： A 9 【分析】 根据图象，找到 y 的最高点是（ 2， 3）及最低点是（ 1， 0），确定函数值 y 的取值范围 【解答】 解： 图象的最高点是（ 2， 3）， y的最大值是 3， 图象最低点是（ 1， 0）， y的最小值是 0， 函数值 y的取值范围是 0 y 3 故选： D 10 【分析】 利用反比例函数的性质，由 x 的取值范围并结合反比例函数的图象，即可得到y的取值范围 【解答】 解： k 3 0， 在每个象限内 y 随 x的增大而减小， 又当 x 3 时， y 1， 9 / 当 x 1 时， y 3，
13、 当 3 x 1 时， 3 y 1， y的最小值是 3 故选： B 11 【分析】 设重叠部分的面积为 x由题意， m 7 x， n 3 x，由此即 可解决问题； 【解答】 解：设重叠部分的面积为 x 由题意， m 7 x， n 3 x， m n（ 7 x）（ 3 x） 4， 故选： A 12 【分析】 由于抛物线与 x 轴的交点 A、 B 的横坐标分别为 1， 3，得到对称轴为直线 x 1，则 1，即 2a+b 0，得出，选项 A 错误； 当 x 1 时， y 0，得出 a+b+c 0，得出选项 B 错误； 根据 a 0， c 0，可得到 3a与 c的关系，得出选项 C 错误； 由 a ，则
14、 b 1， c ，对称轴 x 1 与 x轴的交点为 E，先求出顶点 D的坐标，由三角形边的关系得出 ADE和 BDE都为等腰直角三角形，得出选项 D正确；即可得出结论 【解答】 解：抛物线与 x轴的交点 A、 B的横坐标分别为 1， 3， 抛物线的对称轴为直线 x 1，则 1， 2a+b 0， 选项 A错误； 当自变量取 1 时，对应的函数图象在 x轴下方， x 1 时， y 0，则 a+b+c 0， 选项 B错误； a 0， c 0， 3a 0， c 0 3a c 0， 选项 C错误； 当 a ，则 b 1， c ，对称轴 x 1 与 x轴的交点为 E，如图， 10 / 抛物线的解析式为 y
15、 x2 x ， 把 x 1 代入得 y 1 2， D点坐标为（ 1， 2）， AE 2， BE 2， DE 2， ADE和 BDE都为等腰直角三角形， ADB为等腰直角三角形， 选项 D 正确 故选： D 二、填空题：本大题共 6 题，每题 3 分，满分 18 分 13 【分析】 根据单项式乘多项式的运算法则计算可得 【解答】 解： 2a（ a+3b） 2a2+6ab， 故答案为： 2a2+6ab 14 【分析】 本题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式 【解答】 解： x2 9（ x+3）（ x 3） 故答案为：（ x+3）（ x 3） 15 【分析】 根据概率的求法，找准两点
16、： 全部情况的总数； 符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率 【解答】 解：由于袋子中共有 5 个小球，其中白色小球有 2 个， 所以随机抽取一个小球是白色球的概率是 ， 故答案为： 16 【分析】 利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题 【解答】 解：多边形的外角和是 360 度，多边形的内角和是外角和的 2 倍， 11 / 则内角和是 720 度， 720 180+2 6， 这个多边形是六边形 故答案为： 6 17 【分析】 由两根互为相反数可知两根之和为 0，再由根与系数的 关系可得到关于 a 的方程，即可求得 a的值 【解答】 解： 方程 x2+（ a2 2a）
17、x+a 1 0 的两个实数根互为相反数， a2 2a 0，解得 a 0 或 a 2， 当 a 2 时，方程为 x2+1 0，该方程无实数根，舍去， a 0， 故答案为： 0 18 【分析】 （）依据点 C 在格点上且 tan BAC ，即可得到直角 ABC； （）依据点 D 在格点上且 tan B ，即可得到 ABD，利用平行线分线段成比例定理，即可得到结论 【解答】 解：（）如图，选取点 C，连接 AC、 BC，则点 C即为所求（答 案不唯一） （）如图，选取点 D，连接 AD， BD，点 D即为所求 理由：如图， DE AB且 ED AB， ， BF BE， 由图可得， AB EB， BE
18、 AB， tan BAD 三、解答题： 本大题共 7 题， 第 19、 20 题 每题 8 分 ；第 21-25 题 每题 10 分 ；满分 66 分 12 / 19 【分析】 分别求出不等式组中两不等式的解集，表示在数轴上找出解集的公共部分确定出不等式组的解集即可 【解答】 解：（ I）解不等式（ 1），得 x 1； （）解不等式（ 2），得 x 2； （）把不等式（ 1）和（ 2）解集在数轴 上表示出来，如下图所示： （）原不等式组的解集为 2 x 1 故答案为：（ I） x 1；（） x 2；（） 2 x 1 20 【分析】 （）利用条形图提供的数据完成所给表，并计算平均数； （）根据平
19、均数、中位数和众数的定义求解即可； 【解答】 解：（）根据条形图填表如下： 年收入（万元） 0.6 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 9.7 户数 1 1 2 3 4 5 3 1 在这 20 个家庭中，收入为 1.1 万元的有 3 个； 故答案为： 3； （）平均收入为（ 20 0.05 0.6+20 0.05 0.9+20 0.1 1.0+20 0.15 1.1+20 0.2 1.2+20 0.25 1.3+20 0.15 1.4+20 0.05 9.7） 20 32 20 1.6（万元）， 数据中的第 10 和 11 个数据的平均数为 1.2（万元），所以中位数是 1.2（万
20、元）； 众数是最高的条形图的数据 1.3（万元）； 21 【分析】 （）根据切线的性质和平行线的性质证明即可； （）连接 BM利用直径和内接四边形的性质解答即可 【解答】 证明：（）如图 1，连接 OC， OA OC， 1 2， PC 是 O的切线， OC PC， AD PC， AD OC， 2 3， 13 / 1 3， 即 PAM DAN； （）如图 2，连接 BM， AB 是 O的直径， 1+ 2 90， AD PN， AND+ 3 90， 四边形 ABMN是 O的内接四边形， AND 2， 1 3， 即 PAM DAN 22 【分析】 作 EF AC 于 F， EG DC于 G，根据直角
21、三角形的性质求出 EG，根据题意求出 BF，根据正切的定义求出 AF，计算即可 【解答】 解：作 EF AC于 F， EG DC于 G， 在 Rt DEG 中， EG DE 270， BF BC CF 285 270 15， EF 15 ， AEF 60， A 30， AF 45， AB AF BF 30（米）， 答：雕像 AB的高度为 30 米 23 【分析】 （）依据组装一套 A 型健身器材甲种部件 7 个和乙种部件 4 个，组装一套 B型健身器材甲种部件 3 个和乙种部件 6 个，可得代数式； （）根据题中已知条件列出不等式组，解不等式租得出整数即可解得组装方案； （）根据组装方案的费用
22、 y 关于 x 的一次函数，解得当 x 27 时，组装费用 y 最小为2234 【解答】 解：（）依题意得，组装 B 型器材需用甲种部件 3（ 40 x）个，需用乙种部 14 / 件 6（ 40 x）个；组装 A型器材需用乙种部件 4x个； 故答案为： 3（ 40 x）， 4x， 6（ 40 x）； （）依题意得， ， 解得 23 x 27， x为正整数， x的取值为 23， 24， 25， 26， 27 组装 A、 B两种型号的健身器材时，共有 5 种组装方案； （）总组装费用 y 50 x+68（ 40 x） 18x+2720， k 18 0， y随着 x的增大而减小， 当 x 27 时，
23、 y有最小值 2234， 此时的组装方案为：组装 A 型健身器材 27 套，组装 B 型健身器材 13 套 最小组装费用为 2234 元 24 【分析】 （）设 AB与 x轴交于点 H，依据旋转的性质得出 BO AB，即可得到 OHOB ， BH 3，进而得出点 B的坐标为（ ， 3）； （）依据旋转的性质可得 BOB AOA ， OB OB， OA OA，即可得出 OBB OAA （ 180 ），再根据 BOA 90 +，四边形 OBPA的内角和为 360，即可得到 BPA 90，即 AA BB； （）作 AB 的中点 M（ 1， ），连接 MP，依据点 P 的轨迹为以点 M 为圆心，以 M
24、P AB 2 为半径的圆，即可得到当 PM y轴时，点 P 纵坐标的最小值为 2 【解答】 解：（）如图 1，设 AB与 x轴交于点 H， OA 2， OB 2 ， AOB 90， ABO B 30， BOB 30， BO AB， OB OB 2 ， OH OB ， BH 3， 点 B的坐标为（ ， 3）； 15 / （）证明： BOB AOA ， OB OB， OA OA， OBB OAA （ 180 ）， BOA 90 +，四边形 OBPA的内角和为 360， BPA 360（ 180 ）（ 90 +） 90， 即 AA BB； （）点 P 纵坐标的最小值为 如图，作 AB的中点 M（ 1
25、， ），连接 MP， APB 90， 点 P 的轨迹为以点 M为圆心，以 MP AB 2 为半径的圆，除去点（ 2， ） 当 PM x轴时，点 P纵坐标的最小值为 2 25 【分析】 （）直接把 B 点坐标代入进而得出函数解析式，再利用 y 0，以及 x 0 即可得出答案； 16 / （）首先求出函数解析式，进而表示出 PAC的面积为 S，进而得出答案； （）表示出 E 点坐标，再利用 AF EF，进而得出答案 【解答】 解：（）将点 B（ 1， 0）代入 y ax2 2x+3， 解得： a 1， 故抛物线解析式为： y x2 2x+3， 当 y 0，解得： x1 3， x2 1， 故 A（
26、3， 0），当 x 0 时， y 3， 则 C点坐标为：（ 0， 3）； （）如图，过点 P 作 PD OC，交 AC于点 D， 设点 P 则坐标为：（ m， m2 2m+3）， 由 A（ 3， 0）， C（ 0， 3）可 得： 直线 AC的解析式为： y x+3， 点 D的坐标为：（ m， m+3）， PD m2 3m， S PDAO （ m+ ） 2+ ， 当 m 时，点 P的坐标为：（ ， ）， S的最大值为： ； （）如图，过点 E 作 EF OA 于点 F， 若点 E 是 OP 的中点， 则点 E 的坐标为：（ ， ）， 此时， OF ， AF 3+ ， EF ， 由 OA OC，得 AF EF， 3+ ， 化简得： m2+3m+3 0， b2 4ac 3 0， 不存在点 P，使点 E是 OP的中点
