1、走下神坛的 抽象代数,李尚志 北京航空航天大学,2018/7/4,抽象代数课程教什么?考什么?,微积分,线性代数有计算,抽象代数没有?既然叫抽象, 就是没有例子?有证明。太难,课时不够, 删去!还剩什么？死记硬背！九阴真经: 努尔七八,哈瓜儿,宁血契卡,混花察察,学根许八涂,米尔米尔小学程度就可以背诵和考试! 谁是山寨版 ?,2018/7/4,抽象代数一定要从公理开始?,公理是什么? 许多不同东西的共同点. 公理化方法: 描述性(非构造性)定义样板: 几何(欧几里德) - 代数(抽象代数)群,环,域的公理内容: 1. 对加、减、乘、除的封闭性2. 解释什么是加、减、乘、除加法：向量空间前4条公
2、理 = 交换群的运算乘法：结合律(群的公理) 对加法的分配律(环的公理)Prof.zhang 教学法:通过有招学无招无招胜有招:案例公理案例,2018/7/4,案例1. 三阶幻方以一变多,旋转 轴对称 共有多少个？按2的位置分4组.每组2个.24=8,正方形的对称群,2018/7/4,正多边形与正多面体,正三角形的对称群三角形数谜一变多23=6S3正方体的旋转群38个顶点=2446个面=24,2018/7/4,公理化: 群,子群,陪集分解,以正方体旋转群G为例. G按6个面1,6分组, 第 i 组 Gi =g|g1=ig,a在同一组 g1=a1 a-1g1=1a-1g G1gaG1. Gi=
3、aG1. 由a 可逆得: h1h 2 ah1ah2|Gi |=|G1|, i=1,6. |G|=6|G1|. |G1|整除|G|.推广: G 对除法封闭总可计算a-1g “同组” 等价性=G1含1, 对求逆,乘法封闭群G分为子群G1的陪集aG1, |G1|整除|G|.,2018/7/4,案例2. 复数的几何与矩阵模型,i2 = -1 : 左转两番朝后方平面向量v(-1)v,后转(180o)记viv为左转(90o).则i2 = -1.域同构: 复数平面线性变换矩阵i 左转变换i a+bi a1+bi ,2018/7/4,案例3. 平面旋转群 R,旋转a :v(cosa)v+(sina)(iv)(
4、cosa +isina)n = cosna +isinna (棣美弗公式)f: RR, a eia = cosa +isinaf(a+b) = f(a)f(b) : (群同态)Kerf=f-1(1)=2pZ. R/2pZR (群同构),2018/7/4,案例4. 单位根群,单位根: 1的 n 次方根. xn =1的根. f(a)n =1 na = 2kp a=2kp/n1,w,w2,wn-1 ,w = cos(2p/n) +isin(2p/n)n阶循环群 w =1,w,w2,wn-1f:Z w , k wk , f(k+r) = f(k)f(r)Ker f = nZZn=Z/nZ w ,201
5、8/7/4,案例5. xn -1 的因式分解,复数范围: xn -1=(x-1)(x-w)(x-wn-1)有理数范围: 以x15 -1为例 1,w,w2,w14在乘法群中的阶d|15同阶d=1,3,5,15复因子相乘得Fd(x)F1(x)=x-1. F3(x)=(x3-1)/(x-1)=x2+x+1. F5(x)=(x5-1)/(x-1)=x4+x3+x2+x+1F15(x)=(x15-1)/(F1(x)F3(x)F5(x)分圆多项式 Fd(x),2018/7/4,有限域: 5最 PK 3最,1 抽象代数最后一课2 最难3 最不应当考 1 最有用: 信息安全大显身手2 最有味: 抽象代数味道3
6、 最易懂: 小学生可以懂!4 最先讲: 可在第一课第一分钟!5 最应当考:首选第一题!,2018/7/4,案例6.三阶幻方全推导,各行和= (1+9)/3=15中心=(15445)/(4 1)=5奇偶按角边: 第一行和=第一列和 : a1+a2+a3 a1+b1+c1a2 b1边=奇: a1+a2+a3 1 a2 1 边=奇, 角=偶,2018/7/4,案例7. 奇与偶的算术 -二元域,曾肯成问题: 随机整数行列式等于奇数与偶数的概率. 奇偶数加减乘公式:偶偶=偶,偶奇=奇,奇奇=偶; 整偶=偶,奇奇=奇.用0,1表示: 00=0,01=1,11=0; a0=0,11=1.二元域 Z2=0,1
7、.注意1+1=0,a-b=a+b.,2018/7/4,D=ad-bc为奇数的概率情况1. ad=1,bc=0 a=d=1, (b,c)=(0,0),(0,1),(1,0)情况2. ad=0,bc=1 b=c=1, (a,d)=(0,0),(0,1),(1,0)共6种可能,概率=6/16=3/8D为偶数的概率=1-3/8=5/8,Z2上的2阶行列式,2018/7/4,GL(2,2):Z2上2维空间V共3个非零向量v1(1,0),v2(0,1),v3(1,1)任何两个线性无关每个置换都是可逆线性变换上述矩阵右乘分别得(1),(23),(12), (123),(13),(132).GL(2,2) S
8、3,Z2上可逆矩阵群,2018/7/4,数域上的线性代数定理:detA=1A可逆行线性无关茅台换矿泉:也适合于二元域 Z2第1行:A10, 2n-1个选择第2行:A2 lA1, 2n-2个选择第k+1行:Ak+1 l1A1+lkAk, 2n-2k个选择共有 (2n-1)(2n-22)(2n-2n-1)个概率=(1-1/2n)(1-1/2n-1)(1-1/2),Z2 上n阶行列式,2018/7/4,案例分析：“假零”性质,ab,ab的奇偶性只与a,b奇偶性有关:ab =(r+偶)(s+偶) (结合,交换） =(r s)+ (偶偶)= (r s)+ 偶ab =(r+偶)(s+偶) （分配) =rs
9、+(r偶+偶s+偶偶)=rs+偶“假零”性质: O1.偶偶=偶 O2.整偶=偶真零性质: 00=0,数0=0只考虑奇偶性:可以将偶数当作0.,2018/7/4,公理化：环, 理想, 商环,环 D：对加、减、乘封闭加、减、乘的合法性条件：加法:结合律,交换律,零,负元减法:a-b=a+(-b),(a-b)+b=a. 乘法:结合律,对加法的分配律 理想Q:D的子集,满足“假零”性质O1,O2记a-bQ为 ab (mod Q),可按等式计算商环: D/Q =同余类集合 a=a+ Q,定义加,减,乘:ab=ab, ab=ab.,2018/7/4,案例8. Zn -单表密码,Zn =Z/nZ=r+nZ|
10、 r=0,1,n-1.加法密码: Z26: f(x) = x+b. 仿射密码: f(x)=ax+b, a可逆. 可逆元与反函数.例:y=3x+5, 93=27=1, 9=3-1,x=9(y-5). 可逆条件: (a,n)=1, 存在 au+nq=1, au=1, u=a-1. y=ax+b x=a-1(y-b) Zn中可逆元组成乘法群 Zn*,2018/7/4,案例9.p元域Zp上可逆阵,素数p: Zp* = Zp 0. Zp 是域. Zp 上的n阶可逆方阵个数|GL(n,p)|=(pn-1)(pn-pk)(pn-pn-1)随机整数n阶行列式模p余r概率r=0: P0=1-|GL(n,p)|/pn2r0, f:GL(n,p) Zp*, AdetA.案例分析正规子群,同态基本定理,2018/7/4,案例10. 极限与微分,博士生 2010考题. 在一点a连续的全体实函数构成环CO(Dx)(无穷小)与o(Dx)=O(Dx)Dx都是C的理想.limxcf(x)=A f(x) A (mod O(Dx)f(x) f(a)+f(a)Dx (mod o(Dx)和差积商极限: f(x)A, g(x)B 加减乘除幂的导数: (x+Dx)nxn+nxn-1Dx (xn)=nxn-1积的导数: f(x)g(x)f(a)g(a)+(f(a)g(a)+g(a)f(a)Dx商的导数:,
