1、因为高数,给你一套过去的习题，做做那时我们的练习 有时会突然忘了，拉格朗日定理 再考不出那样的成绩，听到都会红着脸躲避虽然一直都在努力，可有人却已放弃因为成绩不会轻易增长，所以一切都是奋斗的模样 因为难度不断地增长，所以我们都在为它疯狂因为高数，怎么会没沧桑，尽管我们还是年轻的模样因为挂科，在那个地方，每到期末都会有人在那个地方生或阵亡,2,个人简介,2009年，中国科学院数学研究所，博士2010年，国家数学天元青年基金2011年，数学与信息科学学院，副教授2012年，国家青年科学基金2012年，杰出青年扶持计划2013年，上海市博士后基金A类资助2013年，中国博士后科学基金面上资助2013
2、年，数学与信息科学学院副院长,几点要求,按时上课，迟到者需走前门说明理由勿在教室吃早饭，下课时带走自产垃圾课堂上，手机要静音事假请打招呼，不得无故旷课作业按时上交,高等数学是什么,研究对象： 初等函数的解析性质 常量变量，有限无穷研究内容： 一元函数微分学、积分学； 多元函数积分学、微分学； 微分方程； 无穷级数理论； 空间解析几何与向量代数； 研究方法： 无穷小分析极限方法,第六章 定积分,第一小节 定积分的概念和性质,二. 定积分的定义,一. 曲边梯形的面积,三. 定积分的性质,在我国古代南北朝（公元 429 500 年）时，南朝的科学家祖冲之运用逐渐增加圆内多边形的边数，算出正多边形的面
3、积，逼近相应的圆的面积，得到了 的近似值.,在初等几何中，计算任意多边形面积时，常采用如下方法：首先将任意多边形划分为若干个小三角形，分别计算各个三角形的面积，然后求和，得到任意多边形的面积。,一. 曲边梯形的面积,阿基米德运用这种方法，求得抛物线 与 x 轴及直线 x =1 所围成的平面图形面积的近似值.,就是说，在计算复杂图形的面积时，可以先将它划分为若干个容易算得面积的小块，并分别求出各小块图形的面积，然后求和，即得到原图形的面积的近似值（边界线为直线时，可得精确值）.,如果在上述方法中引入极限过程, 会产生什么效果？可求由一般曲线所围图形的面积！,曲边梯形：三边为直线，其中有两边相互平
4、行且与第三边垂直（底边），第四边是一条曲线，它与垂直于底边的直线至多有一个交点（这里不排除某直线缩成一点）.,1. 曲边梯形,2. 求曲边梯形的面积,首先，我们重复阿基米德的做法： 分割近似求和得到曲边梯形面积的近似值，然后，引入极限过程，求出曲边梯形面积的精确值.,任意引入分点,称为区间的一个分法 T,对每个小曲边梯形均作上述的近似,二. 定积分的定义,任意引入分点,定积分符号：,关于定积分定义的几点说明,由极限保号性：,面积：,定理 1（函数可积性）,定理 2,定理 3,定理 4,定理 5,三. 定积分的性质,由于定积分是一种和式的极限, 所以极限的某些性质在定积分中将有所反映.,在以下的叙述中, 假设所出现的函数均可积, 所出现的定积分均存在.,证,证,由定积分定义及极限运算性质：,证,(小于零的情形类似. ),由极限的保号性立即可知.,证,/,证,请同学们自己在下面做.,/,与性质 3 的推论 1 不同， 这里的结论是严格不等号！,证,证,所以,证,证,几何解释：被积函数在积分区间上的平均化,解,由积分中值定理,等价无穷小替换,解,
