1、第3讲 机械能守恒定律及其应用,考点1 重力做功与重力势能,1.重力做功的特点(1)重力做功与_无关，只与始末位置的_有关.(2)重力做功不引起物体_的变化.,路径,高度差,机械能,2.重力势能与弹性势能,物体由于 而具有的能,物体由于发生 而具有的能,Ep=,与形变量及劲度系数有关,标量,标量,大小与所选取的参考平面有关,一般选弹簧形变为零的状态为弹性势能零点,被举高,弹性形变,mgh,1.重力做功与重力势能变化的关系(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能就减小；重力对物体做负功，重力势能就增大.(2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量，即WG=-(Ep2-Ep1)=Ep
2、1-Ep2.(3)重力势能的变化是绝对的，与参考面的选取无关.,2.弹力做功与弹性势能变化的关系(1)弹力做功与弹性势能变化的关系类似于重力做功与重力势能变化的关系，用公式表示：W=-Ep.(2)对于弹性势能，一般物体的弹性形变量越大,弹性势能越大.,将质量为100 kg的物体从地面提升到10 m高处,在这个过程中,下列说法中正确的是(取g=10 m/s2)( )A.重力做正功,重力势能增加1.0104 JB.重力做正功,重力势能减少1.0104 JC.重力做负功,重力势能增加1.0104 JD.重力做负功,重力势能减少1.0104 J,【解析】选C.由于重力的方向和物体上升的位移方向相反,故
3、重力做负功,物体的重力势能增加.由W=-mgh=-1.0104 J得，重力势能增加1.0104 J,故C正确.,考点2机械能守恒定律,1.内容在只有重力或弹力做功的情况下，物体的_与_相互转化，但机械能的总量保持_.,动能,势能,不变,2.机械能守恒定律表达式,Ek1+Ep1=,Ek=,EA=,Ek2+Ep2,-Ep,-EB,1.对机械能守恒条件的理解只有重力及系统内的弹力做功，可以从以下三方面理解：(1)只受重力作用，例如在不考虑空气阻力的情况下的各种抛体运动，物体的机械能守恒.(2)受其他力，但其他力不做功，只有重力或系统内的弹力做功.(3)弹力做功伴随着弹性势能的变化，并且弹力做的功等于
4、弹性势能的减少量.,2.对机械能守恒定律三种表达式的理解(1)守恒观点.意义：系统初状态的机械能等于末状态的机械能.注意问题：要先选取零势能参考平面，并且在整个过程中必须选取同一个零势能参考平面.,(2)转化观点.意义：系统(或物体)的机械能守恒时，系统增加(或减少)的动能等于系统减少(或增加)的重力势能.注意问题：要明确重力势能的增加量或减少量，即重力势能的变化，可以不选取零势能参考平面.(3)转移观点.意义：若系统由A、B两部分组成，当系统的机械能守恒时，则A部分物体机械能的增加量等于B部分物体机械能的减少量.注意问题：A部分机械能的增加量等于A末状态的机械能减初状态的机械能，而B部分机械
5、能的减少量等于B初状态的机械能减末状态的机械能.,质量为m的小球从高H处由静止开始自由下落，以地面作为零势能面.当小球的动能和重力势能相等时，重力的瞬时功率为( )【解析】选B.设当小球动能和重力势能相等时，小球下落的高度为h,由机械能守恒定律得mgH= mv2+mg(H-h)， mv2=mg(H-h)，解得: 故此时重力的功率为P=mgv= B正确.,机械能守恒的判断【例证1】如图所示，质量均为m的A、B两个小球，用长为2L的轻质杆相连接，在竖直平面内绕固定轴O沿顺时针方向自由转动(转轴在杆的中点)，不计一切摩擦，某时刻A、B球恰好在如图所示的位置，A、B球的线速度大小均为v,下列说法正确的
6、是( ),A.运动过程中B球机械能守恒B.运动过程中B球速度大小不变C.B球在运动到最高点之前，单位时间内机械能的变化量保持不变D.B球在运动到最高点之前，单位时间内机械能的变化量不断变化,【解题指南】解答本题时应注意以下两点：(1)A、B两球的速度大小始终相等.(2)B球单位时间内高度变化的关系.,【自主解答】选B、D.以A、B球组成的系统为研究对象，两球在运动过程中，只有重力做功(轻杆对两球做功的和为零)，两球的机械能守恒，以过O点的水平面为重力势能的参考平面时，系统的总机械能为E=2 mv2=mv2.假设A球下降h,则B球上升h，此时两球的速度大小是v，由机械能守恒定律知mv2= mv2
7、2+mgh-mgh,得到v=v,故运动过程中B球速度大小不变.当单独分析B球时，B球在运动到最高点之前，动能保持不变，重力势能在不断增加.由几何知识可得单位时间内B球上升的高度不同，因此机械能的变化量是不断改变的.B、D正确.,【总结提升】机械能是否守恒的判断方法(1)利用机械能的定义判断(直接判断):机械能包括动能、重力势能和弹性势能，判断机械能是否守恒可以看物体或系统机械能的总和是否变化.(2)用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，虽受其他力，但其他力不做功，机械能守恒.,(3)用能量转化来判断：若物体系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体系统
8、机械能守恒.(4)对多个物体组成的系统，除考虑是否只有重力做功外，还要考虑系统内力做功，如有滑动摩擦力做功时，因有摩擦热产生，系统机械能将有损失.,【变式训练】(2012闸北区模拟)乒乓球上下振动,振动的幅度愈来愈小,关于乒乓球的机械能,下列说法中正确的是( )A.机械能守恒B.机械能减少C.机械能增加D.机械能有时增加,有时减少【解析】选B.乒乓球振动的幅度愈来愈小,说明乒乓球克服阻力做功,故机械能减少,只有B项正确.,【变式备选】如图所示，具有一定初速度的物块，沿倾角为30的粗糙斜面向上运动的过程中，受一个恒定的沿斜面向上的拉力F作用，这时物块的加速度大小为4 m/s2，方向沿斜面向下，那
9、么，在物块向上运动的过程中，下列说法正确的是( )A.物块的机械能一定增加B.物块的机械能一定减小C.物块的机械能可能不变D.物块的机械能可能增加也可能减小,【解析】选A.机械能变化的原因是非重力、弹力做功，题中除重力外，有拉力F和摩擦力Ff做功，则机械能的变化取决于F与Ff做功大小关系.由mgsin+Ff-F=ma知：F-Ff=mgsin30-ma0，即FFf，故F做正功多于克服摩擦力做功，故机械能增加.A项正确.,单个物体机械能守恒定律的应用【例证2】(15分)如图所示，斜面轨道AB与水平面之间的夹角=53，BD为半径R=4 m的圆弧形轨道，且B点与D点在同一水平面上，在B点，斜面轨道AB
10、与圆弧形轨道BD相切，整个轨道处于竖直平面内且处处光滑，在A点处有一质量m=1 kg的小球由静止滑下，经过B、C两点后从D点斜抛出去，最后落在地面上的S点时的速度大小vS=8 m/s，已知A点距地面的高度H=10 m，B点距地面的高度h=5 m，设以MDN为分界线，其左边为一阻力场区域，右边为真空区域，g取10 m/s2，cos53=0.6，求：,(1)小球经过B点时的速度为多大？(2)小球经过圆弧轨道最低处C点时对轨道的压力为多大？(3)小球从D点抛出后，受到的阻力Ff与其瞬时速度方向始终相反，求小球从D点到S点的过程中阻力Ff所做的功.,【解题指南】解答本题时应注意以下三个方面：(1)轨道
11、ABCD光滑，只有重力对小球做功.(2)MN左侧为阻力场区域，有阻力对小球做负功.(3)B、D等高，两处小球速度大小相等.,【规范解答】(1)设小球经过B点时的速度大小为vB,由机械能守恒得：mg(H-h)= mvB2 (3分)解得vB=10 m/s. (1分)(2)设小球经过C点时的速度为vC,对轨道的压力为FN，则轨道对小球的支持力FN=FN，根据牛顿第二定律可得FN-mg= (2分)由机械能守恒得：mgR(1-cos53)+ mvB2= mvC2 (3分)由以上两式及FN=FN解得FN=43 N. (2分),(3)设小球受到的阻力为Ff,到达S点的速度为vS,在此过程中阻力所做的功为W，
12、由机械能守恒知vD=vB,由动能定理可得mgh+W= mvS2- mvD2. (3分)解得W=-68 J. (1分)答案：(1)10 m/s (2)43 N (3)-68 J,【总结提升】机械能守恒问题的规范解答1.一般步骤(1)选取研究对象 (2)分析受力情况和各力做功情况，确定是否符合机械能守恒条件.(3)确定初末状态的机械能或运动过程中物体机械能的转化情况.(4)选择合适的表达式列出方程，进行求解.(5)对计算结果进行必要的讨论和说明.,2.应注意的问题(1)列方程时，选取的表达角度不同，表达式不同，对参考平面的选取要求也不一定相同.(2)应用机械能守恒能解决的问题，应用动能定理同样能解
13、决，但其解题思路和表达式有所不同.,【变式训练】如图甲所示，一半径R=1 m、圆心角等于143的竖直圆弧形光滑轨道，与斜面相切于B处，圆弧轨道的最高点为M，斜面倾角=37,在t=0时刻有一物块沿斜面上滑，其在斜面上运动的速度变化规律如图乙所示.若物块恰能达到M点(取g=10 m/s2,sin37=0.6,cos37=0.8),求：(1)物块经过B点时的速度vB;(2)物块与斜面间的动摩擦因数;(3)AB间的距离xAB.,【解析】(1)由题意物块恰能到达M点,则在M点有由机械能守恒定律有mgR(1+cos37)=代入数据可求得：(2)由v-t图可知物块运动的加速度a=10 m/s2由牛顿第二定律
14、有mgsin37+mgcos37=ma所以物块与斜面间的动摩擦因数,(3)由运动学公式2axAB=vA2-vB2.又vA=8 m/s,得xAB=0.9 m. 答案：(1) (2)0.5 (3)0.9 m,多个物体组成的系统机械能守恒 定律的应用【例证3】有一个固定的光滑直杆，该直杆与水平面的夹角为53，杆上套着一个质量为m=2 kg的滑块(可视为质点).,乙,(1)如图甲所示，滑块从O点由静止释放，下滑了位移x=1 m后到达P点，求滑块此时的速率.(2)如果用不可伸长的细绳将滑块m与另一个质量为M=2.7 kg的物块通过光滑的定滑轮相连接，细绳因悬挂M而绷紧，此时滑轮左侧绳恰好水平，其长度 (
15、如图乙所示).再次将滑块从O点由静止释放，求滑块滑至P点的速度大小.(整个运动过程中M不会触地，sin53=0.8,cos53=0.6,g取10 m/s2),【解题指南】解答本题时应注意以下两点：(1)滑块m与物块M的速度大小关系；(2)滑块m与物块M的位移大小关系.【自主解答】(1)设滑块下滑至P点时的速度为v1,由机械能守恒定律得mgxsin53= mv12解得v1=4 m/s,(2)设滑块再次滑到P点时速度为v2,M的速度为vM,如图,将v2进行分解得：vM=v2cos绳与直杆的夹角为，由几何关系得=90vM=0再由系统机械能守恒定律得：MgL(1-sin53)+mgxsin53= mv
16、22+0解得v2=5 m/s答案：(1)4 m/s (2)5 m/s,【互动探究】本题中若直杆和细绳足够长，试求滑块沿杆下滑的最大距离xm.【解析】如图所示,设M上升的最大高度为HM，则有(HM+L)2=(xm-x)2+(Lsin53)2由系统机械能守恒得：mgxmsin53-MgHM=0可求得：xm=6.127 m答案:6.127 m,【总结提升】多物体机械能守恒问题的分析方法(1)对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒.(2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系.(3)列机械能守恒方程时，一般选用Ek=-Ep的形式.,【例证】如图所示，质量为m1的
17、物体A经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m2的物体B相连，弹簧的劲度系数为k，A、B都处于静止状态.一条不可伸长的轻绳绕过定滑轮，一端连物体A，另一端连一轻挂钩.开始时各段绳都处于伸直状态，A上方的一段绳沿竖直方向.现在挂钩上挂一质量为m3的物体C并从静止状态释放，已知它恰好能使B离开地面但不继续上升.若将C换成另一个质量为(m1+m3)的物体D，仍从上述初位置由静止状态释放，则这次B刚离地时D的速度的大小是多少？已知重力加速度为g.,【规范解答】开始时,A、B静止，设弹簧压缩量为x1，有kx1=m1g 挂C并释放后，C向下运动，A向上运动，设B刚要离开地面时弹簧伸长量为x2,则kx2=m2g
18、B不再上升，表示此时A和C的速度为零，C已降到最低点.由机械能守恒，与初始状态相比，弹簧弹性势能的增加量为E=m3g(x1+x2)-m1g(x1+x2) ,C换成D后，当B刚离地时的弹性势能的增量与前一次相同，由能量关系得 (m3+m1)v2+ m1v2=(m3+m1)g(x1+x2)-m1g(x1+x2)-E 由式得 (2m1+m3)v2=m1g(x1+x2) 由式得答案：,1.(2012包头模拟)如图所示，下列四个选项的图中，木块均在固定的斜面上运动，其中图A、B、C中的斜面是光滑的，图D中的斜面是粗糙的，图A、B中的F为木块所受的外力，方向如图中箭头所示，图A、B、D中的木块向下运动，图
19、C中的木块向上运动.在这四个图所示的运动过程中机械能守恒的是( ),【解析】选C.图A、B中木块均受到力F作用，即除重力对木块做功以外，还有力F做功，故木块的机械能不守恒，图D中木块下滑时有摩擦力做功，其机械能不守恒，图C中斜面光滑，只有重力对木块做功，木块机械能守恒，故只有C正确.,2.如图所示，在水平桌面上的A点有一个质量为m的物体，以初速度v0被抛出，不计空气阻力，当它到达B点时，其动能为( )A. mv02+mgH B. mv02+mgh1C.mgH-mgh2 D. mv02+mgh2【解析】选B.由机械能守恒，mgh1= mv2- mv02,到达B点的动能 mv2=mgh1+ mv0
20、2,B正确.,3.在光滑水平面上有一物体，它的左端连接着一轻弹簧，弹簧的另一端固定在墙上，在力 F 作用下物体处于静止状态，当撤去力F 后，物体将向右运动，在物体向右运动的过程中，下列说法正确的是( )A.弹簧的弹性势能逐渐减少 B.弹簧的弹性势能逐渐增加 C.弹簧的弹性势能先增加后减少 D.弹簧的弹性势能先减少后增加,【解析】选D.开始时弹簧处于压缩状态，撤去力F后，物体先向右加速运动后向右减速运动，弹簧先恢复原长后又逐渐伸长，所以弹簧的弹性势能先减少再增加，D正确.,4.如图所示，在高1.5 m的光滑平台上有一个质量为2 kg的小球被一细线拴在墙上，球与墙之间有一根被压缩的轻质弹簧.当烧断
21、细线时，小球被弹出，小球落地时的速度方向与水平方向成60角，则弹簧被压缩时具有的弹性势能为(g=10 m/s2)( )A.10 J B.15 J C.20 J D.25 J,【解析】选A.由h= gt2和vy=gt得： 落地时，tan60= 可得： 由机械能守恒得：Ep= mv02,可求得：Ep=10 J,故A正确.,5.(2012徐州模拟)如图所示,将一质量为m=0.1 kg的小球自水平平台右端O点以初速度v0水平抛出,小球飞离平台后由A点沿切线落入竖直光滑圆轨道ABC,并沿轨道恰好通过最高点C,圆轨道ABC的形状为半径R=2.5 m的圆截去了左上角127的圆弧,CB为其竖直直径(sin53
22、=0.8,cos53=0.6,重力加速度g取10 m/s2).求:,(1)小球经过C点的速度大小;(2)小球运动到轨道最低点B时小球对轨道的压力大小;(3)平台末端O点到A点的竖直高度H.,【解析】(1)小球沿轨道恰好通过最高点C,仅由重力提供向心力,即 解得vC=5 m/s.(2)从B点到C点,取B点为参考面,由机械能守恒定律得在B点对小球受力分析,由牛顿第二定律得FN-mg=解得FN=6.0 N.据牛顿第三定律,小球对轨道的压力大小也为6.0 N.,(3)从A点到B点,取B点为参考面,由机械能守恒定律得解得在A点进行速度的分解有vy=vAsin53所以答案:(1)5 m/s (2)6.0 N (3)3.36 m,
