1、数理逻辑发展简史,马殿富北航计算机学院2009-9,什么是逻辑？,逻辑示例有2个红色帽子，3个黑色帽子。三个人站成一纵队，各戴一顶帽子，每人仅能看到前面人帽子颜色。问？第三个人帽子颜色？回答：不知道！第二个人帽子颜色？回答：不知道！第一个人帽子颜色？回答：知道！第一个人帽子颜色是什么？为什么？,第一个人推理：如果第一人和第二人都是红色帽子，则第三人知道自己帽子颜色为黑色。因为第三人不知道自己帽子颜色为黑色，所以，第一人和第二人不都是红色帽子。如果第一是红色帽子，则第二人知道自己帽子颜色为黑色。因为第二人不知道自己帽子颜色为黑色，所以，第一不是红色帽子。第一是黑色帽子。,什么是逻辑？,思维形式概
2、念反映事物本质属性。判断由概念组成的一种思维形式叫判断。推理由几个相关联的判断所构成的思维形式叫推理。逻辑从结构方面研究正确思维形式及其规律的科学。,数理逻辑是什么？,狭义数理逻辑用数学方法研究数学中演绎思维和数学基础的学科。广义数理逻辑用特制符号和数学方法来研究处理演绎方法的理论。狭义数理逻辑包括五个部分逻辑演算模型论集合论递归论证明论,数理逻辑发展2种主要途径,借助数学的方法改进传统逻辑不足；对数学基础的研究，产生了大量与逻辑有关的问题。,数理逻辑发展简介,史前时期亚里土多德的三段论，斯多阿学派的命题逻辑和中世纪形式逻辑。初创时期莱布尼茨的数理逻辑思想逻辑代数和关系逻辑奠基时期从弗雷格的概
3、念文字到希尔伯特的元数学纲领逻辑演算的建立，素朴集合论、公理集合论逻辑类理论，直觉主义数学基础和逻辑，形式公理学和证明论。发展初期哥德尔的几项重大结果完全性定理、不完全性定理和连续统假设的一致性等形式语言中真值概念的定义一般递归函数和图灵机理论，判定问题的重要成果等。现代时期各种非经典逻辑演算模型论、集合论、递归论和证明论。,史前时期,古代希腊最伟大的哲学家，古典形式逻辑的创始人；在命题中引进了主谓项的变元，建立了三段论的理论；在逻辑史上第一次应用了形式化、公理化的的演绎系统，开创了逻辑的形式化研究；构造了模态三段论系统，开创了模态逻辑的研究；在工具论中，总结了正确的推理方法，建立了形式逻辑；
4、在分析篇提出公理学理论的基础。,亚里土多德(Aristotle，公元前384322),史前时期,斯多阿学派的命题逻辑古希腊的一个哲学学派创造了命题逻辑，用形式化和公理化的方法第一次构造了一个命题逻辑系统，给出5种公理化基本推理图式。斐洛 (Philo) 第一个提出了相当于现代命题演算中实质蕴涵的真值表。欧布理得发现了说谎者悖论：一个说谎的人说“我正在说谎”；他是在说谎，还是说真话?这一悖论现在归属于语义悖论。中世纪的形式逻辑中世纪逻辑学家总共陈述了60多条推论原理,传统逻辑,传统逻辑主要是指亚里士多德逻辑经过中世纪的演变一直沿用到十九世纪;在中世纪被认为金科玉律、完美元缺;到了十九世纪，它的缺
5、点突出，急需改革。传统逻辑主要缺点：传统逻辑所讨论的子句仅限于主宾式语句，分成四种：全称肯定A：Asp，凡s均为p；全称否定E，Esp，凡s均非p；特称肯定I，Isp，有的s为p；特称否定O，Osp；有的s非p。限于三段论。没有关于量词的研究，没有“变元”的概念。,初创时期,德国哲学家和数学家，17世纪末创建了数理逻辑。建立一种理想的“通用语言”进行推理。他曾经给一位友人的信上写道：“要是我少受搅扰，或者要是我更年青些，或有一些年青人来帮助我，我将作出一种 “通用代数”(在其中，一切推理的正确性将化归于计算它同时又将是通用语言，但却和目前现有的一切语言完全不同；其中的字母和字将由推理来确定，除
6、却事实的错误以外；所有的错误将只由于计算失误而来。要创作或发明这种语言或字母将是困难的，但要学习它，即使不用字典，也是很容易的。”,莱布尼茨(Leibniz，16461716),初创时期,莱布尼茨预创造两种工具，其一是通用语言使用简单明了的符号；合理的语言规则；便于逻辑分析和综合。另一种是推理演算它将处理通用语言；规定符号的演变规则、运算规则；使得逻辑的演算进行机械式计算。莱布尼茨的思想是用代数方法处理古典形式逻辑的推理，延续了大约二百年。,初创时期,德.摩根关系逻辑19世纪英国数学家和逻辑学家，生于印度；1838年提出“数学归纳法”的概念；首先提出“论域”的概念，第一次明确用公式表达合取和析
7、取的关系，称为德摩根律；主张判断扩充为一般的关系语句，明确主张发展关系逻辑，逻辑代数的创始人之一。,DeMorgan 1806-1871,初创时期,布尔英国数学家1847年，发表了逻辑的数学分析，论演绎推理演算，1854年出版了思维法则的探讨，作为逻辑与概率的数学理论的基础建立了“布尔代数”，并创造一套符号系统，利用符号来表示逻辑中的各种概念，这是一种新的逻辑。建立了一系列的运算法则，利用代数的方法研究逻辑问题，初步奠定了数理逻辑的基础。,George Boole 1815-1864,初创时期,耶芳斯使用相等记号来表示命题中的系词布尔代数引入相容的或运算。文恩（英国逻辑学家）用图解法表示布尔代
8、数1881年提出符号逻辑麦柯尔(HMcColl) 用字母及字母的组合表示整个命题；沿用流行的符号把“A或B”，“A且B“非A”表为A+B，AB，A；引入了A蕴涵B的概念，表示为A:B。,Stanley Jevons1835-1882,John Venn1834-1923,初创时期,Charles S. Peirce （1839-1914）,皮尔斯C.S.Peirce1885年独立地引进了量词这个名称，以及存在量词x 和全称量词x两个符号。命题代数或命题演算“既非，又非”作为逻辑作为初始运算。在逻辑史上第一次全面、系统地建立了关系演算。皮尔斯和弗雷格都明确指出命题只有真假二值，命题的研究实质上是
9、真假值的研究。,奠基时期,德国人，数学家，逻辑学家，哲学家1879年的表意符号引入和使用量词与约束变元。1879年出版著作概念文字：一种模仿算术语言构造的纯思维的形式语言；第一次把谓词演算形式化,完备地发展了命题演算和谓词演算；历史上第一个严格的关于逻辑规律的公理系统；这个系统共有三个基本概念：蕴涵、否定和全称量词，共有九条公理。第一个引入了符号；接近于完成数理逻辑整个基础，标志着数理逻辑的发展由创建时期进入奠基时期。,弗雷格 Gottlob Frege 1848-1925,奠基时期,1899年意大利数理逻辑学家；提出了自然数算术的一个公理系统1894年出版数学公式，逻辑符号体系沿用至今；用逻
10、辑演算表述数学、推导数学；区分集合论中的“属于”关系和包含关系；关于自然数论的五个公理一直沿用到现在，成为自然数论的出发点。,皮亚诺Giuseppe Peano 1858-1932,奠基时期,罗素(B.Russell) ，英国逻辑学家，哲学家；继承皮亚诺的研究，完备了命题演算和谓词演算的成果；以集合论为基础，给出了自然数定义，证明了自然数满足皮亚诺的五个公理；罗素总结了数理逻辑的成果，和怀特海合著了数学原理，他的成果汇集成为一本巨著，奠定了数理逻辑的基础。,Bertrand Russell 1872-1970,数学三次大危机,数学曾发生三次大危机，它使数学基础问题发生三次大争论。第一次是古希腊
11、时代无理数的发现毕达格拉斯学派以 “只有可通约量”为信念。为了解释无理数的存在，处理无理数，古希腊人发展了比例论，从而建立几何公理系统。第二次是十七、八世纪关于微积分基础的争论，即关于无穷小的争论，它一直延续到十九世纪，结果得出了极限论以及无理数的算术理论。第三次是集合论悖论的出现，从而导致数理逻辑的蓬勃发展。,Pythagoras,572BC497BC),古希腊,第一次数学危机,欧几里德，古希腊数学家；几何原本是一个实质公理系统，把点、线、面、角等分为原始定义概念（23）和可定义概念，把命题分为公设（5）、公理（5）和可由公理公设出发加以证明的定理（467）。从简单到复杂，证明相当严格。从而
12、建立了欧几里得几何学的第一个公理化数学体系。在几何原本所给的公理公设中，第五公设是关于平行线的，通常叫做平行公理。5(平行公设)若一直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点。,Euclid of Alexandria 325 BC -265 BC,无穷的大小,1638年伽利略(Galileo)1，2，3，4，.1,4,9,16,伽利略 (1564-1642),第二次数学危机,牛顿和莱布尼茨提出微积分，计算非等速运动、不均匀密度的物体等物理现象引发微积分的基础问题争论达一百多年。极限论的说法中，有一条性质，即“有界单调的数列必有极限”，是一切其它性
13、质的基础，别的性质都可由它推出。但这条性质又从何推出呢?长期以来，人们以为可以由几何性质推出但几何公理中，根本末讨论到连续的性质，更未讨论到极限。,Isaac Newton 1643-1727,Augustin-Louis Cauchy（1789 1857）柯西用“-”的数学形式对极限、收敛给出了严格的定义。,魏尔斯特拉斯 Karl Theodor Wilhelm Weierstrass （1815 1897）19世纪下半叶，维尔斯特拉斯、戴德金、康托尔等数学家分别给实数作出了算术形式定义之后，实数理论建立在集合论基础之上。,非欧几何,18世纪初意大利数学家萨克利，用反证法，假设欧氏几何五公设
14、的否定命题，结果推出了一系列命题，始终没有得到矛盾。俄国数学家罗巴切夫斯基发现了锐角非欧几何。从直线外一点，至少可以做两条直线和这条直线平行。 1854年黎曼发现了钝角非欧几何。在同一平面内任何两条直线都有交点。,非欧几何,1570年，德国数学家克莱因用微分几何和射影几何的研究成果，使非欧几何在欧氏几何中得到解释。19世纪末，希尔伯特给出了简单而完全的由二十条公理组成的公理系统几何基础，并在实数算术理论中为欧氏几何建立了一个模型。,几何相容性,非欧几何相容性证明只能证明其相对相容性相对于欧氏几何的相容性，并不能证明非欧几何的(绝对)相容性(即不矛盾性)；如果欧氏几何没有矛盾，那末非欧几何亦没有
15、矛盾。欧氏几何相容性证明借助于解析几何，一切几何命题都可以表示为代数(实数论上的）命题。如果欧氏几何出现矛盾，那末表述为代数命题以后，也将得出两条互相矛盾的（实数的)代数定理，即实数的代数也就出现矛盾了。欧氏几何相对于(实数)代数的相容性。,集合论创立,康托尔创立了一门崭新的学科集合论，亦称为古典集合论或素扑集合论。外延原则与概括原则外延原则：一个集合由它的元素唯一地确定。概括原则：每一性质(或谓词)产生一个集合。康托尔第一次科学地应用了“一一对应”的概念来把握无穷集合的本质。康托尔用“一一对应”的概念解决了伽利略的“部分等于全体” 的怪论，揭示了无穷集合的本质以及无穷与有穷的本质差别。康托尔
16、的成果是人们对无穷集合认识道路上的第一块里程碑。具有伟大历史意义的证明：关于有理数集可数性的证明关于代数数可数的证明关于实数集不可数的证明康托尔创立的集合论是数学和数理逻辑发展史上的惊天动地的伟业，开辟了崭新的数学领域，为数学奠定了初步基础。,Georg Cantor 1845-1918,相容性实数、自然数、集合论,狄德金(R.Dedekind) 把实数定义为有理数的分划，实质上是有理数的(无穷)集合，也是自然数的(无穷)集合。康托(G.Cantor) 则把实数定义为正规有理数无穷数列，实质上仍可以化归于自然数的(无穷)集合。实数论上的命题既可表示成自然数的集合的命题，如果实数论出现矛盾，势必
17、在自然数论和集合论上出现矛盾。实数论的相对相容性相对于自然数论。弗雷格和狄德金等利用集合的概念而定义自然数，自然数论的相对相容性相对于集合论的相容性便得到了证明。集合论的相容性又占着中心的、关键性的位置，是整个数学相容性的支柱。,Richard Dedekind 1831-1916,彭加勒宣言数学成就,1900年在巴黎召开的数学大会上，大数学家彭加勒(H.Poincare) 宣称“现在我们可以说，数学完全的严格性已经达到了。”,Henri Poincar1854-1912,罗素悖论,集合论既占这么重要的位置，那么集合论具有相容性吗？集合悖论：集合论是自相矛盾的，没有相容性的！罗素悖论(1902
18、)“理发师悖论”某乡村有一位理发师，有一天他宣布：只给不自己刮胡子的人刮胡子。那么就产生了一个问题：理发师究竟给不给自己刮胡子？如果他给自己刮胡子，他就是自己刮胡子的人，按照他的原则，他又不该给自己刮胡子；如果他不给自己刮胡子，那么他就是不自己刮胡子的人，按照他的原则，他又应该给自己刮胡子。这就产生了矛盾。罗素悖论概念简单，无法质疑,集合论的悖论,经典悖论布拉里福蒂悖论（Borali-Forti1897）:最大序数的悖论康托尔悖论：最大基数的悖论（1899）、罗素悖论（1903）关系悖论语义悖论古希腊-欧布理得的说谎者悖论 罗素把各种悖论加以分析归纳以后，认为“一切悖论都有一个公共特征，即自己
19、引证自己，或自反性”,公理集合论的建立,在1908年，策梅罗发表论文集合论基础研究，这标志着公理集合论的建立。外延性公理、初等集合公理、分离公理、幂集公理、并集公理、选择公理l922年8月，著名的挪威数学家斯科伦(T.Skolem）在第五届斯堪的纳维亚数学家大会上发表了对公理集合论的一些评论的讲演。他首先提到数理逻辑的五种运算(采用了施罗德的记法)合取、析取、否定、全称量词、存在量词策梅罗一弗兰克尔系统记为ZF系统外延性公理、无序对公理、空集公理、替换公理模式、分离公理模式、幂集公理、并集公理、无穷公理、正则公理ZFC系统ZF系统+选择公理。,集合公理系统,弗兰克尔Adolf Abraham
20、Halevi Fraenkel1891 1965策梅罗Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo1871 - 1953,公理集合论的建立,在1923-1929年间，冯诺意曼连续发表了6篇集合论论文。这些论文在公理集合论的发展史上具有重要意义。提出了一种新的序数理论论证了超穷归纳法的定义推广了策梅罗和弗兰克尔的集合论，构造了一个新的公理集合论系统，并讨论了相对一致性的问题。,John von Neumann 1903-1957,代数学公理化,19世纪30年代，伽罗瓦给出了群的概念。群是满足几条运算规律的一个抽象系统，它概括了向量、矩阵、变换等研究对象。群的研究来源于高次方
21、程求解的问题，但群的出现，导致了现代群论，环论，域论，交换代数，李代数以致同调代数，代数几何等等公理化代数系统的惊人发展，在理论和实践两方面部取得了极丰富的成果。,数理逻辑的三大流派,以罗素为代表的逻辑主义派数学即逻辑，两者之间没有分界线。数学原理罗素推演，以表明怎样一步一步地从逻辑而过渡到数学；缺乏二公理：无穷公理和选择公理。从逻辑过渡到数学时，必须发展集合论。以希尔柏特为代表的形式主义派数学的真理性体现在什么地方?逻辑规律的真理性以布鲁维(L.E.J.Brouwer)为代表的直觉主义派强调能行性，因而对任何无穷集合都不认为是构造完成的，而是在构造中的。讨论范围限于数学命题：一命题真是指已证
22、明其真，一命题假是指证明它为假，亦即当假设它为真时可导致矛盾，因此反证法是可以用的，但只限于用以证明否定命题。排中律断定每个命题或真或假，两者必居其一直觉主义不承认排中律,形式公理与证明论,希尔柏特（D.Hilbert）规划直接证明数学理论的相容性 数学理论彻底公理化一一规定数学基本概念一一列出基本概念的基本性质(作为公理)，一一列出逻辑概念(如命题联结词和量词等)一一列出逻辑概念的基本性质(所谓逻辑法则)数学上的推导不但不必再依靠空间关系、不必再依靠直觉，而且不必再依靠逻辑法则，可以纯粹机械地推演。每步推演表现为由某个逻辑式子变成另一个逻辑式子，逐步演算，便能够由公理出发，最后达到定理即数学
23、的推演表现为一系列逻辑式子的演变。证明论的数学基础是形式公理学证明数学理论的相容性，那便等于要求证明，在数学的推导中，只要从公理出发，绝不可能导出两个互相反对的矛盾命题。希尔伯特l899年的几何基础是形式公理学的奠基著作，它不但给出了欧氏几何的一个形式公理系统，而丛具体地解决了公理方法的一些逻辑理论问题。,David Hilbert 1826-1943,直觉主义逻辑,Luitzen Egbertus Jan Brouwer1881 1966布鲁维,塔尔斯基的语义学,在1931年，塔斯基(ATarski) 发表了论文形式语言中真概念,提出了形式系统真理论，开拓了逻辑语义学这一重要领域；塔尔斯基以
24、现代逻辑为手段，用逻辑分析和语义分析的方法，给出了“真”概念实质上适当、形式上正确的定义；提出了著名的语言层次论，创建了现代意义上的系统的语义学；1954年，塔斯基建立了模型论；塔尔斯基证明不可判定性的一般方法。,Alfred Tarski 1902-1983,哥德尔,1931年发表了一篇论文关于数学原理一书，证明数理逻辑的不完全定理。在数理逻辑发展史上具有划时代意义。哥德尔完全性定理哥德尔不完全性定理,Kurt Gdels 1906-1978,哥德尔定理,哥德尔利用一种所谓原始递归函数的工具所使用的符号与式子对应于自然数；推理过程，即式子到式子的变换，则对应于原始递归函数(它是数到数的变换）
25、；性质能够在自然数中反映出来，元定理也都可以表示为自然数论的定理。哥德尔不完全性定理如果公理包括有自然数理论为其一部分，那末可以找到一个式子A，使将只要该理论是不矛盾的，那末这个式子A及其否定(非A)都不能在该理论中推出。这个A便是所谓形式不可判定的语句。上述表明希尔伯特规划不可能实现。,Stephen Cole Kleene1909 - 1994哥德尔-克林尼提出一般递归函数,能行可计算性理论,一般递归函数艾尔伯朗哥德尔克林哥德尔大量使用了原始递归函数。原始巡归函数是能行可计算的证明论1936，坚钦(G.Gentzen)引用了一种超穷归纳法而证明了不加限制的自然数论的相容性。把整个理论、整个
26、系统作为研究对象。模型论主要是对各种数学理论系统建立模型，研究各模型之间的关系、模型与数学系统之间的关系等等。,Gerhard.Gentzen1909-1945,能行可计算的函数,一般递归函数作出一个形式系统，在其中利用代入及替换两个极有力的运算而能够计算该函数的值的，这个函数便叫做一船递归函数图灵机（A.M.Turing）演算（A.Church）函数、自变量、替换规则Church理论能行可计算的函数与一般递归函数、图灵机、 演算相同波斯特的符号处理系统,Alonso Church 1903-1995,Thoralf Albert Skolem1887 - 1963斯科伦在1921年，波斯特证
27、明了命题演算完全性,计算机理论基础,图灵机和可计算函数1936年，图灵24岁时发表一篇论文 论数字计算在判决难题中的应用，提出著名的“图灵机”的设想。这一思想奠定了现代计算机的基础。美国计算机协会在图灵去世12年后以他的名字命名了计算机领域的最高奖“图灵奖”。,艾伦图灵（19121954）,数理逻辑的主要内容,数理逻辑可分成五大部分逻辑演算公理集合论证明论递归函数论模型论公理集合论、证明论、递归函数论和模型论都以逻辑演算(命题演算和谓调演算)为基础。,为什么学习数理逻辑？,理论基础集合论、图论、代数系统、形式语言与自动机理论硬件基础数字逻辑、计算机组成原理软件基础软件证明、软件验证理论基础、硬
28、件基础和软件基础能否用数理逻辑方法建立？,理论基础集合论,策梅罗一弗兰克尔系统记为ZF系统外延性公理、无序对公理、空集公理、替换公理模式、分离公理模式、幂集公理、并集公理、无穷公理、正则公理ZFC系统ZF系统+选择公理。,理论基础图论,G=其中，V是顶点集合，E是边的集合。,理论基础群论（专用公理）,设G是一个非空集合，是它的个代数运算，如果满足以下条件： 结合律： xyz(xy)z=x(yz) 左单位元：x (xe=x)(ex=x) 左逆元： xy(xy = e)(yx = e) 则称G对代数运算，作成一个群。,理论基础形式语言与自动机理论,形式文法乔姆斯基文法形式语言正则语言上下文无关语言
29、上下文有关语言自动机理论有穷自动机下推自动机图灵机,硬件基础,数理逻辑建立逻辑描述的方法和能力，包括布尔逻辑及其变换、真值表的逻辑表示以及逻辑范式表示数字逻辑与数字部件设计数理逻辑是组合逻辑与时序逻辑原理基础基于MIPS指令集，设计寄存器、加法器、移位器、控制器、多路选择器、计数器、比较器计算机组成原理基于MIPS指令集，指令周期、数据通路、系统控制在部件设计基础上，实现计算机硬件系统设计,B,A,Y3,Y2,Y1,Y0,数字逻辑-地址译码器,硬件基础,建立数据通路设计控制逻辑,软件基础,基于公理证明系统描述是一组公式集合，规范是一个公式，证明 是否成立？基于模型检测系统描述逻辑模型M 表示，
30、规范是一个公式，检测M 是否成立？,软件基础,在1966年，G.Jaccopini和C.Bohm证明任何程序逻辑可用顺序、选择和循环等三种结构来表示软件规范： S 软件功能与结构功能：(x) (x,z)结构：i(x) i(x,z)=、if then else 、while,软件基础软件证明与验证,Hoare定义了一条赋值公理和四条推理规则：赋值公理：P(x, g(x,y)yg(x,y)P(x,y)条件规则:PRF1Q,PRF2QPif R then F1 elese F2 Q 或PRF1Q,PRF2QPif R do F1while规则PI,IRF1Q, (PR) QPwhile R do F
31、 Q并置规则PF1R, RF2QPF1; F2Q结论规则：PR, RFQPFQPFR, RQPFQ,软件基础软件测试定理, 是半可判定问题是软件形式表示软件测试错误如果 成立，则有算法建立证明序列A1,An， An= ，并且(1) Ai Ak(2) Ai；(3) 有j,ki,Ak=AjAi由Ak,Aj用MP规则推出。(4) 有ji,使Ai=xAj由用UG规则推出。,结论,数理逻辑是计算机专业的理论基础；集合论、图论、代数系统、形式语言与自动机理论数字逻辑、计算机组成原理软件证明、软件验证数理逻辑是重要的理论工具建立逻辑形式系统，严格地建立理论体系。数字逻辑、计算机组成系统设计软件验证、安全攸关软件设计,罗丹-思想者,
