1、2相似三角形的性质1掌握相似三角形的性质2能利用相似三角形的性质解决有关问题相似三角形的性质定理(1)相似三角形对应角_，对应边成_；(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于_；(3)相似三角形周长的比等于_；(4)相似三角形面积的比等于相似比的_；(5)相似三角形外接(内切)圆的直径比、周长比等于_，外接(内切)圆的面积比等于相似比的_【做一做 1】已知 ABC A B C， AB4， A B3，则 BC 和 B C上对应中线的比等于( )A B43 34C D无法确定169【做一做 2】已知 ABC A B C，且 ， BC2，则 B C等S ABCS A B C
2、14于( )A2 B4 C8 D16【做一做 3】已知 ABC A B C， ， ABC 外接圆的直径为 4，则ABA B 23A B C外接圆的直径等于( )A2 B3 C6 D9答案：(1)相等 比例 (2)相似比 (3)相似比 (4)平方 (5)相似比 平方【做一做 1】A 相似比为 ，则 BC 和 B C上中线的比等于相似比 .ABA B 43 43【做一做 2】B 2 ，S ABCS A B C ( BCB C ) 14 .BCB C 12又 BC2， B C2 BC4.【做一做 3】C 设 A B C和 ABC 外接圆的直径分别是 d， d，则 ， ， d6.dd A BAB d4
3、 32相似三角形性质和全等三角形性质的比较剖析：如下表所示全等三角形 相似三角形对应边相等 对应边成比例对应角相等 对应角相等对应中线相等 对应中线的比等于相似比对应角平分线相等 对应角平分线的比等于相似比对应高相等 对应高的比等于相似比周长相等 周长比等于相似比面积相等 面积比等于相似比的平方外接(内切)圆的直径相等外接(内切)圆的直径比等于相似比外接(内切)圆的周长相等外接(内切)圆的周长比等于相似比外接(内切)圆的面积相等外接(内切)圆的面积比等于相似比的平方题型一 等相似比问题【例题 1】已知 ABC A B C， ABC 的周长为 60 cm， A B C的周长为72 cm， AB1
4、5 cm， B C24 cm，求：(1) BC， A B；(2)AC， A C.分析：由相似三角形周长的比得到相似比，再利用相似比求解题型二 面积比问题【例题 2】如图所示， D， E 分别是 AC， AB 上的点， ， ABC 的面积为 100 AEAC ADAB 35cm2，求四边形 BCDE 的面积分析：由于四边形 BCDE 是不规则四边形，直接求其面积有困难，转化为求 ABC 与ADE 面积的差题型三 实际应用问题【例题 3】如图，一天早上，小张正向着教学楼 AB 走去，教学楼后面有一水塔 DC，可过了一会抬头一看：“怎么看不到水塔了？”小张心里很是纳闷经过了解，教学楼，水塔的高分别是
5、 20 米和 30 米，它们之间的距离为 30 米，小张身高为 1.6 米小张要想看到水塔，他与教学楼之间的距离至少应有多少米？分析：此题的解法很多，其关键是添加适当的辅助线，构造相似三角形，利用相似三角形的知识解题反思：此类问题是利用数学模型解实际问题，关键在于认真分析题意转化成数学问题，构造相似三角形求解答案：【例题 1】解： ABC A B C， .ABA B BCB C 6072 56(1) AB15 cm， ， A B18 cm.15A B 56 B C24 cm， ， BC20 cm.BC24 56(2) AB BC AC60 cm， AC60 AB BC60152025(cm)同
6、理可得 ，ACA C 56即 ，解得 A C30 cm.25A C 56【例题 2】解： ， A A，AEAC ADAB 35 ADE ABC， 2 .S ADES ABC (AEAC) 925又 S ABC100 cm 2， ， S ADE36 cm 2.S ADE100 925 S 四边形 BCDE S ABC S ADE1003664(cm 2)【例题 3】解：如图，设小张在 F 点与教学楼的距离为 x 米时，正好看到水塔连接 FD，由题意知，点 A 在 FD 上，过 F 作 FG CD 于 G，交 AB 于 H，则四边形 FEBH、四边形 BCGH 都是矩形， AB CD， AFH D
7、FG. AH DG FH FG，即(201.6)(301.6) x( x30)，解得 x55.2.经检验 x55.2 是所列方程的根故小张与教学楼的距离至少应有 55.2 米，才能看到水塔1 已知 ABC A B C， AD， A D分别是 ABC 和 A B C的角平分线，且 ，则 ABC 和 A B C的内切圆的直径的比等于( )ADA D 54A B C D45 59 94 542 已知 ABC A B C，且 AC 和 A C上对应高的比为 ，若 BC5 cm，则32B C_cm.3 一条河的两岸是平行的，在河的这一岸每隔 5 m 有一棵树，在河的对岸每隔 50 m 有一根电线杆，在这
8、岸离开岸边 25 m 处看对岸，看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有两棵树，则河的宽度为_m.4 如图， ABCD 中， AE EB12， AEF 的面积为 6，则 ADF 的面积为_5 如图所示，已知 D 是 ABC 中 AB 边上一点， DE BC 且交 AC 于 E， EF AB 且交 BC 于F，且 S ADE1， S EFC4，则四边形 BFED 的面积等于多少？答案：1D ABC 和 A B C对应角平分线的比等于它们内切圆直径的比，故选 D.2 ABC A B C，且相似比为 ， .103 32 BCB C 32又 BC5 cm， ， B C c
9、m.5B C 32 1033 如图所示， A， B 是相邻两电线杆的底部， F， G 中间还有两棵树，则7AB50 m， FG3515 m， EC25 m， CD AB， AB FG，则 .设河的宽度为 x m，ECFGDAB则 ，解得 ，251=+0x1753所以河的宽度是 m.418 AE DC， AE EB12， AEF CDF，且相似比 .EFFD AEDC AEAB AEAE EB 13又 AEF 的边 EF 上的高与 ADF 的边 DF 上的高相等， .S AEFS ADF EFFD 13又 S AEF6， S ADF18.5分析：本题由题意显然 ADE EFC，由面积比能得出相似比，再由相似比转化为面积比，求出整个 ABC 的面积，利用 S 四边形 BFED S ABC S ADE S EFC，得到四边形 BFED的面积解： AB EF， DE BC， ADE ABC， EFC ABC， ADE EFC.又 S ADE S EFC14， AE EC12. AE AC13. S ADE S ABC19. S ADE1， S ABC9. S 四边形 BFED S ABC S ADE S EFC9144.
