1、第三章,中值定理,应用,研究函数性质及曲线性态,利用导数解决实际问题,罗尔中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,微分中值定理,与导数的应用,暨南大学珠海学院基础部苏保河主讲,一、罗尔( Rolle )定理,第 一 节,二、拉格朗日中值定理,三、柯西(Cauchy)中值定理,中 值 定 理,第三章微分中值定理与导数的应用,暨南大学珠海学院基础部苏保河主讲,费马(fermat)引理,一、罗尔( Rolle )定理,暨南大学珠海学院苏保河主讲,费马(1601 1665),法国数学家,他是一位律师,数学,只是他的业余爱好.,他兴趣广泛,博,览群书并善于思考,在数学上有许多,重大贡献.,他提出,的费
2、马大定理:,至今尚未得到普遍的证明.,他还是微积分学的先驱 ,费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中,提炼出来的.,且,存在,证: 设,则,证毕,暨南大学珠海学院苏保河主讲,费马(fermat)引理,罗尔（Rolle）定理,满足:,(1) 在闭区间 a , b 上连续,(2) 在开区间 (a , b) 内可导,(3) f ( a ) = f ( b ),使,证,故在 a , b 上取得最大值,M 和最小值 m .,则在( a , b ) 内至少存在一点,暨南大学珠海学院苏保河主讲,(2)若 M m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等,不妨设,则至少存在一点,使,则由费马引理得,
3、暨南大学珠海学院苏保河主讲,(1)若 M = m , 则,因此,罗尔（Rolle）定理,满足:,(1) 在闭区间 a , b 上连续,(2) 在开区间 (a , b) 内可导,(3) f ( a ) = f ( b ),使,则在( a , b ) 内至少存在一点,定理条件不全具备, 结论不一定成立.,例如:,暨南大学珠海学院苏保河主讲,注意,罗尔（Rolle）定理,满足:,(1) 在闭区间 a , b 上连续,(2) 在开区间 (a , b) 内可导,(3) f ( a ) = f ( b ),使,则在( a , b ) 内至少存在一点,例1 证明,有且仅有一个小于1 的,正根.,证 1) 存
4、在性,则,在 0 , 1 上连续,且,由零点定理可知, 至少存在一点,使,即方程有小于 1 的正根,2) 唯一性,设另有,上满足罗尔定理条件,至少存在一点,但,矛盾,故假设不真,设,(用反证法),原方程仅有一个小于1 的正实根.,综合1) 2) 可知, 原方程有且仅有一个小于1 的正根.,二、拉格朗日中值定理,法国数学家.,他在方程论, 解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献,近百,余年来, 数学中的许多成就都直接或间,接地溯源于他的工作,他是对分析数学,产生全面影响的数学家之一.,暨南大学珠海学院苏保河主讲,拉格朗日中值定理：,(1)在闭区间 a , b 上连续,满足:,(2)在开区间(
5、a , b )内可导,则至少存在一点,使,思路 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数,令,显然 ,在 a , b 上连续 ,在 ( a , b ) 内可导,且,证,思路: 利用罗尔定理,由罗尔定理知至少存在一点,即定理结论成立 .,证毕,暨南大学珠海学院苏保河主讲,函数,在区间 1, 2 上满足拉格朗日定理,条件, 则中值,例2 填空题,暨南大学珠海学院苏保河主讲,注 拉格朗日中值定理的几何意义,例3 证明不等式,证 设,中值定理条件,即,因为,故,因此应有,暨南大学珠海学院苏保河主讲,若函数,在区间 I 上满足,则,在 I 上必为常数.,证 在 I 上任取两点,上满足拉格朗日中值定理的
6、条件,由 的任意性知,在 I 上为常数.,暨南大学珠海学院苏保河主讲,推论,因此至少存在,例4 证明等式,证,由推论可知,(常数),令 x = 0 , 得,经验,欲证,时,只需证在 I 上,暨南大学珠海学院苏保河主讲,故,三、柯西(Cauchy)中值定理,暨南大学珠海学院苏保河主讲,法国数学家,他对数学的贡献主要集中,在微积分学,柯,西全集共有 27 卷.,柯西是经典分析的奠基人之一,为分析学的发展,复变函数和微分方程方面 .,一生发表论文800余篇, 著书 7 本 ,做出了重大贡献.,柯西(Cauchy)中值定理：,证明思路: 用罗尔定理.,(1) 在闭区间 a , b 上连续,(2) 在开
7、区间 ( a , b ) 内可导,(3)在开区间 ( a , b ) 内,则至少存在一点,使,要证,暨南大学珠海学院苏保河主讲,证: 作辅助函数,且,使,即,由罗尔定理知, 至少存在一点,思考: 柯西定理的下述证法对吗 ?,两个 不一定相同,错!,上面两式相比即得结论.,暨南大学珠海学院苏保河主讲,柯西定理的几何意义:,注意:,切线斜率,暨南大学珠海学院苏保河主讲,例5 设,至少存在一点,使,证,设,则,在 0, 1 上满足柯西中值,定理条件,因此在 ( 0, 1 ) 内至少存在一点 ,使,即,证明,暨南大学珠海学院苏保河主讲, 思路 结论可变形为,例6* 试证至少存在一点,使,证:,法1 用
8、柯西中值定理 .,则 f (x) , F(x) 在 1 , e 上满足柯西中值定理条件,令,因此,即,分析:,暨南大学珠海学院苏保河主讲,例6* 试证至少存在一点,使,法2,则 f (x) 在 1 , e 上满足罗尔中值定理条件,使,因此, 至少存在一点,暨南大学珠海学院苏保河主讲,令,用罗尔定理.,内容小结,1. 微分中值定理的条件、结论及关系,罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,2. 微分中值定理的应用,(1) 证明恒等式,(2) 证明不等式,(3) 证明有关中值问题的结论,应用关键: 利用逆向思维设辅助函数,费马引理,暨南大学珠海学院苏保河主讲,作 业,P132 2; 4; 6;
9、7; 8; 10; 11(2); 12; 13*; 14*.,提示:,题14. 考虑,暨南大学珠海学院苏保河主讲,题13. 行列式,下次课内容：第二节 洛必达法则,课外题,求证存在,使,1. 设,可导，且,在,连续，,证：,因此至少存在,显然,在 上满足罗尔定理条件,即,设辅助函数,使得,暨南大学珠海学院苏保河主讲,设,证明对任意,有,证：,2.,不妨设,暨南大学珠海学院苏保河主讲,3. 若,可导, 试证在其两个零点间一定有,的零点.,提示:,设,欲证:,使,只要证,亦即,作辅助函数,验证,在,上满足,罗尔定理条件.,暨南大学珠海学院苏保河主讲,4. 设,且在,内可导, 证明至少存,在一点,使,提示:,由结论可知, 只需证,即,验证,在,上满足罗尔定理条件.,设,暨南大学珠海学院苏保河主讲,5*思考: 在,即,当,时,问是否可由此得出,不能 !,因为,是依赖于 x 的一个特殊的函数.,因此由上式得,表示 x 从右侧以任意方式趋于 0 .,应用拉格朗日中值定理得,上对函数,暨南大学珠海学院苏保河主讲,
