1、 一元微积分学 高等数学A 1 第十六讲微分中值定理 授课教师 彭亚新 第五章微分中值定理 本章学习要求 熟悉罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理和泰勒中值定理 并能较好运用上述定理解决有关问题 函数方程求解 不等式的证明等 掌握罗必塔法则并能熟练运用它计算有关的不定式极限 第一节微分中值定理 第五章微分中值定理 一 费马定理 二 罗尔中值定理 三 拉格朗日中值定理 四 柯西中值定理 我们常常需要从函数的导数所给出的局部的或 小范围 性质 推出其整体的或 大范围 性质 为此 我们需要建立函数的差商与函数的导数间的基本关系式 这些关系式称为 微分学中值定理 这些中值定理的创建要归功于费马
2、 拉格朗日 柯西等数学家 极值的定义 一 费马定理 可微函数在区间内部取极值的必要条件是函数在该点的导数值为零 定理 费马定理的几何解释 如何证明 则有 于是 极小值类似可证 证 但是 不保证在内部 水平的 可保证在内部一点取到极值 二 罗尔中值定理 设 则至少存在一点 定理 实际上 切线与弦线AB平行 最小值至少各一次 证 最小值至少各一次 由费马定理可知 证 其中 综上所述 连续 可微 端点函数值相等 证 由罗尔定理 至少存在一点 分析问题的条件 作出辅助函数是证明的关键 且满足罗尔定理其它条件 证 想想 看能不能找到证明的方法 证 则由已知条件可知 该矛盾说明命题为真 证 证 三 拉格朗日中值定理 设 则至少存在一点 定理 切线与弦线AB平行 如何利用罗尔定理来证明 则由已知条件可得 故由罗尔定理 至少存在一点 证 还有什么
