1、二、 两个重要极限,一、夹逼准则和单调有界原理,第四节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,极限存在准则及,两个重要极限,第二章,定理1.,且,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、2个准则1、夹逼准则,数列的夹逼准则,例1,求下列数列的极限：,解,(1) 由于,因此,注意到,由夹逼定理可得,(2) 注意到,2. 单调有界数列必有极限 ( 准则2 ),( 证明略 ),机动 目录 上页 下页 返回 结束,如数列,由准则 知,及,分别是单调减少且下界,为1及单调增加且上界为1的数列,存在. 实际上,圆扇形AOB的面积,二、 两个重要极限,证: 当,即,亦即,时，,显然有,AOB 的面积,AOD的
2、面积,故有,注,注 目录 上页 下页 返回 结束,当,时,注,利用变量替换可导出上述极限的一般形式：,例3. 求,解:,例4. 求,解: 令,则,因此,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5. 求,解: 原式 =,说明: 由变量替换原理知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,先证数列的情形：,证明数列,极限存在 .,证: 利用二项式公式 , 有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.,大,大,正,又,比较可知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,根据准则 2 可知数列,有极限 .,原题 目录 上页 下页 返回 结束,又,注:这个极限值被瑞士数学家欧拉首先用字母e(是一个无理数, 其值
3、用e = 2.7182818284)来表示, 即,证: 当,时, 设,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,再证,当,则,易证得,故,说明: 此极限也可写为,时, 令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如,若 lim (x) = 0 , lim g(x) = 且 lim (x)g(x) = m, 则,为使计算简化, 我们给出(不证明)上面公式的一个对“1” 型非常适用的结论:,利用变量替换可以导出上述极限的一般形式:,例6. 求,解: 令,则,说明 ：若利用,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,原式,例7.求下列极限,例8. 求,解: 原式 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3、两个重要极限,或,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1、 数列（函数）极限存在的夹逼准则,2、数列的单调有界原理,思考与练习,填空题 ( 14 ),第七节 目录 上页 下页 返回 结束,
