1、cos abab一、知识回顾 1.用向量法求角 1 2 1 22 2 2 21 1 2 2x x y yx y x y2.用向量法处理垂直 3.用向量法处理平行 4.用向量法处理向量的模： 22aa设向量 22( , )b x y与 的夹角为 11( , )a x y0a b a b 1 2 1 2 0x x y y 0)a b b a b （ 有 且 只 有 一 个 实 数 ， 使 得1 2 2 1 0x y x y 二、基础应用 解： b a b由 ， 得 2 2 2 22b a b a a b b 22 a b a2 2 2 2 2 22 2 3a b a a b b a a a 3a
2、b aa a b 的夹角。 求 与 b a b a且 是非零向量 ， a b与 例 1.已知 a a b 的夹角为 设 与 ()c o sa a ba a b23a a baa22123aaaa32ba =（ -3， 2） 例 2.已知 =（ 1， 2） ， ， k为何值时 : (1) k a b 与 3ab 垂直？ =(K-3,2k+2) 解： k a b =k(1,2)+(-3,2) （ 1） 3ab =(1,2)-3(-3,2) =(10,4) 3k a b a b ( ) ( 3 ) 0k a b a b 得： 10(k-3)-4(2k+2)=0 解得 : K=9. K=9时 k a
3、b 与 3ab 垂直。 （ 2） k a b 与 3ab 平行？ ba =（ -3， 2） 例 2.已知 =（ 1， 2） ， ， k为何值时 : (1) k a b 与 3ab 垂直？ 解： 10(2k+2)+4(k-3)=0. 由题意得： 解得： 13k 13k k a b 与 3ab 平行 时 1 ( 3 )3k a b a b 此时 k a b 与 3ab 反向 . 平行时，它们是同向还是反向？ 三、向量在代数中的应用 ,ab求证：对于任意向量 及常数 ,mn恒有 ( ) ( ) ( )f m a nb m f a nf b 的对应关系记作 ()v f u( , )u x y与 ( ,
4、 2 )v x y x已知向量 例 3. 1 1 2 2( , ) , ( , )a x y b x y证明： 设 1 2 1 2( , )m a n b m x n x m y n y 1 2 1 2 1 2( ) ( , 2 2 )f m a n b m x n x m y n y m x n x 1 1 1( ) ( , 2 )m f a m x m y m x2 2 2( ) ( , 2 )n f b n x n y n x( ) ( ) ( )f m a nb m f a nf b 例 4 已知 13( 3 , 1 ) , ( , ) ,22ab 且存在实数 k和 t, 使得： 2(
5、 3 ) ,x a t b ,y k a t b且 ,xy 求： 2ktt 的最大值。 解： 223 3 ( 3 )( 3 , 1 )22ttx 13( 3 , )22y t k t 由 ,xy及其充要条件可得： 2( 3 )4ttk 2234k t t tt 217( 2 )44t 2t 当 时， 2ktt取最大值 74。 且 ,ab变式： 已知向量 ( c os , sin ) ,a ( c os , sin ) ,b 满足关系 3,k a b a k b 为正实数） k（ （ 1）求将 的数量积表示为关于 k 的函数 ()fka 与 b()fk（ 2）求函数 的最小值及取得最小值时 的夹
6、角 a 与 b例 4 已知 13( 3 , 1 ) , ( , ) ,22ab 且存在实数 k和 t, 使得： 2( 3 ) ,x a t b ,y k a t b且 ,xy 求： 2ktt 的最大值。 四、向量在平面解析几何中的应用 后与圆 22 5xy 相切，则 c的值是（ ） 若直线 20x y c 例 5. 按向量 (1 , 1 )a 平移 （ A)8或 -2, （ B)6或 -4, （ C)4或 -6, （ D)2或 -8 解析： A 平移后的直线方程为： 2 3 0x y c 由 dr 得 3 5,5c 得 c=8或 -2 1222 1xy相交于 A,B两点，且 3,AB 则 _O A O B 已知直线 0ax by c 与圆 o 变式：
