1、1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理,教学目标,（1）理解分类计数原理与分步计数原理（2）会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题 教学重点：（1）理解分类计数原理与分步计数原理（2）会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题,点评: 解题的关键是从总体上看做这件事情是“分类完成”,还是“分步完成”。“分类完成”用“分类记数原理”;“分步完成”用“分步记数原理”。,例 3. 一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字,这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码(各位上的数字允许重复)？首位数字不为0的号码数是多少？首位数字是0的号码数又是多少？,分析: 按号码位数,从左到右依次
2、设置第一位、第二位、第三 位,第四位、需分为 四步完成; 第一步, m1 = 10; 第二步, m2 = 10; 第三步, m2 = 10，第 四步 ， m4 = 10. 根据分步记数原理, 共可以设置N = 101010 10 = 104种四位数的号码。,答:首位数字不为0的号码数是N =91010 10 = 9103 种, 首位数字是0的号码数是 N = 11010 10 = 103 种。 由此可以看出, 首位数字不为0的号码数与首位数字是0的号 码数之和等于号码总数。,例 3. 一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字,这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码(各位上的数字
3、允许重复)？首位数字不为0的号码数是多少？首位数字是0的号码数又是多少？,问: 若设置四个、五个、六个、十个等号码盘,号码数分别有多少种？,答:它们的号码种数依次是 104 , 105, 106, 种。,点评: 分类记数原理中的“分类”要全面, 不能遗漏; 但也不能重复、交叉;“类”与“类之间是并列的、互斥的、独立的,也就是说,完成一件事情,每次只能选择其中的一类办法中的某一种方法。若完成某件事情有n类办法, 即它们两两的交为空集,n类的并为全集。,分步记数原理中的“分步”程序要正确。“步”与“步”之间是连续的,不间 断的,缺一不可;但也不能重复、交叉;若完成某件事情需n步, 则必须且只需依次
4、完成这n个步骤后,这件事情才算完成。,在运用“分类记数原理、分步记数原理”处理具体应用题时,除要弄清是“分类”还是“分步”外,还要搞清楚“分类”或“分步”的具体标准。在“分类”或“分步”过程中,标准必须一致,才能保证不重复、不遗漏。, 课堂练习 1 .如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？, 课堂练习 1 .如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？,解: 按地图A、B、C、D四个区域依次
5、分四步完成, 第一步, m1 = 3 种, 第二步, m2 = 2 种, 第三步, m3 = 1 种, 第四步, m4 = 1 种,所以根据分步记数原理, 得到不同的涂色方案种数共有 N = 3 2 11 = 6 种。, 课堂练习 1 .如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？,问: 若用2色、3色、4色、5色等,结果又怎样呢？,答:它们的涂色方案种数分别是 0, 4322 = 48, 5433 = 180种等。,2.如图,该电路,从A到B共有多少条不同的线路可通电？,解: 从总体上看由A到
6、B的通电线路可分三类, 第一类, m1 = 3 条 第二类, m2 = 1 条 第三类, m3 = 22 = 4, 条 所以, 根据分类记数原理, 从A到 B共有 N = 3 + 1 + 4 = 8 条不同的线路可通电。,当然,也可以把并联的4个看成一类,这样也可分2类求解。,m2,m2,点评: 我们可以把分类记数原理看成“并联电路”;分步记数原理看成“串联电路”。如图:,3.如图,一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？,解:如图,从总体上看,如,蚂蚁从顶点A爬到顶点C1有三类方法,从局部上看每类又需两步完成,所以, 第一类, m1 = 12 = 2 条
7、第二类, m2 = 12 = 2 条 第三类, m3 = 12 = 2 条 所以, 根据分类记数原理, 从顶点A到顶点C1最近路线共有 N = 2 + 2 + 2 = 6 条。,练习4.如图,从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条路可通;从甲地到丁地有4条路可通, 从丁地到丙地有2条路可通。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？,解:从总体上看,由甲到丙有两类不同的走法, 第一类, 由甲经乙去丙,又需分两步, 所以 m1 = 23 = 6 种不同的走法; 第二类, 由甲经丁去丙,也需分两步, 所以 m2 = 42 = 8 种不同的走法; 所以从甲地到丙地共有 N = 6 + 8 = 14 种
8、不同的走法。, 小结：,1. 本节课学习了那些主要内容？,答:分类记数原理和分步记数原理。,2.分类记数原理和分步记数原理的共同点是什么？ 不同点什么？,答: 共同点是, 它们都是研究完成一件事情, 共有多少种不 同的方法。 不同点是, 它们研究完成一件事情的方式不同,分类记 数原理是“分类完成”, 即任何一类办法中的任何一个方法都能完成这件事。分步记数原理是“分步完成”, 即这些方法需要分步,各个步骤顺次相依,且每一步都完成了,才能完成这件事情。这也是本节课的重点。,3. 何时用分类记数原理、分步记数原理呢?,答:完成一件事情有n类方法,若每一类方法中的任何一种方法均能将这件事情从头至尾完成,则计算完成这件事情的方法总数用分类记数原理。 完成一件事情有n个步骤,若每一步的任何一种方法只能完成这件事的一部分,并且必须且只需完成互相独立的这n步后,才能完成这件事,则计算完成这件事的方法总数用分步记数原理。, 小结：, 结束语,两大原理妙无穷, 布置作业:,茫茫数理此中求;,万万千千说不尽,运用解题任驰骋。,再见,
