1、2.1.4函数的奇偶性 课件,y=x2,-x,x,当x1=1, x2= -1时，f(-1)=f(1),当x1=2, x2= -2时，f(-2)=f(2),对任意x，f(-x)=f(x),当x1=1, x2= -1时，f(-1)= -f(1),对任意x，f(-x)= -f(x),-x,x,偶函数定义：如果对于函数定义域内的任意一个x ,都有f(-x）=f(x)。那么f(x)就叫偶函数。,奇函数定义：如果对于函数定义域内的任意一个x ,都有f(-x）=-f(x)。那么f(x)就叫奇函数。,例1、判断下列函数的奇偶性,（3）,解：(1) 因为f(-x)=2x= -f(x) ,所 以f(x)是奇函数。
2、因为 f(-x)=|-x|-2=|x|-2=f(x) ,所以f(x)是偶函数。 因为,是偶函数。,（1）,（2）,判断奇偶性，只需验证f(x)与f(-x)之间的关系。,（5）,（6）,（4）,定义域关于原 点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件。,故f(2)不存在，所以就谈不上与f(-2)相等了，由于任意性受破坏。所以它没有奇偶性。,解：（4）,（5）函数的定义域为-2,2),故f(2)不存在，同上可知函数没有奇偶性。,（6）,故函数没有奇偶性。,思考：,在刚才的几个函数中有的是奇函数不是偶函数，有的是偶函数不是奇函数，也有既不是奇函数也不是偶函数的。那么有没有这样的函数，它既是奇函数又是偶
3、函数呢？,f(x)=0,是不是具备这样性质的函数解析式只能写成这样呢？,例2、已知函数f(x)既是奇函数又是偶函数。求证：f(x)=0,证明：因为 f(x)既是奇函数又是偶函数所以 f(-x)=f(x),且f(-x)= -f(x)所以 f(x)= -f(x)所以 2f(x)=0即 f(x)=0.,这样的函数有多少个呢？,函数按是否有奇偶性可分为四类：,奇函数偶函数既是奇函数又是偶函数既不是奇函数又不是偶函数,例3、判断下列函数的奇偶性,1、解：当b=0时，f(x)为奇函数，当b 0时，f(x)既不是奇函数，也不是偶函数。,2、解：当a=0时，f(x)既是奇函数又是偶函数，当a 0时，f(x)是偶函数。,小结：,奇偶性的概念判断奇偶性的步骤判断奇偶性时要注意的问题,
