1、教学教法分析,课前自主导学,当堂双基达标,思想方法技巧,课后知能检测,课堂互动探究,教师备选资源,13.2利用导数研究函数的极值,三维目标1知识与技能(1)结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；(2)理解函数极值的概念，会用导数求函数的极值与最值,2过程与方法结合实例，借助函数图形直观感知，并探索函数的极值与导数的关系3情感、态度与价值观感受导数在研究函数性质中的一般性和有效性，通过学习让学生体会极值是函数的局部性质，增强学生数形结合的思维意识,重点难点重点：利用导数求函数的极值、最值难点：函数在某点取得极值的必要条件与充分条件,【问题导思】1从远处看大山，一个个山头此
2、起彼伏，山峰与山谷彼此相邻，如果这样的美景在数学中可看作函数的图象，那么一个个山峰和山谷又称作什么呢？【提示】极大值和极小值,2导数为0的点一定是极值点吗？【提示】不一定如f(x)x3，尽管f(x)3x20得出x0，但f(x)在R上是递增的，不满足在x0的左右两侧符号相反，故x0不是f(x)x3的极值点,极值点或极值概念,f(x)f(x0),极大值点和极小值点,y极大f(x0),y极小f(x0),【问题导思】1极大值一定比极小值大吗？【提示】极大值与极小值之间无确定的大小关系在某一点的极小值也可能大于另一点的极大值如图所示f(a)为极大值，f(d)为极小值，但f(a)f(d),2函数的极值与单
3、调性有什么联系？【提示】极值点两侧单调性必须相反，欲研究函数的极值，需先研究函数的单调性,求可导函数yf(x)的极值的步骤(1)求导数f(x)；(2)求方程的所有实数根；(3)考察在每个根x0附近，_，导函数f(x)的符号如何变化,f(x)0,从左到右,【问题导思】如图137所示为yf(x)，xa，b的图象,1结合图象判断，函数yf(x)在区间a，b上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？【提示】存在，f(x)minf(a)，f(x)maxf(x3)2函数yf(x)在a，b上的最大(小)值一定是某极值吗？【提示】不一定，也可能是区间端点的函数值 3怎样确定函数f(x)在a，b上的最小值和
4、最大值？【提示】比较极值与区间端点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值,函数f(x)在闭区间a，b上的最值假设函数yf(x)在闭区间a，b上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在a，b一定能够取得和，若函数在a，b内是可导的，该函数的最值必在极值点或区间端点取得,最大值,最小值,【思路探究】求导数f(x)解方程f(x)0判断使f(x)0的点x左，右两侧的符号利用极值定义求对应点处的极值画草图,【自主解答】(1)y6x(x21)26x(x1)2(x1)2.令y0解得x11，x20，x31.当x变化时，y，y的变化情况如下表：,当x0时，y有极小值且y极小值0；无极大值函数的草图如图所示：,
5、用导数研究函数的极值的步骤及应对策略：(1)求定义域，并求导数f(x)；(2)解方程f(x)0；(3)列出表格，在判断f(x)的符号时，可借助决定导函数符号的图象直观解决；也可判断导函数中各因式的符号；还可用特值法判断，要灵活、快速准确；(4)由表格获得结论，实质上表格反映的就是函数的草图，下结论时应注意“极值”和“极值点”的区别,(2013福建高考)设函数f(x)的定义域为R，x0(x00)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是()AxR，f(x)f(x0)Bx0是f(x)的极小值点Cx0是f(x)的极小值点Dx0是f(x)的极小值点,【解析】不妨取函数为f(x)x33x，则f(x)3(
6、x1)(x1)，易判断x01为f(x)的极大值点，但显然f(x0)不是最大值，故排除A.因为f(x)x33x，f(x)3(x1)(x1)，易知，x01为f(x)的极大值点，故排除B；又f(x)x33x，f(x)3(x1)(x1)，易知，x01为f(x)的极大值点，故排除C；,f(x)的图象与f(x)的图象关于原点对称，由函数图象的对称性可得x0应为函数f(x)的极小值点故D正确【答案】D,(1)若函数f(x)x3ax2bxa2在x1处取得极值10.则a_，b_(2)函数f(x)x2aln(1x)有两个极值点x1，x2，且x10得x1或x0，由f(x)0得0x1.x0时，f(x)有极大值，f(0
7、)6，a6.,(2)对f(x)x3ax求导得f(x)3x2a.由题设条件知f(x)0有两个不等的实数根，a0.【答案】(1)6(2)(，0),求下列各函数的最值：(1)f(x)x42x23，x3，2；(2)f(x)x33x26x2，x1，1,【自主解答】(1)f(x)4x34x，令f(x)4x(x1)(x1)0，得x1，x0，x1.当x变化时，f(x)及f(x)的变化情况如下表：,当x3时，f(x)取最小值60；当x1或x1时，f(x)取最大值4.(2)f(x)3x26x63(x22x2)3(x1)23，f(x)在1，1内恒大于0，f(x)在1，1上为增函数故x1时，f(x)最小值12；x1时
8、，f(x)最大值2.即f(x)的最小值为12，最大值为2.,求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点：(1)对函数进行准确求导，并检验f(x)0的根是否在给定区间内；(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值；(3)比较极值与端点函数值大小，确定最值,把本例(1)中“x3，2”改为“x0，2”，求相应问题【解】由f(x)0得，x11(舍去)，x20，x31，当x变化时，f(x)及f(x)的变化情况如下表：,当x1时，f(x)取得最大值4；当x2时，f(x)取得最小值5.,所以f(2)2c为最大值，要使f(x)f(2)2c，得c2.c的取值范围是(，1)(2，),1涉及到不等式恒成立、不
9、等式能成立的问题时，一般需转化为函数最值来解决若不等式中含参数，则可考虑分离参数，以求避免分类讨论2不等式恒成立、能成立常见的转化策略：af(x)恒成立af(x)max，af(x)恒成立a0)(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)0)，当xt时，f(x)取最小值f(t)t3t1，即h(t)t3t1.,(2)令g(t)h(t)(2tm)t33t1m，由g(t)3t230得t1或t1(不合题意，舍去)当t变化时，g(t)，g(t)的变化情况如下表：,g(t)在(0，2)内有最大值g(1)1m.h(t)2tm在(0，2)内恒成立等价于g(t)0在(0，2)内恒成立，即等价于1m0，求函数
10、yf(x)在区间(a1，a1)内的极值,【思路点拨】(1)根据函数f(x)的图象过定点和函数g(x)是偶函数求m，n的值，再利用导数求函数f(x)的单调区间(2)先求函数f(x)在R上的极值，再根据区间(a1，a1)内是否含有极值点讨论函数f(x)的极值情况【规范解答】由函数f(x)的图象过点(1，6)，得mn3.由f(x)x3mx2nx2，得f(x)3x22mxn，所以g(x)f(x)6x3x2(2m6)xn.,由f(x)0，得0x2，所以f(x)的单调递减区间是(0，2).6分,(2)由(1)得f(x)3x(x2)，令f(x)0，得x0或x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表
11、：,8分由此可得：当0a1时，f(x)在(a1，a1)内有极大值f(0)2，无极小值；,当a1时，f(x)在(a1，a1)内无极值；当1a3时，f(x)在(a1，a1)内有极小值f(2)6，无极大值；当a3时，f(x)在(a1，a1)内无极值综上可得，当0a1时，f(x)有极大值2，无极小值；当1a1.f(x)maxe22ee(e2)，故选D.【答案】D,【答案】2,(2) 由(1)知f(x)x24(x2)(x2)令f(x)0，得x2或x2.,当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,课后知能检测 点击图标进入,已知aR，函数f(x)x2(xa)(1)当a3时，求f(x)的极值；(2)
12、求函数yf(x)在区间1，2上的最小值【思路探究】解答本题先求出函数的导数，画出图表，求出函数的极值，再结合函数的单调性、函数的定义域、函数取极值点对字母a进行分类讨论求解,【自主解答】(1)由题意f(x)x2(x3)，f(x)3x26x，令f(x)3x26x0，解得x0或x2；当x变化时，f(x)，f(x)变化情况如下表：,所以f(x)的极大值是f(0)0，极小值是f(2)4.,函数最值问题是函数单调性和函数极值问题的综合，一般在求解函数最值问题时需要进行分类讨论分类的标准，一是看极值点的位置，二是看端点值，即最值是函数在指定区间内的极值和端点值中的最大值和最小值,已知函数f(x)ax21(a0)，g(x)x3bx.(1)若曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a24b时，求函数f(x)g(x)的单调区间，并求其在区间(，1上的最大值【解】(1)f(x)2ax，g(x)3x2b，因为曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1)g(1)，且f(1)g(1),即a11b，且2a3b.解得a3，b3.,a0时，h(x)与h(x)的变化情况如下表：,
