1、22.2反证法,第二章 推理与证明,学习导航,第二章 推理与证明,1反证法假设原命题_ (即在原命题的条件下,结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明_错误，从而证明了_成立，这种证明方法叫做反证法2反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件、公理、定义、定理及明显成立的事实矛盾或自相矛盾等,不成立,假设,原命题,1判断：(正确的打“”，错误的打“”)(1)反证法属于间接证明问题的方法()(2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是演绎推理()(3)反证法的实质是否定结论导出矛盾()2应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用(
2、)结论的否定，即假设；原命题的条件；公理、定理、定义等；原命题的结论A BC D,C,3如果两个实数之和为正数，则这两个数()A一个是正数，一个是负数B两个都是正数C至少有一个数是正数D两个都是负数4用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”，正确的假设是_,C,三角形的内角中至少有两个钝角,用反证法证明否(肯)定式命题,(2014中山高二检测)设函数f(x)ax2bxc(a0)中a,b,c均为整数,且f(0)，f(1)均为奇数,求证：f(x)0无整数根证明假设f(x)0有整数根n，则an2bnc0(nZ)因为f(0)，f(1)均为奇数，且f(0)c，f(1)abc，所以c为奇数，ab为
3、偶数即a，b，c同时为奇数或a，b为偶数，c为奇数(1)当n为奇数时，an2bn为偶数(2)当n为偶数时，an2bn也是偶数，即an2bnc为奇数，这与an2bnc0矛盾所以假设不成立，所以f(x)0无整数根,用反证法证明唯一性命题,已知：点P在直线a外求证：过点P与直线a平行的直线有且只有一条,证明点P在直线a外，点P和直线a确定一个平面，设该平面为，在平面内，过点P作直线b，使得ba，则过点P有一条直线与a平行假设过点P还有一条直线c与a平行，ab，ac，bc，这与b，c相交于点P矛盾，故假设不成立故过点P与直线a平行的直线有且只有一条,方法归纳用反证法证明唯一性命题的适用类型(1)当证明
4、结论是“有且只有”“只有一个”“唯一”等形式的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证明唯一性比较简单(2)证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个方面，即存在性问题和唯一性问题,2证明方程2x3有且只有一个根证明：2x3，xlog23，这说明方程有一个根下面用反证法证明方程2x3的根是唯一的假设方程2x3有两个根为b1，b2(b1b2)即2b13,2b23，两式相除得2b1b21.如果b1b20，则2b1b21，这与2b1b21相矛盾；如果b1b20，则2b1b21，这与2b1b21相矛盾；如果b1b20，则b1b2，这与b1b2相矛盾如果方程2x3的根多于两个，同样可以推出矛盾故2
5、x3有且只有一个根,用反证法证明“至多”或“至少”类命题,方法归纳(1)对于结论中含有“至多”“至少”等词语的命题，若直接从条件推证，解题方向不明确，过程不可推测，不易证明，则可考虑用反证法证明(2)注意“至少有一个”“至多有一个”“都是”的否定形式分别为“一个也没有”“至少有两个”“不都是”,3已知函数yf(x)在区间(a，b)上是增函数求证：函数yf(x)在区间(a，b)上至多有一个零点,证明:假设函数yf(x)在区间(a，b)上至少有两个零点,设x1，x2(x1x2)为函数yf(x)在区间(a，b)上的两个零点，且x1x2，则f(x1)f(x2)0.因为函数yf(x)在区间(a，b)上为
6、增函数，x1，x2(a，b)且x1x2,f(x1)f(x2)与f(x1)f(x2)0矛盾，假设不成立，故原命题正确,求证：当x2bxc20有两个不相等的非零实数根时bc0.证明假设bc0，则有以下三种可能：若b0，c0，方程变为x20，x1x20是方程x2bxc20的根，这与已知方程有两个不相等的非零实数根矛盾；若b0，c0，方程变为x2c20,但当c0时，x2c20与x2c20矛盾；若b0，c0，方程变为x2bx0，方程的根为x10，x2b，这与已知条件方程有两个非零实数根矛盾综上所述，bc0.,感悟提高1.本题在证明中利用了分类讨论思想，由bc0时知b，c的三种情况，对这三种情况分别找出相矛盾结论2用反证法证明问题时要注意以下三点：(1)必须先否定结论,即肯定结论的反面,当结论的反面呈现多样性时,必须罗列出各种可能性结论,缺少任何一种可能,反证都是不完全的(2)反证法必须从否定结论进行推理,即应把结论的反面作为条件,且必须根据这一条件进行推证:否则,仅否定结论,不从结论的反面出发进行推理,就不是反证法(3)推导出的矛盾可能多种多样,有的与已知矛盾,有的与假设矛盾,有的与事实矛盾等，但推导出的矛盾必须是明显的,本部分内容讲解结束,按ESC键退出全屏播放,
