1、1.5.3定积分的概念,1.定积分的概念与几何意义(1)定积分的概念：一般地，设函数f(x)在区间a，b上连续，用分点a=x0x1xi-1xixn=b将区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间xi-1，xi上任取一点i(i=1，2，n)，作和式 =_，,当n时，上述和式无限接近某个_，这个_叫做函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作_，即 f(x)dx=_，这里，a与b分别叫做积分下限与_，区间a，b叫做积分区间，函数f(x)叫做_，x叫做_，f(x)dx叫做被积式.,常数,常数,积分上限,被积函数,积分变量,(2)定积分的几何意义：如果在区间a，b上函数连续且恒有_，那么定积分 f(x)d
2、x表示由直线x=a，x=b(ab)，_和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积(如图中的阴影部分的面积).,f(x)0,y=0,2.定积分的性质(1) kf(x)dx= _(k为常数).(2) f1(x)f2(x)dx=_.(3) f(x)dx= f(x)dx+ _(其中acb).,1判一判 (正确的打“”，错误的打“”)(1) f(x)dx= f(t)dt.( )(2) f(x)dx的值一定是一个正数.( )(3) (x2+2x)dx= x2dx+ 2xdx.( ),【解析】1.(1)正确.由定积分的定义知 f(x)dx= f(t)dt.(2)错误.当f(x)0时，定积分 f(x)dx等于图
3、形面积的相反数，可以是负值.(3)正确.由定积分的性质(2)，在公共的积分区间上，两个函数的和函数的定积分等于两个函数的定积分的和.答案：(1) (2) (3),2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)由y=0，y=cos x，x=0，x= 围成的图形的面积用定积分的形式表示为_.(2) f(x)dx= f(x)dx+_.(3) 2xdx_ 2xdx.(填“”“=”或“”).,【解析】(1)由定积分的定义知y=0，y=cos x，x=0，x= 围成的图形的面积S= cos xdx.答案： cos xdx(2)由定积分的几何意义知， f(x)dx= f(x)dx+ f(x)dx.答案： f(
4、x)dx(3)由定积分的几何意义知， 2xdx 2xdx.答案：,【要点探究】知识点1 定积分的概念与几何意义1.对定积分概念与几何意义的三点说明(1)定积分的概念是对“分割、近似代替、求和、取极限”这四个步骤的高度概括，其中包含着重要的数学思想方法“以直代曲”，只有理解了定积分的定义过程，才能掌握定积分的计算与应用.,(2)定积分 f(x)dx 是一个常数实数，一般情况下，被积函数y=f(x)的图象可以在x 轴的上方，也可以在x 轴的下方，在积分区间a，b上，只有y=f(x)0(图象不在x 轴的下方)时， f(x)dx才等于曲边梯形的面积，也就是说，在积分区间a，b上，当y=f(x)0(图象
5、在x 轴的下方时， f(x)dx0，- f(x)dx等于曲边梯形的面积，这是对定积分的几何意义的全面理解.,(3)对于具有公共区间a，b上的两个函数，若上界函数为f1(x)，下界函数为f2(x)，则直线x=a，x=b 与曲线y=f1(x)，y=f2(x)围成平面图形的面积为S= f1(x)-f2(x)dx.,2.利用定积分的几何意义求定积分的关注点(1)当f(x)0时， f(x)dx等于由直线x=a，x=b，y=0与曲线y=f(x)围成曲边梯形的面积，这是定积分的几何意义.(2)计算 f(x)dx时，先明确积分区间a，b，从而确定曲边梯形的三条直边x=a，x=b，y=0，再明确被积函数f(x)
6、，从而确定曲边梯形的曲边，这样就可以通过求曲边梯形的面积S而得到定积分的值：当f(x)0时， f(x)dx=S；当f(x)0时， f(x)dx=-S.,【微思考】(1)不规则的图形如何求面积?提示：常用分割法，将其分割为规则图形，再求面积.(2)定积分是否一定表示图形面积?说明理由.提示：定积分 f(x)dx不一定表示面积，因为 f(x)dx可能为负值，此时面积为- f(x)dx.,【即时练】1. xdx的值为()A.1B.C.2D.-22.直线y=0，x=1，x=2，曲线y= 围成的曲边梯形的面积用定积分表示为_.,【解析】1.选C.由定积分的几何意义知： xdx等于直线x=0，x=2，y=
7、0，y=x围成的三角形面积，S= 22=2，所以 xdx=2.2.由直线y=0，x=1，x=2，曲线y= 围成曲边梯形可知，积分区间为1，2，被积函数为y= ，所以曲边梯形的面积用定积分表示为答案：,知识点2 定积分的性质1.对定积分的性质的说明定积分的性质(1)，(2)称为定积分的线性运算，定积分的性质(3)称为区间的连续可加性，定积分的性质可以推广为： f1(x)f2(x)fm(x)dx= f1(x)dx f2(x)dx fm(x)dx(mN*). f(x)dx= f(x)dx+ f(x)dx+ f(x)dx(ac1c2ckb，且kN*).,2.求定积分时常用的策略(1)分段函数求定积分：
8、分段函数求定积分，可先把每一段函数的定积分求出后再相加.(2)奇、偶函数在区间a，b上的定积分：若奇函数y=f(x)的图象在-a，a上连续，则 f(x)dx=0；若偶函数y=g(x)的图象在-a，a上连续，则 g(x)dx=2 g(x)dx.,【微思考】(1)定积分 (x2+x+1)dx与 x2dx， (x+1)dx有什么关系?提示： (x2+x+1)dx= x2dx+ (x+1)dx.(2)定积分 (3x+1)dx与 (3x+1)dx， (3x+1)dx有何关系?提示： (3x+1)dx= (3x+1)dx+ (3x+1)dx.,【即时练】1.已知 f(x)dx=8，则()A. f(x)dx
9、=4B. f(x)dx=4C. f(x)dx+ f(x)dx=8D.以上答案都不对2.若 f(x)dx=1， g(x)dx=5，则 f(x)+g(x)dx=_.,【解析】1.选C.由定积分的运算性质知： f(x)dx= f(x)dx+ f(x)dx=8.2.由定积分的运算性质知： f(x)+g(x)dx= f(x)dx+ g(x)dx=1+5=6.答案：6,【题型示范】类型一 利用定义求定积分【典例1】(1) 可化为( )A. ln2xdx B.2 ln xdxC.2 ln(x+1)dx D. ln2(x+1)dx(2)利用定积分的定义求 (x2+2)dx的值.,【解题探究】1.在题(1)中，
10、 与 有何关系？2.定积分与曲边梯形的面积求解步骤有什么关系？【探究提示】1.由对数运算法则知，2.定积分概括了求曲边梯形面积的四个步骤(1)分割.(2)近似代替.(3)求和.(4)取极限.,【自主解答】(1)选B.因为=,(2)把区间0，1分成n等份，分别为0， ， ， ， ，小区间的长度为x= ，取i= (i=1，2，n)，作和因为x= ，当n时，x0，,所以 (x2+2)dx=,【延伸探究】若题(2)的积分区间变为-1，1，其余不变，如何计算定积分 (x2+2)dx？【解析】由于在-1，1上曲线y=x2+2关于y轴对称，根据定积分的意义， (x2+2)dx=2 (x2+2)dx=,【方法
11、技巧】利用定义求定积分的步骤,【变式训练】利用定积分的定义计算 (-x2+2x)dx的值.【解析】令f(x)=-x2+2x.(1)分割在区间1，2上等间隔地插入n-1个分点，把区间1，2等分为n个小区间1+ ， (i=1，2，n)，每个小区间的长度为,(2)近似代替、作和取i=1+ (i=1，2，n)，则Sn= (n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+(2n)2+ (n+1)+(n+2)+(n+3)+2n=,(3)取极限,【补偿训练】计算定积分 (x+1)dx.【解析】所求定积分是x=1，x=2，y=0与y=x+1所围成的梯形面积，即为如图阴影部分面积，面积为即：,类型二 利用定积分的性质计
12、算定积分【典例2】(1)f(x)= 则 f(x)dx=()A. (x+1)dxB. 2x2dxC. (x+1)dx+ 2x2dxD. 2xdx+ (x+1)dx,(2)已知 f(x)dx=8，则 f(x)-2xdx=_.(3)已知 xdx= ， x2dx= ，求下列定积分的值： (2x+x2)dx； (2x2-x+1)dx.,【解题探究】1.题(1)中求 f(x)dx时需分几段?2.在题(2)中 f(x)-2xdx与 f(x)dx， (-2x)dx有何等量关系?3.在题(3)中如何用已知定积分来表示所求积分值?【探究提示】1.需分两段求解，一是 (x+1)dx，另一个是 2x2dx.2. f(
13、x)-2xdx= f(x)dx+ (-2x)dx.3. (2x2-x+1)dx=2 x2dx- xdx+ 1dx.,【自主解答】(1)选C.由定积分的几何性质得： f(x)dx= (x+1)dx+ 2x2dx(2)由定积分的性质得： f(x)-2xdx= f(x)dx+ (-2x)dx= f(x)dx-2 xdx，因为 f(x)dx=8， xdx= 22=2，所以 f(x)-2xdx= f(x)dx-2 xdx=8-22=4.答案：4,(3) (2x+x2)dx=2 xdx+ x2dx= (2x2-x+1)dx= 2x2dx- xdx+1 dx，因为已知 xdx= ， x2dx= ，又由定积分
14、的几何意义知： 1dx等于直线x=0，x=e，y=0，y=1所围成的图形的面积，所以 1dx=1e=e，故 (2x2-x+1)dx=,【方法技巧】利用定积分的性质计算定积分的步骤(1)如果被积函数是几个简单函数的和的形式，利用定积分的线性性质进行计算，可以简化计算.(2)如果被积函数含有绝对值或被积函数为分段函数，一般利用积分区间的连续可加性计算.,【变式训练】 求 f(x)dx，其中 f(x)=且 (2x-1)dx=-2， e-xdx=1-e-1.【解题指南】利用定积分的性质，分段求定积分后再相加.,【解析】对于分段函数的定积分，通常利用积分区间可加性来计算，即 f(x)dx= f(x)dx
15、+ f(x)dx= (2x-1)dx+ e-xdx=-2+1-e-1=-(e-1+1).,【补偿训练】已知an= (2x+1)dx，数列 前n项和为Sn，数列bn的通项公式为bn=n-8，则Snbn的最小值为_.【解析】因为 (2x+1)dx=n2+n.所以所以数列 的前n项和为Sn=,则Snbn=因为函数y=x+ (x0)在(0，3)上是减函数，在(3，+)上是增函数，所以x=3时y有最小值6，故Snbn=n+1+ -106-10=-4，所以Snbn的最小值为-4.答案：-4,【易错误区】因忽视定积分的几何意义而导致错误 【典例】定积分 =_.【解析】曲线y= 即x2+y2=4(0x2，0y
16、2)表示圆心在原点，半径为2的圆在第一象限及x，y轴正半轴上的部分， 表示被积函数 ，在积分区间0，2上的图象与x=0，y=0，x=2围成的平面图形的面积S= r2=，,即所以= = -.答案：-,【常见误区】,【防范措施】1.全面理解定积分的几何意义定积分 f(x)dx是对求曲边梯形面积的四个步骤的概括与推广，其本质是 f(x)dx=当f(x)0时，定积分就等于曲边梯形的面积；当f(x)0时，定积分等于曲边梯形的面积的相反数.如本例中f(x)0.,2重视定积分的运算性质的应用计算定积分时，常常运用定积分的线性性质(1)，即 kf(x)dx=k f(x)dx(k为常数)，将被积函数中的系数调整位置以后再计算.如本例中最后结论.,【类题试解】定积分 (1-x)dx=_.【解析】方法一：由定积分的几何意义，得 1dx=2， xdx=2，所以 (1-x)dx= 1dx- xdx=2-2=0.,方法二：由于积分区间为0，2，被积函数y=1-x的图象如图，根据定积分的几何意义，得 (1-x)dx= (1-x)dx+ (1-x)dx= (1-x)dx- (1-x)dx=0.答案：0,
