1、4.2用数学归纳法证明不等式,数学归纳法证明不等式,1了解数学归纳法的原理及其使用范围2会用数学归纳法证明与自然数有关的一些不等式,1用数学归纳法证明含正整数n的不等式(其中n取无限多个值)(n1，nN)；练习：填空已知x1，且x0，nN，n2.求证：(1x)n1nx.证明：(1)当n_时，左边(1x)212xx2，右边12x，因x20，则原不等式成立(在这里，一定要强调之所以左边右边，关键在于x20是由已知条件x0获得，为下面证明做铺垫) (2)假设nk时(k_)，不等式成立，即_当nk1时，因为x1，所以1x0，于是,2,2 kN,(1x)k1kx,左边(1x)k1(1x)k(1x)(1x
2、)(1kx)1(k1)xkx2；右边1(k1)x.因为_，所以左边右边，即(1x)k11(k1)x.这就是说，原不等式当nk1时也成立根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数n都成立2用数学归纳法证明不等式的关键是：假设在nk时命题成立，再证明nk1时命题也成立，这也是学好数学归纳法的重中之重当然第一步是证明的基础也是不能少的,kx20,）.,).,跟踪训练,分析：在递归步骤中需用到2kk2这一步，但这只有当k5时，才能成立，故不能只证n1，命题成立后，便用归纳推理证明：(1)验证知n1,2,3,4,5时，命题都成立(2)设nk(k5)时命题成立，即2k22kk2，则当nk1时，2k
3、122k122k2k2(k1)2，(*),).,故命题成立，因而对一切nN*命题成立其中(*)：当k5时2kk2，证明如下：()当k5时，2552显然成立；()设ki(i5)时，2ii2成立，则当ki1时，2i1(i1)222ii22i12(2ii2)(i22i1)22(2ii2)(i1)22，2ii2，i5，(i1)220，故2i1(i1)2，对一切k5有2kk2.,*,*)时,*,跟踪训练,2已知a2，不等式logaxloga(a1)ak1x 2k1的解集为A，其中aN*，kN.(1)求A.(2)设f(k)表示A中自然数个数，求和Snf(1)f(2)f(n)(3)当a2时，比较Sn与n2n
4、的大小，并证明你的结论,*),一层练习,1用数学归纳法证明“12222n12n1 (nN*)”的过程中，第二步假设nk时等式成立，则当nk1时应得到( )A12222k22k12k11B12222k2k12k12k1C12222k12k12k11D12222k12k2k12k,D,C,C,4当n1,2,3,4,5,6时，比较2n与n2的大小并猜想( )An1时，2nn2Bn3时，2nn2Cn4时，2nn2 Dn5时，2nn2,D,二层练习,5,7. 已知1+23+332+433+n3n-1=3n(na-b)+c对于一切nN*都成立，则a=_, b=_,c=_.,答案：,*).,*)时,*成立,
5、三层练习,解析：(1)由a12，得a23，a34，a45，猜想ann1.(2)当n1时，a1312，不等式成立假设当nk(k1，kN*)时，不等式成立，即akk2，当nk1时，ak1a kak11ak(akk)1(k2)(k2k)12k5k3.即ak1(k1)2，因此不等式成立ann2对于nN*都成立,分析：本题除了考查有关数列的知识之外，在比较大小时还可进行归纳、猜想，然后用数学归纳法进行证明,1本节的主要内容是认知如何用数学归纳法证明，含正整数n的不等式(其中n取无限多个值)观察猜想证明是数学归纳法中经常用到的综合性数学方法，观察是解决问题的前提条件，需要进行合理的试验和归纳，提出合理的猜
6、想，从而达到解决问题的目的，猜想归纳能培养探索问题的能力，因此需重视本节内容的学习2前面已学过证明不等式的一系列方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法、反证法等，而本节增加了数学归纳法证明不等式，且主要解决的是n是无限的问题，因而难度更大一些但仔细研究数学归纳法关键是由nk到nk1的过渡，也是学好用数学归纳法证不等式的重中之重问题,(1)用数学归纳法证明的关键是“变项”，即在假设的基础上通过放缩、比较、分析、综合等证明不等式的方法，得出要证明的目标不等式，因此以上几种方法均要灵活的运用有个别较复杂的问题，第二个步骤再利用数学归纳法(2)利用数学归纳法证明不等式问题时，有时要假设当nk时成立，再证当nk1时成立，实质上，这就是第二数学归纳法,祝,您,学业有成,
