1、2.3.2双曲线的几何性质,第2章 2.3 双曲线,1.了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等.2.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题.3.能区别椭圆与双曲线的性质.,学习目标,栏目索引,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,知识梳理 自主学习,知识点一双曲线的几何性质,答案,xa或xa,ya或ya,坐标轴,原点,A1(a,0),A2(a,0),A1(0，a),A2(0，a),(1，),知识点二等轴双曲线,实轴和虚轴 的双曲线叫做，它的渐近线是.思考(1)椭圆与双曲线的离心率都是e，其范围一样吗？答案不一样.椭圆的离心率01.(2)若双曲线
2、确定，则渐近线确定吗？反过来呢？,等长,等轴双曲线,yx,答案,返回,题型探究 重点突破,题型一已知双曲线的标准方程求其几何性质例1求双曲线9y24x236的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程.,解析答案,反思与感悟,因此顶点为A1(3,0)，A2(3,0)，,反思与感悟,实轴长2a6，虚轴长2b4，,讨论双曲线的几何性质，先要将双曲线方程化为标准形式，然后根据双曲线两种形式的特点得到几何性质.,反思与感悟,跟踪训练1求双曲线x23y2120的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率.,解析答案,焦点坐标为F1(0，4)，F2(0,4)，顶点坐标为A1(0，2
3、)，A2(0,2)，,题型二根据双曲线的几何性质求标准方程例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程：,解析答案,解依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c13，,解析答案,反思与感悟,联立，无解.,解析答案,反思与感悟,联立，解得a28，b232.,反思与感悟,A(2，3)在双曲线上，,由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程常用待定系数法，当焦点位置明确时直接设出双曲线的标准方程即可，当焦点位置不明确时，应注意分类讨论，也可以不分类讨论直接把双曲线方程设成mx2ny21(mn0)，从而直接求出来.当双曲线的渐近线方程为,反思与感悟,解析答案,跟踪训练2根据条件，求双曲线的标准方程.,解析答案,解得k
4、4或k14(舍去).,题型三直线与双曲线的位置关系,解析答案,反思与感悟,解设直线l的方程为y2xm，,设直线l与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由根与系数的关系，,又y12x1m，y22x2m，y1y22(x1x2)，AB2(x1x2)2(y1y2)25(x1x2)2,解析答案,反思与感悟,反思与感悟,直线与双曲线相交的题目，一般先联立方程组，消去一个变量，转化成关于x或y的一元二次方程.要注意根与系数的关系，根的判别式的应用.若与向量有关，则将向量用坐标表示，并寻找其坐标间的关系，结合根与系数的关系求解.,反思与感悟,解析答案,得(1a2)x22a2x2a20.,解析答案
5、,解设A(x1，y1)，B(x2，y2)，依题意得P(0,1)，,由于x1，x2是方程(1a2)x22a2x2a20的两根，且1a20，,解析答案,分类讨论思想的应用,思想方法,例4已知双曲线方程为2x2y22.(1)过定点P(2,1)作直线l交双曲线于P1，P2两点，当点P(2,1)是弦P1P2的中点时，求此直线方程；(2)过定点Q(1,1)能否作直线l，使l与此双曲线交于Q1，Q2两点，且Q是弦Q1Q2的中点？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.,解后反思,返回,分析(1)点P是弦P1P2的中点，其端点是直线与双曲线的交点，所以设出直线方程后，将其与双曲线方程组成方程组，结合根与系
6、数的关系和中点坐标公式可求解.(2)先假设直线存在，将交点的坐标代入原曲线方程得方程组，再将中点坐标公式代入求出k的值，得直线方程，最后与曲线方程联立，验证根的情况.解(1)若直线的斜率不存在，即P1P2x轴，则由双曲线的对称性，知弦P1P2的中点在x轴上，不可能是点P(2,1)，所以直线l的斜率存在.故可设直线l的方程为y1k(x2)，即ykx2k1.,解析答案,解后反思,得(2k2)x22k(2k1)x4k24k30.设直线l与双曲线的交点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2).,因为点P(2,1)是弦P1P2的中点，,当k4时，,解析答案,解后反思,4k2(2k1)24(2k2)(4k
7、24k3)2800.,解析答案,解后反思,综上所述，所求直线方程为y4x7.(2)假设这样的直线l存在，设Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)，,所以2(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0，所以2(x1x2)(y1y2)0.若直线lx轴，则直线l与双曲线只有一个交点，不符合题意.,解后反思,所以直线l的方程为y12(x1)，即y2x1.,即2x24x30，得16240.这就是说，直线l与双曲线没有公共点，因此这样的直线不存在.,解后反思,在本题的解答过程中，共有3次用到了分类讨论思想：在(1)中，先对直线的斜率是否存在进行了讨论，再对一元二次方程的二次项系数是否为零进行了讨论；在(2)中，也对直线是否与x轴垂直进行了讨论.,返回,当堂检测,1,2,3,4,5,解析答案,1,2,3,4,5,2.双曲线mx2y21的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为_.,解析由双曲线方程mx2y21，知mb，只有B1F1B260，,又a2c2b22b2，,1,2,3,4,5,课堂小结,返回,2.准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口.利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形.,
