1、第三章 数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.1.1 数系的扩充和复数的概念,1.复数(1)表示方法:复数通常用z表示,即z=_.(2)代数式中各字母的名称:,a+bi(a,bR),实部,虚部,虚数单位,(3)复数z=a+bi 的分类及满足条件 _b=0，复数abi(a，bR) 纯虚数a=0,b0， _b0 非纯虚数a0,b0.,实数,虚数,2.复数的相等abicdi_(a，b，c，dR).3.复数集(1)定义：由_所构成的集合叫做复数集(2)表示：通常用大写字母_表示(3)关系：用图形表示N,Z,Q,R间的关系,ac且bd,全体复数,C,R,Q,Z,N,1判一判 (正确的打
2、“”，错误的打“”)(1)若a，b为实数，则z=a+bi为虚数.( )(2)若a为实数，则z= a一定不是虚数.( )(3)bi是纯虚数( )(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等.( ),【解析】(1)错误，若b=0,则z=a+bi为实数.(2)正确.因为a为实数，所以z=a中没有虚部，一定不是虚数.它是实数.(3)错误，若b=i，则bi=i2=-1.故bi不一定是纯虚数.(4)正确，由复数相等的概念可得.答案：(1) (2) (3) (4),2做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若a+bi=0，则实数a=_,实数b=_.(2)(1 )i的实部与虚部分别是_.
3、(3)若复数(a1)(a21)i(aR)是实数，则a_.,【解析】(1)由复数相等的概念得a=0,b=0.答案：0 0(2)(1 )i可看作0(1 )iabi，所以实部a0，虚部b1答案：0，1(3)(a1)(a21)i(aR)为实数的充要条件是a210，所以a1.答案：1,【要点探究】 知识点1 数系的扩充与分类1.数系扩充的脉络自然数系整数系有理数系实数系复数系.,2.虚数单位i性质的两个关注点(1)i21的理解：并没有规定 还是 或 在今后的学习中，我们将知道 但不能说(2)i与实数之间可以进行四则运算：这条性质是数系扩充的原则之一，这里只提到加、乘运算，没提到减、除运算，并不是对减法与
4、除法不成立，而是为了后面讲复数的四则运算时，只对加法乘法法则作出规定，而把减法、除法作为加法、乘法的逆运算的做法相一致,3.实部与虚部的要求：若zabi，只有当a，bR时，a才是z的实部，b才是z的虚部,【知识拓展】数系扩充的原则数系扩充时，一般要遵循以下原则：(1)增添新元素，新旧元素在一起构成新数集.(2)在新数集里，定义一些基本关系和运算，使原有的一些主要性质(如运算定律)依然适用.(3)旧元素作为新数集里的元素，原有的运算关系保持不变.(4)新的数集能够解决旧的数集不能解决的矛盾,【微思考】(1)复数mni的实部是m，虚部是n吗？提示：不一定，只有当m，nR时，m才是实部，n才是虚部(
5、2)i可以除以任何实数吗?提示：不可以.i既然与实数之间建立了四则运算关系,运算与实数一致，由于在实数运算中0不能作除数,故i不可以除以任何实数.,【即时练】完成下列表格(分类栏填实数、虚数或纯虚数),【解析】,知识点2 复数的相等对复数相等的两点说明(1)两个复数相等的充要条件的理解若z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR).则z1=z2a=c且b=d.利用这一结论,可以把复数问题转化为实数问题进行解决,并且一个复数等式可以转化为两个实数等式,通过解方程组得到解决.(2)不能比较大小:一般对两个虚数只能说相等或不相等;不能比较大小.由于i20,那么z1z2,这个命题是真命题吗?提示
6、:假命题.例如,z1=1+i,z2=-2+i,z1-z2=30,但z1z2无意义,因为虚数不能比较大小.(2)若z1,z2R, 则z1=z2=0,此命题对z1,z2C还成立吗?提示:不一定成立.比如z1=1,z2=i满足 但z10,z20.,(3)两个复数一定不能比较大小对吗?提示:不一定,当两个复数都是实数时,可以比较大小;两个虚数、或一个虚数与一个实数不能比较大小,即两个复数除去都是实数外,没有大小关系.,【即时练】如果(x+y)i=x-1,则实数x,y的值分别为( )A.x=1,y=-1 B.x=0,y=-1C.x=1,y=0 D.x=0,y=0【解析】选A.由已知得 所以x=1,y=-
7、1.,【题型示范】 类型一 复数的概念【典例1】(1)给出下列三个命题:若zC,则z20;2i-1虚部是2i;2i的实部是0.其中真命题的个数为()A.0B.1C.2D.3(2)(2014启东高二检测)已知复数z=a2-(2-b)i的实部和虚部分别是2和3,则实数a,b的值分别是.,(3)判断下列命题的真假.若x,yC,则x+yi=1+2i的充要条件是x=1,y=2;若实数a与ai对应,则实数集与纯虚数集一一对应;实数集的补集是虚数集.,【解题探究】1.题(1)中虚数的平方是否大于等于0，代数式中的虚部是否一定为实数?2.题(2)中复数z=a2-(2-b)i实部与虚部分别是什么？3.题(3)中
8、实数能否比较大小？中数x,y是否一定为实数？【探究提示】1.虚数的平方不一定大于等于0，实数的平方一定大于等于0，代数式中的虚部一定为实数.2.实部为a2,虚部为-(2-b).3.实数能够进行大小比较.数x,y不一定为实数也可能是虚数.,【自主解答】(1)选B.对于,当zR时,z20成立,否则不成立,如z=i,z2=-1b,则a+ib+i;若x2+y2=0,则x=y=0; 两个虚数不能比较大小.其中,正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.对于,因为i2=-1,所以1+i2=0,故正确.对于,两个虚数不能比较大小,故错.对于,当x=1,y=i时x2+y2=0成立,故错.正确.
9、,【误区警示】复数概念易错点(1)注意虚部不是bi,而是b.还要特别注意,要保证实部、虚部有意义.(2)形如bi的数不一定是纯虚数,只有限定条件bR且b0时,形如bi的数才是纯虚数.(3)不要将复数与虚数的概念混淆,实数也是复数,实数和虚数是复数的两大构成部分.,【补偿训练】若复数z=3+bi0(bR),则()A.b0 B.b=0C.b0,则说明z=3+bi为实数,故b=0.,类型二 复数的分类【典例2】(1)复数z=a2-b2+(a+|a|)i(a,bR)为纯虚数的充要条件是()A.|a|=|b|B.a0且ab D.a0且a=b(2)实数m取什么值时,复数(m2-3m+2)+(m2-4)i是
10、:实数;虚数;纯虚数.,【解题探究】1.题(1)中复数z为纯虚数满足的条件是什么?2.复数z=a+bi(a,bR),a,b为什么时z为实数,a,b为什么时z为虚数?a,b为什么时z为纯虚数?【探究提示】1.2.b=0时z为实数,b0时z为虚数,a=0,b0时z为纯虚数.,【自主解答】(1)选D.a2-b2=0,且a+|a|0.故得a0且a=b.(2)设z=(m2-3m+2)+(m2-4)i.要使z为实数,必须有m2-4=0,得m=-2或m=2,即m=-2或m=2时,z为实数.要使z为虚数,必有m2-40,即m-2且m2.故m-2且m2时,z为虚数.,要使z为纯虚数，必有所以所以m1，故m1时，
11、z为纯虚数,【延伸探究】把题(1)中的“纯虚数”改为“实数”,则结果如何?【解析】复数z为实数的充要条件是a+|a|=0,而|a|=-a,所以a0.,【方法技巧】1.解决复数分类问题的方法与步骤(1)化标准式:解题时一定要先看复数是否为a+bi(a,bR)的形式,以确定实部和虚部.(2)定条件:复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.(3)下结论:设所给复数为z=a+bi(a,bR),z为实数b=0;z为虚数b0;z为纯虚数a=0且b0.,2.复数分类的应用(1)参数自身:判断一个含有参数的复数在什么情况下是
12、实数、虚数、纯虚数,首先要保证参数值使表达式有意义,其次对参数值的取舍,是取“并”还是“交”,非常关键,解答后进行验算是很必要的.(2)整体与局部:对于复数z=a+bi(a,bR),既要从整体的角度去认识它,把复数z看成一个整体,又要从实部与虚部的角度分解成两部分去认识它.这是解复数问题的重要思路之一.,【变式训练】m取何实数时，复数(1)是实数？(2)是虚数？(3)是纯虚数？【解析】(1)因为z为实数，所以所以所以m5.所以当m5时，z是实数,(2)因为z为虚数，所以所以所以m5且m-3.所以当m5且m3时，z是虚数(3)因为z为纯虚数，所以所以所以m3或m2.所以当m3或m2时，z是纯虚数
13、,【误区警示】形如a+bi的复数,一定要注意,只有当a,b是有定义的实数时才能充当复数的实部、虚部,在这个前提下,研究复数的分类才不易出错.,【补偿训练】实数a取什么值时，复数za1(a1)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数【解析】(1)当a10，即a1时，复数z是实数(2)当a10，即a1时，复数z是虚数(3)当即a1时，复数z是纯虚数.,类型三 复数的相等【典例3】(1)已知x,y均是实数,且满足(2x-1)+i=-y-(3-y)i,则x=,y=.(2)已知M=(a+3)+(b2-1)i,8,集合N=3i,(a2-1)+(b+2)i,同时满足MN M,MN ,求整数a,b.【解题探究
14、】1.复数(2x-1)+i的实部与虚部分别是多少?复数-y-(3-y)i的实部与虚部分别是多少?2.由条件MN M,MN 能得到的结论是什么?,【探究提示】1.复数(2x1)i的实部为2x1，虚部为1；复数y(3y)i的实部为y，虚部为(3y).2.由MN M知两个集合M，N不能相等.由MN 能得到两个集合M，N中有公共元素.【自主解答】(1)由复数相等的充要条件得答案：,(2)由条件MN M,MN得(a+3)+(b2-1)i=3i;或8=(a2-1)+(b+2)i. 或(a+3)+(b2-1)i=(a2-1)+(b+2)i.由得a=-3,b=2,当a=-3,b=2时,M=3i,8,N=3i,
15、8+4i满足题意.经检验,a=-3,b=-2不合题意,舍去.,由得b=-2,a=-3或b=-2,a=3当b=-2,a=-3时M=3i,8,N=3i,8不合题意,舍去.当b=-2,a=3时,M=6+3i,8,N=3i,8满足题意.由得得a,b不是整数舍去.故a=-3,b=2或a=3,b=-2.,【方法技巧】化复为实转化求解应用两个复数相等的充要条件时,首先要把“=”左右两侧的复数写成代数形式,即分离实部与虚部,然后确定两个独立参数列出方程,化复数问题为实数问题得以解决.,【变式训练】已知关于x的方程x2+(1-2i)x+(3m-i)=0有实根,求实数m的值.【解析】设x=a为方程的一个实数根.则
16、有a2+(1-2i)a+(3m-i)=0,即(a2+a+3m)-(2a+1)i=0.因为a,mR,由复数相等的充要条件故实数m的值为,【补偿训练】已知P=-1,1,4i,M=1,(m2-2m)+(m2+m-2)i.若MP=P,求实数m的值【解析】因为MP=P,所以MP,即(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1或(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i.由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1得m2-2m=-1,m2+m-2=0,解得m=1.由(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i得m2-2m=0,m2+m-2=4,解得m=2.综上可知,m=1或m=2.,【拓展类型】含有虚数单位i的不等式
17、【备选例题】若z1=m2-(m2-3m)i,z2=(m2-4m+3)i+10(mR),z1z2,求实数m的值.【解析】因为z1z2,所以z1,z2均为实数.所以解得m=3.又z1=m2=9z2,故m=3,符合题意.所以m=3.,【方法技巧】隐含条件的应用两个虚数不能比较大小,若两个复数能够比较大小,则这两个复数一定为实数,即复数的虚部为0.,【易错误区】明晰复数概念,正确判断命题【典例】在下列命题中,正确命题的个数是()(1)两个复数不能比较大小;(2)若z1和z2都是虚数,且它们的虚部相等,则z1=z2;(3)若a,b是两个相等的实数,则(a-b)+(a+b)i必为纯虚数.A.0B.1C.2
18、D.3,【解析】选A.两个复数，当它们都是实数时，是可以比较大小的，故(1)是错误的；设z1abi(a，bR，b0)，z2cdi(c，dR，且d0)，因为bd，所以z2cbi.当ac时，z1z2，当ac时，z1z2，故(2)是错误的;(3)当ab0时，ab(ab)i是纯虚数，当ab0时，ab(ab)i0是实数，故(3)错误，因此选A.,【常见误区】,【防范措施】1.明确关系:解决与复数相关的问题时,要明确复数与实数间的从属关系.如本例(1)是区分复数是哪一类数.2.分清概念:虚数与纯虚数概念混淆,事实上纯虚数集是虚数集的真子集,在代数形式上,纯虚数为bi(bR且b0),虚数为a+bi(a,bR,且b0).,【类题试解】下面几个命题正确的个数为()0比-i大;若aR,则(a+1)i是纯虚数;x+yi=1+i的充要条件为x=y=1.A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选A.0比-i大,实数与虚数不能比较大小;若a=-1则(a+1)i=0为实数;x+yi=1+i的充要条件为x=y=1是错误的,因为没有表明x,y是否是实数.,
