1、21合情推理与演绎推理21.1合 情 推 理,推理与证明,1了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理2用归纳和类比进行推理，作出猜想,基础梳理,1归纳推理是由_具有_，推出该类事物的全部对象都具有_，或者由个别事实概括出一般结论的推理，简言之，归纳推理是由_到_、由_到_的推理,某类事物的部分对象,某些特征,这些特征的推理,部分,整体,个别,一般,例如：通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假sin215sin275sin2135 ；sin230sin290sin2150 ；sin245sin2105sin2165 ；sin260sin2120sin2180 .,
2、分析：注意观察四个式子的共同特征或规律：结构的一致性；观察角的“共性”解析：猜想：sin2(60)sin2sin2(60) .证明：左边(sin cos 60cos sin 60)2sin2(sin cos 60cos sin 60)2 (sin2cos2) 右边,2归纳推理包括_和_3由_和_，推出_称为类比推理(简称类比)，简言之，类比推理是由_到_的推理例如：已知正三角形内切圆的半径是高的，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是_,不完全归纳法,完全归纳法,两类对象具有某些类似特征,其中一类对象的某些已知特征,另一类对象也具有这些特征的推理,特殊,特殊,4_和_都是根据已有的事实，经
3、过_、_、_、_，再进行_，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理,例如：分析：从方法的类比入手解析：原问题的解法为等面积法，即S ah3 ar r h，类比问题的解法应为等体积法，V Sh4 Sr r h，即正四面体的内切球的半径是高的 .,归纳推理,类比推理,观察,分析,比较,联想,归纳类比,自测自评,1已知a13，a26且an2an1an，则a33为()A3B3C6D6,解析：a33，a43，a56，a63，a73，a86，故an以6个项为周期循环出现，a33a33.答案：A,2对于命题：正三角形内任意一点到各边的距离之和为定值推广到空间是：正四面体内任意一点到各面的距离之和为()
4、A定值 B变数C有时为定值、有时为变数 D与正四面体无关的常数,解析：设正四面体SABC的棱长为a，正四面体内任意一点O到各面的距离分别为h1，h2，h3，h4，由体积关系得VSABC a2(h1h2h3h4) h1h2h3h4 a(此为正四面体的高)答案：A,3设函数f(x)(x0)，观察：f1(x)f(x) ，f2(x)f(f1(x) ，f3(x)f(f2(x) ，f4(x)f(f3(x) ，根据以上事实，由归纳推理可得：当nN*且n2时，fn(x)f(fn1(x)_.,数列中的归纳推理,已知数列an的第1项a11，且an1 (n1,2,3，)，试归纳出这个数列的通项公式,分析：数列的通项
5、公式表示的是数列an的第n项an与序号之间的对应关系为此，我们先根据已知的递推公式，算出数列的前几项,解析：当n1时，a11；当n2时，a2 ；当n3时，a3 ；当n4时，a4 ；,观察可得，数列的前4项等于相应的序号的倒数由此猜想，这个数列的通项公式为an .点评：归纳猜想是一种重要的思维方法，但结果的正确性还需进一步证明，但这个猜想可以为我们的研究提供一种方向,1已知数列an的每一项均为正数，a11， (n1,2,3，)，试归纳出数列an的一个通项公式,几何中的归纳推理,如图，在圆内画1条线段，将圆分成2部分；画2条线段，彼此最多分割成4条线段，同时将圆分割成4部分；画3条线段，彼此最多分
6、割成9条线段，将圆最多分割成7部分；画4条线段，彼此最多分割成16条线段，将圆最多分割成11部分,那么：(1)在圆内画5条线段，它们彼此最多分割成多少条线段？将圆最多分割成多少部分？(2)猜想：圆内两两相交的n(n2)条线段，彼此最多分割成多少条线段？将圆最多分割成多少部分？,跟踪训练,2设平面内有n条直线(n3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)_；当n4时，f(n)_(用含n的代数式表示),已知等差数列an的公差为d，前n项和Sn有如下性质：(1)通项公式anam(nm)d；(2)若mnpq，则amanapaq(m，n，p
7、，qN*)；(3)若mn2p(m，n，pN*)，则aman2ap；(4)Sn，S2nSn，S3nS2n构成等差数列类比上述性质，在等比数列bn中，写出相类似的性质,类比推理,分析：事物的各个性质间不是孤立的，而是相互联系的，相互制约的，等差数列与等比数列之间有着很多类似的性质，利用类比可得等比数列的性质解析：在等比数列bn中，公比为q，前n项和Sn.(1)通项公式bnbmqnm；(2)若mnpq，则bmbnbpbq(m，n，p，qN*)；(3)若mn2p(m，n，pN*)，则am an ；(4)Sn，S2nSn，S3nS2n构成等比数列点评：运用类比推理必须寻找合适的类比对象，充分挖掘事物的本
8、质及内在联系,跟踪训练,合情推理的应用,设f(n)n2n41(nN*)，计算f(1)，f(2)，f(3)，f(10)的值，同时作出归纳推理，并判断是否对所有nN*都成立分析：求出f(1)，f(2)，f(3)，f(10)的值后寻找它们的共同特征,解析：f(1)1214143，f(2)2224147，f(3)3234153，f(4)4244161，f(5)5254171，f(6)6264183，f(7)7274197，f(8)82841113，f(9)92941131，f(10)1021041151.,从中知f(1)，f(2)，f(3)，f(10)的值都为质数，所以归纳得出猜想：f(n)n2n41
9、的值为质数因为f(40)40240414141为合数，所以猜想f(n)n2n41的值为质数是错误的,跟踪训练,4观察下列等式：13239，13233336，13233343100，1323334353225，想一想，等式左边各项幂的底数与右边幂的底数有什么关系？猜一猜有什么规律，并把这些规律用等式表示出来,答案：132333n3(123n)2,1根据下图中所示的5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜想第n个图中有_个点,n2n1,2类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是()各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等；各个面都是全等的
10、正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等A BC D,D,3从112,23432,3456752中得出的一般性结论是_. 4观察下列各式：553 125,5615 625,5778 125，则52 011的末四位数字为()A3 125 B5 625C0 625 D8 125,n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2,D,5根据下面给出的式子猜测123 45697_.19211，1293111，123941 111，1 2349511 111，6已知 ，根据以上等式，可猜想出的一般结论是_,1 111 111,7.(2012年湖北卷)传
11、说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，记为数列an，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列bn，可以推测：(1)b2 012是数列an中的第_项；(2)b2k1_(用k表示),5030,8已知在数列an中，a10，an1an(2n1)，写出它的前4项，并归纳出该数列的通项公式,答案：a10，a21，a34，a49，an(n1)2,解析：f(3)1231，f(4)12341，f(5)123451，类比f(n)(12n)1.答案：16,10将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n行(n3
12、)从左向右的第3个数为_,12345678910,11点P是三角形ABC内切圆的圆心，半径是r，三角形ABC的面积是 (ABBCCA)r.类比三棱锥SABC的一个相似的结论,答案：假设点P是三棱锥SABC内切球的球心，半径是R，则三棱锥SABC体积是 (SSABSSBCSSCASABC)R.,12已知整数按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，则第60个数对是()A(10,1) B(2,10)C(5,7) D(7,5),解析：如图，根据题中规律，有(1,1)为第1项，(1,2)为第2项，(1,3)为第4项，(5,11)为第56项，因此第60项为(5,7)答案：C,归纳推理和类比推理的共同点： 可见，归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、推理、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.,从具体问题出发,观察、分析、比较、联想,归纳、类比,提出猜想,感谢您的使用，退出请按ESC键,本小节结束,
