1、11.1.1 命 题学习目标 1. 理解命题的概念.2.会判断命题的真假.3.了解命题的构成形式，能将命题改写为“若 p，则 q”的形式.知识点一 命题的概念思考 1 在初中，我们已经学习了命题的定义，它的内容是什么？答案 对事情做出正确或不正确的判断的句子叫做命题.思考 2 依据上面命题的定义，判断下列说法中，哪些是命题，哪些不是命题.三角形外角和为 360；连接 A、 B 两点；计算 32 的值；过点 A 作直线 l 的垂线；在三角形中，大边一定对的角也大吗？答案 根据命题的定义，只有为命题，其他说法都不是命题.梳理 (1)命题的概念：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假
2、的陈述句叫做命题.(2)命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”.我们学习过的定理、推论都是命题.(3)分类命题Error!知识点二 命题的结构思考 1 在初中学习命题的定义的基础上，你还知道与命题有关的哪些知识？答案 命题由题设和结论两部分组成.题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，命题常可以写为“如果，那么”的形式， “如果”后面接题设，而“那么”后面接结论.思考 2 完成下列题目：(1)命题“等角的补角相等”：题设是_，结论是_.(2)命题“实数的平方是非负数”可以改为“如果_，那么_”.答案 (1)等角的补角 相等(2)一个数是实数 它的平方是非负数梳理 (1)命题的一
3、般形式为“若 p，则 q”.其中 p 叫做命题的条件， q 叫做命题的结论.(2)确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若 p，则 q”的形式.2类型一 命题的判断例 1 (1)下列语句为命题的是( )A.x10 B.238C.你会说英语吗？ D.这是一棵大树(2)下列语句为命题的有_.一个数不是正数就是负数；梯形是不是平面图形呢？2 2 015是一个很大的数；4 是集合2，3，4中的元素；作 ABC A B C.答案 (1)B (2)解析 (1)A 中 x 不确定， x10 的真假无法判断；B 中 238 是命题，且是假命题； C 不是陈述句，故不是命题；D 中“大”的标准不确定，无法判断
4、真假.(2)是陈述句，且能判断真假；不是陈述句；不能断定真假；是陈述句且能判断真假；不是陈述句.反思与感悟 判断一个语句是否是命题的三个关键点(1)一般来说，陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题.(2)语句表述的结构可以判断真假，含义模糊不清，无法判断真假的语句不是命题.(3)对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假，若能，就是命题；否则就不是命题.跟踪训练 1 给出下列语句，其中不是命题的有_. 是无限循环小数；2 x23 x20；当 x4 时，2 x0；垂直于同一条直线的两条直线一定平行吗？一个数不是奇数就是偶数；2030 年 6 月 1 日上海会下雨.答
5、案 解析 不是命题，因为该语句无法判断其真假；为疑问句，故不是命题.类型二 命题真假的判断例 2 给定下列命题：若 ab，则 2a2b；3命题“若 a， b 是无理数，则 a b 是无理数”是真命题；直线 x 是函数 ysin x 的一条对称轴； 2在 ABC 中，若 0，则 ABC 是钝角三角形.AB BC 其中为真命题的是_.答案 解析 结合函数 f(x)2 x的单调性，知为真命题；而函数 ysin x 的对称轴方程为 x k， kZ，故为真命题；又因为 | | |cos( B)| | |cos 2 AB BC AB BC AB BC B0，故得 cos B0，故正确，而都错误，均可举出反
6、例.类型三 命题结构形式解读例 3 将下列命题写成“若 p，则 q”的形式.(1)末位数是 0 或 5 的整数，能被 5 整除；(2)方程 x2 x10 有两个实数根.解 (1)若一个整数的末位数字是 0 或 5，则这个数能被 5 整除.4(2)若一个方程是 x2 x10，则它有两个实数根.反思与感悟 把命题改写成“若 p，则 q”的形式，关键是找到命题的条件“ p”和结论“q”，在有些命题的叙述中，条件、结论不是那么分明，但我们可以把它们改写成条件和结论分明的形式，这要求我们能够分清命题的条件和结论分别是什么.跟踪训练 3 将下列命题改写成“若 p，则 q”的形式，并判断其真假.(1)正 n
7、 边形( n3)的 n 个内角全相等；(2)负数的立方是负数；(3)已知 x， y 为正整数，当 y x5 时， y3， x2.解 (1)若一个多边形是正 n 边形，则这个正 n 边形的 n 个内角全相等.是真命题.(2)若一个数是负数，则这个数的立方是负数.是真命题.(3)已知 x， y 为正整数，若 y x5，则 y3， x2.是假命题.1.命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是( )A.两个平面B.一条直线C.垂直D.两个平面垂直于同一条直线答案 D解析 所给的命题可以改为“如果两个平面垂直于同一条直线，那么它们互相平行” ， 故选 D.2.下列命题是真命题的为( )A.若 ab
8、，则 b 且 ab0 时，才能得到 0 恒成立是真命题，求实数 m 的取值范围.解 “3 mx2 mx10 恒成立”是真命题，需对 m 进行分类讨论.当 m0 时，10 恒成立，所以 m0 满足题意；当 m0，且 m212 m0 恒成立，所以 00D.梯形是不是平面图形呢？答案 B62.下列命题中是假命题的是( )A.若 ab0( a0， b0)，则 a bB.若| a| b|，则 a bC.若 ac2bc2，则 abD.53答案 B解析 当| a| b|成立时， a 与 b 不一定相等，故选项 B 错误.3.已知 、 、 是三个不同的平面，命题“ ，且 ”是正确的.如果把 、 、 中的任意两
9、个换成直线，在所得的命题中，真命题有( )A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个答案 C解析 把 、 换成直线 a、 b 时，则该命题可改写为“ a b，且 a b ”，由直线与平面垂直的判定定理可知，该命题是正确的；把 、 换成直线 a、 b 时，则该命题可改写为“ a ，且 a bb ”，它是判断直线与平面的位置关系的，显然是错误的；把 、 换成直线 a、 b，则该命题可改写为“ a ， b a b”，显然成立.4.下列命题是真命题的是( )A.若 ab0，则 a2 b20B.若 ab，则 acbcC.若 M N M，则 NMD.若 MN，则 M N M答案 D解析 A 中， a0
10、， b0 时， a2 b20 不成立；B 中， c0 时不成立；C 中， M N M 说明 MN.故 A、B、C 均错误.5.已知 a、 b 为两条不同的直线， 、 为两个不同的平面，且 a ， b ，则下列命题中的假命题是( )A.若 a b，则 B.若 ，则 a bC.若 a、 b 相交，则 、 相交D.若 、 相交，则 a、 b 相交答案 D解析 D 中如果 、 相交， a 和 b 可以相交，也可以异面.6.对任意平面向量 a， b，下列关系式中不恒成立的是( )A.|ab| a|b| B.|a b| a| b|C.(a b)2| a b|2 D.(a b)(a b) a2 b27答案
11、B解析 设向量 a， b 的夹角为 ，因为 ab| a|b|cos ，所以| ab| a|b|cos | a|b|，A 成立；由向量的运算律易知 C，D 成立.故选 B.7.命题“ ax22 ax30 恒成立”是假命题，则实数 a 的取值范围是( )A.a3 D.00 恒成立”是真命题，当 a0 时，30 符合题意，当 a0 时，则 a0 且 0 恒成立”是真命题，故当 a0 恒成立”是假命题.8.已知命题“直线 l 与平面 有公共点”是真命题，那么下列命题：直线 l 上的点都在平面 内；直线 l 上有些点不在平面 内；平面 内任意一条直线都不与直线 l 平行.其中真命题的个数是( )A.3
12、B.2 C.1 D.0答案 D解析 直线 l 与平面 有公共点，则直线 l 与平面 相交或直线 l 在平面 内，因此可判断都是假命题，故选 D.二、填空题9.命题“函数 y2 x1 是增函数”的条件是_，结论是_.答案 函数为 y2 x1 该函数是增函数10.下列命题：面积相等的三角形是全等三角形；若 xy0，则| x| y|0；若 ab，则ac2bc2；矩形的对角线互相垂直.其中假命题的个数是_.答案 4解析 等底等高的三角形都是面积相等的三角形，但不一定全等；当 x， y 中一个为零，另一个不为零时，| x| y|0；当 c0 时不成立；矩形的对角线不一定垂直.11.若函数 f(x)|2
13、x2| b 有两个零点，则实数 b 的取值范围是_.答案 (0，2)解析 函数 f(x)|2 x2| b 有两个零点等价于函数 y|2 x2|与 y b 的图象有两个不同的交点.在同一坐标系中作出函数 y|2 x2|及 y b 的图象，如图.由图可知 b(0，2).8三、解答题12.把下列命题改写成“若 p，则 q”的形式，并判断命题的真假.(1)当 acbc 时， ab；(2)当 m 时， mx2 x10 无实根；14(3)当 ab0 时， a0 或 b0.解 (1)若 acbc，则 ab. acbc， c ，则 mx2 x10 无实根.14 14 m ”是假命题，求 a 满足的条件.ax1
14、ax2解 (1)因为 ax2 bx10 有解.所以当 a0 时， bx10 有解，只有 b0 时，方程有解 x .1b当 a0 时，方程为一元二次方程，有解的条件为 b24 a0.综上，当 a0， b0 或 a0， b24 a0 时，方程 ax2 bx10 有解.(2)因为命题当 x1 为假命题，ax1ax2所以应有当 x10， x1x20，所以 a0.14.给出两个命题：命题甲：关于 x 的不等式 x2( a1) x a20 的解集为；命题乙：函数 y(2 a2 a)x为增函数.9分别求出符合下列条件的实数 a 的取值范围：(1)甲、乙至少有一个是真命题；(2)甲、乙中有且只有一个是真命题.解 命题甲为真命题时， ( a1) 24 a2 或 a1，即 a1 或 a .12 13(2)甲、乙两个命题中有且只有一个是真命题，有两种情况：甲真乙假时， a1；甲假乙真时，1 a ，13 12甲、乙两个命题中有且只有一个是真命题时， a 的取值范围为 a| a1 或1 a .13 12
