1、1.2排列与组合,1.2.1排列,1.排列的相关概念(1)定义:一般地,从n个不同元素中取出m(mn)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.(2)相同排列:两个排列相同,当且仅当两个排列的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同.,做一做1下列问题中:10本不同的书分给10名同学,每人一本;10位同学互通一次电话;10位同学互通一封信;10个没有任何三点共线的点构成的线段.属于排列的有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析：由排列的定义可知是排列,不是排列.答案：B,2.排列数与排列数公式(1)排列数的定义:从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列
2、的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号 表示.(2)排列数公式: =n(n-1)(n-2)(n-m+1),其中n,mN*,并且mn.(3)全排列和阶乘:n个不同元素全部取出的一个排列,叫做n个元素的一个全排列.这时公式中m=n,即有 =n(n-1)(n-2)321.就是说,n个不同元素全部取出的排列数,等于正整数1到n的连乘积.正整数1到n的连乘积,叫做n的阶乘,用n!表示.所以n个不同元素的全排列数公式可以写成 =n!.另外,我们规定0!=1.所以,做一做2解析：答案：210120做一做3从5面不同颜色的小旗中取出三面,按从上到下的顺序排在一起表示信号,不同的顺序表示不同的信
3、号,则一共可表示种不同的信号.解析：一共可表示 =543=60种不同的信号.答案：60,思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.(1)排列和排列数是同一个概念.()(2)排列和排列数有时是同一个概念. ()(3)8个不同的玩具分给8名小朋友,每人一个玩具是排列问题. ()(4)排列数是排列在“数”的角度的反映. (),探究一,探究二,探究三,一题多解,探究一简单的排列问题【例1】 导学号78430010(1)有5个不同的科研小课题,从中选3个由高二(6)班的3个学习兴趣小组进行研究,每组一个课题,共有多少种不同的安排方法?(2)12名选手参加校园歌手大奖赛,比赛
4、设一等奖、二等奖、三等奖各一名,每人最多获得一种奖项,共有多少种不同的获奖情况?分析：(1)从5个不同的科研小课题中选出3个分给3个兴趣小组,要注意各个小组得到不同的科研课题属于不同的情况;(2)从12名选手中选出3名选手分别得一等奖、二等奖、三等奖.,探究一,探究二,探究三,一题多解,解：(1)从5个不同的科研小课题中选出3个,由3个学习兴趣小组进行研究,对应于从5个不同元素中取出3个元素的一个排列.因此不同的安排方法有 =543=60(种).(2)从12名选手中选出3名获奖并安排奖次,共有 =121110=1 320种不同的获奖情况.,探究一,探究二,探究三,一题多解,变式训练1从甲、乙、
5、丙三人中选两人站成一排的所有站法为()A.甲乙,乙甲,甲丙,丙甲B.甲乙丙,乙丙甲C.甲乙,甲丙,乙甲,乙丙,丙甲,丙乙D.甲乙,甲丙,乙丙解析：从三人中选出两人,而且要考虑这两人的顺序,所以有如下几种站法:甲乙,甲丙,乙甲,乙丙,丙甲,丙乙.答案：C,探究一,探究二,探究三,一题多解,探究二排列数公式【例2】 求解下列问题:(1)用排列数表示(55-n)(56-n)(69-n)(nN*,且n55).,分析：(1)用排列数公式的定义解答即可;(2)直接用排列数公式计算;(3)用排列数的公式展开得方程,然后求解,要注意x的取值范围,并检验根是否合理.,探究一,探究二,探究三,一题多解,解：(1)
6、因为55-n,56-n,69-n中的最大数为69-n,且共有69-n-(55-n)+1=15(个),根据排列数公式,原方程化为(2x+1)2x(2x-1)(2x-2)=140x(x-1)(x-2).因为x3,两边同除以4x(x-1),得(2x+1)(2x-1)=35(x-2),即4x2-35x+69=0,解得x=3或x=5 (因为x为整数,所以应舍去).所以原方程的解为x=3.,探究一,探究二,探究三,一题多解,探究一,探究二,探究三,一题多解,变式训练2(1)解不等式,探究一,探究二,探究三,一题多解,探究三有限制条件的排列问题【例3】 导学号784300113名男生,4名女生,按照不同的要
7、求排队,求不同的排队方案的方法种数:(1)选5名同学排成一行;(2)全体站成一排,其中甲只能在中间或两端;(3)全体站成一排,其中甲、乙必须在两端;(4)全体站成一排,其中甲不在最左端,乙不在最右端;(5)全体站成一排,男生、女生各站在一起;(6)全体站成一排,男生必须排在一起;(7)全体站成一排,男生不能排在一起;(8)全体站成一排,男生、女生各不相邻;(9)全体站成一排,甲、乙中间必须有2人;(10)全体站成一排,甲必须在乙的右边;,探究一,探究二,探究三,一题多解,(11)全体站成一排,甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变;(12)排成前后两排,前排3人,后排4人.分析：对有条件限制的元素与
8、位置要优先考虑,然后遇到相邻问题,用“捆绑法”;不相邻问题用“插空法”;定序问题用“除阶乘法”;当直接求解不容易计算时,可用间接法.解：(1)无限制条件的排列问题,只要从7名同学中任选5名即可,则共有N= =76543=2 520种不同的排队方案.(2)(直接分步法)先考虑甲有 种方案,再考虑其余6人全排有 A 6 6 种方案,探究一,探究二,探究三,一题多解,探究一,探究二,探究三,一题多解,探究一,探究二,探究三,一题多解,探究一,探究二,探究三,一题多解,探究一,探究二,探究三,一题多解,变式训练3导学号78430012用0,1,2,3,4这五个数字,组成五位数:(1)可组成多少个五位数
9、?(2)可组成多少个无重复数字的五位数?(3)可组成多少个无重复数字的五位奇数?(4)若1和3相邻,则可组成多少个无重复数字的五位数?(5)若1和3不相邻,则可组成多少个无重复数字的五位数?(6)若1不在万位,2不在个位,则可组成多少个无重复数字的五位数?,解：(1)各个数位上的数字允许重复,由分步乘法计数原理得,共可组成45555=2 500个五位数.,探究一,探究二,探究三,一题多解,探究一,探究二,探究三,一题多解,探究一,探究二,探究三,一题多解,探究一,探究二,探究三,一题多解,用多种方法解决排列问题典例有4名男生、5名女生,全体排成一行,问下列情形各有多少种不同的排法?(1)甲不在
10、中间也不在两端;(2)甲、乙两人必须排在两端;(3)男女相间.【审题视点】这是一个排列问题,一般情况下,从受到限制的特殊元素开始考虑,或从特殊的位置开始考虑.,探究一,探究二,探究三,一题多解,探究一,探究二,探究三,一题多解,探究一,探究二,探究三,一题多解,探究一,探究二,探究三,一题多解,变式训练有语文、数学、英语、物理、化学、生物6门课程,从中选4门安排在上午的4节课中,其中化学不排在第四节,共有多少种不同的安排方法?,1 2 3 4 5 6,1.从5本不同的书中选两本送给2名同学,每人一本,则不同的送书方法的种数为()A.5B.10C.20D.60解析：此问题相当于从5个不同元素中取
11、出2个元素的排列数,即共有 =20种不同的送书方法.答案：C,1 2 3 4 5 6,2.设mN*,且m15,则(15-m)(16-m)(20-m)等于 (),解析：15-m,16-m,20-m中的最大数为20-m,且共有20-m-(15-m)+1=6,所以(15-m)(16-m)(20-m)=答案：C,1 2 3 4 5 6,3.5人排成一排,其中甲、乙至少一人在两端的排法种数为 ()A.6B.84C.24D.48,答案：B,1 2 3 4 5 6,4.一个长椅上共有10个座位,现有4人去坐,其中恰有5个连续空位的坐法共有()A.240种B.600种C.408种D.480种,答案：D,1 2 3 4 5 6,5.有8种不同的菜种,任选4种种在不同土质的4块地里,有种不同的种法(用数字作答).解析：将4块不同土质的地看作4个不同的位置,从8种不同的菜种中任选4种种在4块不同土质的地里,则本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题,所以不同的种法共有 =8765=1 680(种).答案：1 680,1 2 3 4 5 6,6.乒乓球队的10名队员中有3名主力队员,要派5名队员参加比赛,其中3名主力队员安排在第一、三、五场的位置,从其余7名队员中选2名安排在第二、四场的位置,则不同的出场安排共有种.,答案：252,
