1、本 章 整 合,计数原理,专题1,专题2,专题3,专题4,专题5,专题一重复元素的排列、组合问题常见的排列、组合问题,其中的元素通常是不可重复的,那么遇到有重复元素的排列、组合问题时,该如何求解呢?(1)一般地,从n个不同元素里有放回地取出m(mn)个元素(允许重复出现),按一定顺序排成一列,那么第1次、第2次、第m次选取元素的方法都有n种,由分步乘法计数原理得,从n个不同元素里有放回地取出m个元素(允许重复出现)的排列数为N=nnnn=nm(m,nN*,mn).(2)“隔板法”是解决组合问题中关于若干个相同元素的分组问题的一种常用方法,用这种方法解决此类问题,过程简洁明了,富有创意性和趣味性
2、.这类问题的类型就是把n(n1)个相同的元素分配到m(1mn)个不同的组,使得每组中都至少有一个元素,求一共有多少种不同的分法的问题.,专题1,专题2,专题3,专题4,专题5,专题1,专题2,专题3,专题4,专题5,应用2乒乓球比赛用球的直径为40.00 mm,一种乒乓球筒高200 mm,现有4个乒乓球筒(除颜色不同外其他相同),要将5个比赛用球放到4个乒乓球筒里(乒乓球筒可以空着),共有多少种不同的放法?提示:由题意,一个乒乓球筒最多可放5个比赛用球.本题属于相同元素分组的问题,可分类讨论也可用隔板法.,专题1,专题2,专题3,专题4,专题5,专题1,专题2,专题3,专题4,专题5,专题二排
3、列与组合中元素的相邻与不相邻问题求解排列与组合中元素“相邻”和“不相邻”的问题,应遵循“先整体,后局部”的原则.(1)元素不相邻问题,一般用“插空法”,先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列,然后在“普通”元素之间或两端将需要不相邻的元素插入.(2)元素相邻问题,一般用“捆绑法”,先将相邻的若干元素捆绑为一个大元素,然后与其他元素全排列,最后松绑,将这若干个元素内部全排列.,专题1,专题2,专题3,专题4,专题5,专题1,专题2,专题3,专题4,专题5,专题1,专题2,专题3,专题4,专题5,专题1,专题2,专题3,专题4,专题5,应用(1+ax+by)n展开式中不含x的项的系数的绝对值的和为
4、243,不含y的项的系数的绝对值的和为32,则a,b,n的值可能为()A.a=2,b=-1,n=5B.a=-2,b=-1,n=6C.a=-1,b=2,n=6D.a=1,b=2,n=5提示:对于(1+ax+by)n,虽然我们没有学过三项展开式,但所谓“不含x的项”,只需令(1+ax+by)n中a=0即可,“不含y的项”也只需令b=0.这样三项展开式就变成了二项展开式,又可以用我们所熟悉的二项式的性质来解题了.解析:令a=0,y=1,则(1+b)n=243=35;令b=0,x=1,则(1+a)n=32=25,则可取a=1,b=2,n=5,故选D.答案:D,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,
5、1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,(1)当x1=y1=0时,AB=B,共有25个元素.(2)当x1=0,y1=-1时,AB中的元素为(x2,y2-1),其中不在B中的元素有(-2,-3),(-1,-3),(0,-3),(1,-3),(2,-3)共5个.(3)当x1=0,y1=1时,AB中的元素为(x2,y2+1),其中不在B中的元素有(-2,3),(-1,3),(0,3),(1,3),(2,3)共5个.(4)当x1=-1,y1=0时,AB中的元素为(x2-1,y2),其中不在B中的元素有(-3,-2),(-3,-
6、1),(-3,0),(-3,1),(-3,2)共5个.(5)当x1=1,y1=0时,AB中的元素为(x2+1,y2),其中不在B中的元素有(3,-2),(3,-1),(3,0),(3,1),(3,2)共5个.综上,AB中的元素共有25+54=45(个).答案:C,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,4.(2014福建高考)用a代表红球,b代表蓝球,c代表黑球.由加法原理及乘法原理,从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展开式1+a+b+ab表示出来,如:“1”表示一个球都不取,“a”表示取出一个红球,而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.依此类推,下列各式
7、中,其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是()A.(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5B.(1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5C.(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c5)D.(1+a5)(1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5),9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,解析:本题可分三步:第一步,可取0,1,2,3,4,5个红球,有1+a+a2+a3+a4+a5种取法;第二步,取0或5个蓝球,有1+b5种取法;第三步,取5个有区别的黑球
8、,有(1+c)5种取法.所以共有(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5种取法.故选A.答案:A,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,9,8,10,9.(2015课标全国高考)(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=.解析:(方法一)(1+x)4=x4+C43x3+C42x2+C41x+C40x0=x4+4x3+6x2+4x+1,(a+x)(1+x)4的奇数次幂项的系数为4a+4a+1+6+1=32,a=3.(方法二)设(a+x)(1+x)4=b0+b1x+b2x2+b3x3+b4x4+b5x5.令x=1,得16(a+1)=b0+b1+b2+b3+b4+b5,令x=-1,得0=b0-b1+b2-b3+b4-b5,由-,得16(a+1)=2(b1+b3+b5).即8(a+1)=32,解得a=3.答案:3,1,2,3,4,5,6,7,10,9,8,
