1、第二章推理与证明,2.1合情推理与演绎推理,2.1.1合情推理,目标导航,预习导引,目标导航,预习导引,1,2,3,1.归纳推理(1)归纳推理的含义由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理.(2)归纳推理的特征归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.,预习交流1(1)思考:归纳推理得出的结论一定是正确的吗?,提示:不一定.归纳推理是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,其推理的结论必然带有一定的猜测性,即由归纳推理得到的结论可能是正确的,也可能是错误的.,(2)做一做:已知12=1,112=1
2、21,1112=12 321,1 1112=1 234 321,由此可以推测:11 1112=.,答案:123 454 321,目标导航,预习导引,1,2,3,2.类比推理(1)类比推理的含义由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理.(2)类比推理的特征类比推理是由特殊到特殊的推理.,预习交流2思考:类比推理适合在什么情况下使用?它得出的结论一定正确吗?,提示:当给出的是两类不同的对象,且它们具有一些类似的特征时,可以使用类比推理.它得出的结论也是猜测性的,不一定正确.,目标导航,预习导引,1,2,3,3.合情推理及其推理过程(1)
3、合情推理的含义归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理,它们统称为合情推理.(2)合情推理的思维过程从具体问题出发观察、分析、比较、联想,预习交流3思考:合情推理有怎样的特点?,提示:(1)前提为真时结论可能为真的推理,是一种或然性推理.(2)是根据已有的事实、正确的结论、试验和实践结果以及个人经验推测某些结果的推理过程.(3)结论往往超出前提所控制的范围.,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,一、数、式中的归纳推理由已知数、式进行归纳推理的方法(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数、分式的分子和分母等方面的变化
4、规律.(2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征.(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点.(4)运用归纳推理得出一般结论.,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,思路分析:(1)先写出这个数列的前几项,再根据写出的项,归纳出通项公式.(2)观察给出的4个式子的特点,等式左边的部分注意从分式的项数、每个分式的分母找变化规律,等号右边的分数从分子、分母两个方面进行归纳.,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,答案:4n-1,一,二,三,知识精要,典题例
5、解,迁移应用,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,二、图形中的归纳推理通过一组平面或空间图形的变化规律,研究其一般性结论,通常需形状问题数字化,展现数字之间的规律、特征,然后进行归纳推理.解答该类问题的一般策略是:,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,【例2】 如图,在一次珠宝展览会上,某商家展出了一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝,第二件首饰是由6颗珠宝构成如图所示的正六边形,第三件首饰是由15颗珠宝构成的如图所示的正六边形,第四、五件首饰分别是由28颗和45颗珠宝构成的如图,所示的正六边形,以后每件首饰都在前一件的基础上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,使它构成更大的正六边形,
6、依此推断第六件首饰上应有颗珠宝,第n件首饰上应有颗珠宝.,思路分析:将图形问题转化为数列问题,利用归纳推理求解.,答案:662n2-n,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,解析:(方法一)5件首饰的珠宝颗粒依次为:1,6=23,15=35,28=47,45=59,归纳猜想第六件首饰上的珠宝颗数为611=66,第n件首饰上的珠宝颗数为n(2n-1)=2n2-n.(方法二)5件首饰的珠宝颗数依次为:1,1+5,1+5+9,1+5+9+13,1+5+9+13+17,则第六件首饰上的珠宝颗数为1+5+9+13+17+21=66,即每件首饰上的珠宝颗数构成一个以1为首项,4为公差的等差数列的前n项
7、和,并且第n件首饰有n项,故第n件首饰的珠宝颗数为1+5+9+(4n-3)=2n2-n.,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,1.黑白两种颜色的正六边形地面砖块按如图所示的规律拼成若干个图案,则第5个图案中白色地面砖块的个数是(),A.21B.22C.20D.23,答案:B,解析:由图形间的关系可以看出第2个图案比第1个图案多4块白砖,又第1个图案中白砖有6块.依次类推可知第5个图案中白砖共有6-(5-1)4=22块.,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,2.下面的图(1)是一个水平摆放的小正方体木块,图(2)、图(3)由这样的小正方体木块
8、叠放而成,按照这样的规律继续逐个叠放下去,那么在第七个叠放的图形中小正方体木块数应是(),A.25B.66C.91D.120,答案:C,解析:图(1)中只有一层,有(40+1)个正方体木块,图(2)中有两层,在图(1)的基础上增加了一层,第二层有(41+1)个正方体木块.图(3)中有三层,在图(2)的基础上增加了一层,第三层有(42+1)个正方体木块,依此类推,当图形有二层和七层时总的正方体木块的个数.,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,三、类比推理及应用1.类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征,推测正在被研究的事物的特征,因此类比推理的结果具有猜测性,不一定可靠.2.类比推理的一般
9、步骤(1)找出两类事物之间的相似性或一致性.(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想).3.常见的类比对象(1)平面与空间的类比,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,(2)等差数列与等比数列的类比,(3)实数的相等关系与不等关系;方程与不等式的性质.(4)实数的运算律与向量的运算律.(5)圆锥曲线的定义及性质.,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,(2)平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个,如两组对边分别平行.类似地,写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件.充要条件;充要条件.(写出你认为正确的两个充要条件),思路分析:(1)等差与
10、等比类比,和与积类比,倍数与乘方类比,由此猜想.(2)运用类比,由平面到空间,由四边形到四棱柱,四棱柱为平行六面体时其底面是平行四边形.,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,(2)两组相对侧面分别平行;一组相对侧面平行且全等;对角线交于一点;底面是平行四边形等(答案不唯一),一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,案例探究,误区警示,易错辨析:对归纳推理的特征掌握不准而致误对任意正整数n,猜想2n与n2的大小关系是.,答案:当n=3时,2n12;当n=2时,22=22;当n=3时,2352;当n=6时,2662,所以可以猜想:当n=3时,2nn2;当nN*,且n3时,2nn2.,防范措施,案例探究,误区警示,防范措施,案例探究,误区警示,防范措施,防止以偏概全:在进行归纳推理时,为避免出现以偏概全的情形,要对所归纳的命题加以分析、归纳、综合,从而得到更加全面、科学、正确的猜想,如本例中,要注意猜想n=3,n=2和n=4及n2,3,4的所有情况.,
