1、第3章,空间向量与立体几何,3.2空间向量的应用3.2.1直线的方向向量与平面的法向量,学习目标1.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义.2.会用待定系数法求平面的法向量.,1,预习导学 挑战自我，点点落实,2,课堂讲义 重点难点，个个击破,3,当堂检测 当堂训练，体验成功,知识链接,1.平面的法向量有无数个，它们之间有何关系？答：相互平行.2.一条直线的方向向量和平面法向量是否惟一？是否相等？答：不惟一，它们相互平行，但不一定相等.,预习导引,1.直线的方向向量直线l上的向量e(e0)以及与e共线的非零向量叫做直线l的.2.平面的法向量如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面，那么称
2、向量n 平面，记作 ，此时，我们把向量n叫做平面的 .,方向向量,垂直于,n,法向量,要点一直线的方向向量及其应用例1设直线l1的方向向量为a(1,2，2)，直线l2的方向向量为b(2,3，m)，若l1l2，则m_.解析由题意，得ab，所以ab(1,2，2)(2,3，m)262m42m0，所以m2.,2,规律方法若l1l2，则l1与l2的方向向量垂直；若l1l2，则l1与l2的方向向量平行.,跟踪演练1若直线l1，l2的方向向量分别是a(1，3，1)，b(8,2,2)，则l1与l2的位置关系是_.解析因为ab(1，3，1)(8,2,2)8620，所以ab，从而l1l2.,垂直,要点二求平面的法
3、向量例2已知点A(a,0,0)、B(0，b,0)、C(0,0，c)，求平面ABC的一个法向量.解设坐标原点为O，,(0，b,0)(a,0,0)(a，b,0)，,设平面ABC的一个法向量为n(x，y，z)，,不妨令xbc，则yac，zab.因此，可取n(bc，ac，ab)为平面ABC的一个法向量.,规律方法平面的法向量有无数条，一般用待定系数法求解，解一个三元一次方程组，求得其中一条即可，构造方程组时，注意所选平面内的两向量是不共线的，赋值时保证所求法向量非零，本题中法向量的设法值得借鉴.,跟踪演练2如图，ABCD是直角梯形，ABC90，SA平面ABCD，SAABBC1，AD ，求平面SCD与平
4、面SBA的法向量.解AD、AB、AS是三条两两垂直的线段，,要点三证明平面的法向量例3在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点.,证明如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则,规律方法用向量法证明线面垂直的实质仍然是用向量的数量积证明线线垂直，因此，其思想方法与证明线线垂直相同，区别在于必须证明两个线线垂直.,跟踪演练3已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，在BC、DD1上是否存在点E、F，使 是平面ABF的法向量？若存在，证明你的结论，并求出点E、F满足的条件；若不存在，请说明理由.解建立如图所
5、示的空间直角坐标系，则A(1,0,1)，B(1,1,1)，B1(1,1,0)，设F(0,0，h)，E(m,1,1)，,故存在，且E、F满足D1FCE.,1,2,3,4,1.已知a(2,4,5)，b(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量.若l1l2，则x_，y_.,6,1,2,3,4,2.若A(1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为_.,(1,2,3),1,2,3,4,3.若a(1,2,3)是平面的一个法向量，则下列向量中能作为平面的法向量的是_.(0,1,2)(3,6,9)(1，2,3)(3,6,8)解析向量(1,2,3)与向量(3,6,9)共线.,1,2,3,4,8,课堂小结,2.平面的法向量的求法若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：(1)设出平面的法向量为n(x，y，z).(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2).,(4)解方程组，取其中的一组解，即得法向量.,
