1、1,3.1 回归分析的基本思想 及其初步应用(二)临清二中赵孝金,选修2-3之第三章统计案例,2,前置测评,为样本点的中心,3,2、我们通常用相关系数r来描述两个变量之间线性相关关系的强弱。,其中：(1)|r|1； (2)|r|越接近于1，相关程度越强， |r|越接近于0，相关程度越弱； (3) b 与 r 同号。,前置测评,4,3、线性回归模型：,其中：e是随机误差，均值E(e)=0，方差D(e)=20,当随机误差e恒等于0时，线性回归模型就变成一次函数模型。即：一次函数模型是线性回归模型的特殊形式。,4、相关系数r与随机误差e一般有什么关系？,前置测评,5,随机误差,e的估计量,样本点：,
2、相应的随机误差为：,相应的随机误差估计值为：,称为相应于点 的残差,称为残差平方和。,实际上即为具体到某点的随机误差估计值。,6,残差分析,在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否是线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据.然后，可以通过残差 来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据.这方面的分析工作称为残差分析。,7,以纵坐标为残差，横坐标为编号，作出图形（残差图）来分析残差特性.,8,由图可知，第1个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集这两个样本点的过程中是否有人为的错误.如果数据采集有错误，就予以纠正，然后重新利用线性回归模型拟合数据;如果数
3、据采集没有错误，则需要寻找其他原因.,9,问：如何刻画模型拟合的精度？,相关指数：,(1)在含有一个解释变量的线性模型中，R2恰好等于相关系数r的平方.,(2)R2取值越大（越接近1），则残差平方和越小，即模型的拟合效果越好.(实际上就是：|r|越大，则|e|越小),(3)在例1中我们可以求出R2=0.64，表明：“女大学生的身高解释了64的体重变化”，或者说“女大学生的体重差异有64是由身高引起的”。,其中：,10,建立回归模型的基本步骤：,（1）确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量;,（2）画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（是否存在线性关系）；
4、,（3）由经验确定回归方程的类型（如观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程y=bx+a）；,（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）；,（5）得出结果后分析残差图是否异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性等），若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等.,是否存在线性关系,11,解：收集数据作散点图：,12,在散点图中，样本点没有分布在某个带状区域内，因此两个变量不呈现线性相关关系，所以不能直接利用线性回归方程来建立两个变量之间的关系.,根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线 的周围，其中c1和c2是待定参数.,令z=lny，则变换后样本点
5、应该分布在直线z=bx+a（a=lnc1，b=c2）的周围.,利用线性回归模型建立y和x之间的非线性回归方程.,当回归方程不是形如y=bx+a时，我们称之为非线性回归方程.,13,所得线性回归方程为：,a=lnc1，b=c2,所以红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为：,14,若看成样本点集中在某二次曲线y=c3x2+c4的附近.,作变换t=x2，建立y与t之间的线性回归方程：y=c3t+c4.,还可以拟合成什么函数模型？,15,y关于x的二次回归方程为：,16,利用残差计算公式：,由残差平方和：,故指数函数模型的拟合效果比二次函数的模拟效果好.,或由条件R2分别为0.98和0.80，同样可得它们的效果.,17,给定样本点：,两个含有未知参数（a、b为未知参数）的模型：,如何比较它们的拟合效果：,（1）分别建立对应于两个模型的回归方程,分别是参数a和b的估计值.,（2）分别计算两个回归方程的残差平方和,18,作业,习题3.1 A组 1、3,
