1、21.2,数列的递推公式,【学习目标】,1了解数列的递推公式,2能根据给出的递推公式求数列的前几项,递推公式,前一项 an1(或前几项),如果已知数列an的第 1 项(或前几项)，且任何一项 an 与它的_间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式,则 a2_，a3_.,1,【问题探究】,1数列的递推公式是 n 的函数关系式吗？答案：不是,2通项公式与递推公式有何异同？,答案：相同：二者都可确定一个数列，都可求出数列的任何一项不同：通项公式是 n 的函数关系式，可直接求出任一项；而递推公式可根据第一项(或前 n 项)的值，通过一次(或多次)赋值逐项求出数列的值，直至求出
2、所需的项 an.,题型 1,已知数列的递推公式，求前几项及其通项公式,【例 1】 已知数列an满足 an12an1，nN*.(1)若 a11，写出此数列的前 4 项，并推测该数列的通项公式；(2)若 a11，写出此数列的前 4 项，并推测该数列的通项公式,解：(1)a1a2a3a41，可推测该数列an的通项公式为an1.(2)a11，a22113，a32317，a427115，可推测该数列an的通项公式为an2n1.,(另解：由an12an1an112(an1)an11(a11)2n1an12n1.),数列的递推公式是由递推关系式(递推)和首项,或前几项(基础)两个因素所确定的，即便递推关系完
3、全一样，而首项不同就可得到两个不同的数列，适当配凑是本题进行归纳的前提,【变式与拓展】1根据递推公式，分别写出它的前 5 项，并归纳出通项公式：,(1)a10，an1an(2n1)(nN*)；,解：(1)a10，a2a111，a3a234，a4a359，a5a4716.由a102，a212，a322，a432，a542，可归纳出an(n1)2.,题型 2,已知递推公式，用累加法求通项公式,【例 2】 已知在数列an中，a15，anan13(n2)，求数列an的通项公式思维突破：先对anan13 从 2 到 n 进行取值，得到 n1 个式子，再把这 n1 个式子相加，消去中间项解：由递推关系 a
4、nan13(n2)，得a2a13，a3a23，,an1an23，anan13.将以上(n1)个式子左右两边同时相加，得a2a3an1ana13a23a33an13.消去a2a3an1，并整理，得ana13(n1)a15，an3n2.,若数列有形如an1anf(n)的递推公式，且可求f(1)f(2)f(n)，可用累加法求通项公式,【变式与拓展】,2已知在数列an中，a11，anan1cos(n1)(n2)，求an.,解：由递推关系，anan1cos(n1)(n2)，得 a2a1cos，a3a2cos2，an1an2cos(n2)，anan1cos(n1). 将以上(n1)个式子左右两边同时相加，
5、得 a2a3an1an,a1cosa2cos2an2cos(n2)an1cos(n1). 消去a2a3an1，并整理，得ana1coscos2cos3cos(n1). a11，an1coscos2cos3cos(n1),题型 3,已知递推公式，用累乘法求通项公式,【例3】 已知a12，an12an，求an.,思维突破：对an12an从1到n1进行取值，得到n1个式子，再把这n1个式子相乘，消去中间项,公式，可用累乘法求通项公式,【变式与拓展】,【例 4】 根据图 2-1-1 中的框图，建立所打印数列的递推公式，试写出这个数列的前 4 项，并归纳出递推公式,图 2-1-1,易错分析：没有准确把握相邻两项(即 an1 与 an)之间的联系和区别,方法规律小结,1数列的递推公式是数列的另一种给出方法，注意它与通,项公式的区别及其用法,2递推数列的题型多样，求递推数列的通项公式的方法也非常灵活，解题时要仔细辨析递推关系式的特征，准确选择恰当的方法，通过适当的策略将问题进行化归，是迅速求出通项公式的关键,
