1、1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(一),【自主预习】主题1:周期函数及正弦函数、余弦函数的周期性1.观察f(x)的部分图象,思考下列问题:,(1)观察图形,函数图象每相隔多少个单位重复出现?提示:每相隔1个单位重复出现.,(2)由诱导公式一: 结合正(余)弦曲线,可以看出正(余)弦函数怎样的特征?图象变化趋势是怎样的?,提示:自变量x增加2的整数倍时,函数值重复出现,图象发生“周而复始”的变化.定义:_,对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得,当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么,函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的,周期.,最小正周期:定义:
2、_,如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小,的正数,那么这个最小正数称为函数f(x)的最小正周期,简称周期.,(3)对于一般函数y=f(x)如何描述这种相似的特征?正弦函数、余弦函数是_,_都是它的周期,最小正周期是_.,周期函数,2k(kZ且k0),2,主题2:正弦函数、余弦函数的奇偶性观察正弦曲线和余弦曲线,回答下面的问题.正弦曲线,余弦曲线,(1)观察正弦曲线和余弦曲线具有怎样的对称性?提示:y=sinx,xR的图象关于原点对称,y=cosx,xR的图象关于y轴对称.,(2)上述特征反映出正、余弦函数的什么性质?用符号语言描述:sin(-x)=-sinx,cos(-x)=cosx
3、. 正弦函数、余弦函数的奇偶性:正弦函数为_,余弦函数为_.,奇函数,偶函数,【深度思考】结合教材P35例2你认为应怎样通过解析式求周期?第一步:_;第二步:_.,利用变形:sin(x+2)=sin +,由周期函数的定义求出周期,【预习小测】1.函数f(x)=sin(-x)的奇偶性是()A.奇函数 B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数【解析】选A.f(x)=sin(-x)=-sinx,f(-x)=-sin(-x)=sinx=-f(x).故f(x)为奇函数.,2.下列函数中最小正周期为 的是()A.y=cos x B.y=cos x C.y=sin3x D.y=sin 4x【解析】
4、选D.y=cos x的最小正周期为6.y=cos x的最小正周期为4.y=sin3x的最小正周期是 .y=sin4x的最小正周期是 .,3.函数y=3cos 的最小正周期是()A.B.C.2D.5【解析】选D.最小正周期 .,4.f(x)=sinxcosx是(填“奇”或“偶”)函数.【解析】f(-x)=sin(-x)cos(-x)=-sinxcosx=-f(x).所以f(x)=sinxcosx是奇函数.答案:奇,5.已知函数f(x)=sin (0)的周期为,则f = .【解析】由f(x)=sin (0)的周期为,所以 =,故=2.所以f(x)=sin ,所以答案:,【互动探究】1.利用周期函数
5、的定义探求y=Asin(x+)(0)的周期.提示:因为Asin =Asin(x+)+2=Asin(x+).,由周期函数的定义可知,函数y=Asin(x+)(0)的周期为T= .,2.若函数y=Asin(x+)为奇函数,则应满足什么条件?若为偶函数呢?提示:若函数y=Asin(x+)为奇函数,则=k,kZ,若函数y=Asin(x+)为偶函数,则=k+ ,kZ.,3.若函数y=Acos(x+)是偶函数,则应满足什么条件?若为奇函数呢?提示:若函数y=Acos(x+)是偶函数,则=k,kZ.若函数y=Acos(x+)是奇函数,则=k+ ,kZ.,【探究总结】知识归纳:,方法总结:函数周期的求法(1)
6、定义法:将f(x+T)化成f ,然后由定义求得周期为 .(2)公式法:y=sin(x+)的周期T= .(3)图象法:观察图象的变化趋势求周期.,【题型探究】类型一:求三角函数的周期【典例1】(1)(2016承德高一检测)函数f(x)=2sin(2x+)的最小正周期为.(2)作出函数f(x)= 的图象,并求f(x)的最小正周期.,【解题指南】(1)利用三角函数的周期公式T= 求解.(2)先化简f(x)的解析式,并作出该函数图象,然后根据图象求f(x)的最小正周期.【解析】(1)由 得函数f(x)=2sin(2x+)的最小正周期为.答案:,(2)将f(x)= 化为f(x)=|sinx|,因为f(x
7、)=|sinx|=所以作出f(x)= 的图象如图所示.由图象可知f(x)的最小正周期为.,【延伸探究】1.若题(2)条件不变,则判断f(x)的奇偶性.【解析】由函数f(x)= =|sinx|,其定义域为R,且f(-x)=|sin(-x)|=|-sinx|=|sinx|=f(x).故f(x)= 为偶函数.,2.题(2)中“函数f(x)= ”换为“函数f(x)= ”,其他条件不变,其结论又如何呢?【解析】f(x)= =|cosx|,图象如图所示.由图可知T=.,【规律总结】对函数最小正周期的理解(1)最小正周期是指能使函数值重复出现的自变量x要加上的那个最小正数,这个正数是对x而言的,如y=sin
8、2x的最小正周期是,因为y=sin(2x+2)=sin2(x+),即是使函数值重复出现的自变量x加上的最小正数,是对x而言的,而非2x.,(2)并不是所有的周期函数都有最小正周期,譬如,常数函数f(x)=c,任意一个正实数都是它的周期,因而不存在最小正周期.,【补偿训练】求函数f(x)=2cos 的最小正周期.【解析】由T= ,所以f(x)=2cos 的最小正周期为,类型二:正、余弦函数的奇偶性【典例2】判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=xsin(+x).(2)f(x)=sinxsin .,【解题指南】先判断函数的定义域是否关于原点对称,再判断f(-x)与f(x)的关系,进而可确定函数的奇
9、偶性.【解析】(1)f(x)的定义域为R,因为f(x)=xsin(+x)=-xsinx,f(-x)=-(-x)sin(-x)=-xsinx,所以f(-x)=f(x).故f(x)为偶函数.,(2)f(x)的定义域为R,由已知可得f(x)=sinxcosx,因为f(-x)=sin(-x)cos(-x)=-sinxcosx=-f(x),所以f(x)是奇函数.,【规律总结】三角函数奇偶性的判断方法(1)定义法:借助诱导公式利用奇偶函数的定义判断.(2)图象法:作出三角函数图象根据对称性作出判断.,【巩固训练】1.若函数 是偶函数,则a=_.【解析】因为,所以答案：-3,2.判断下列函数的奇偶性:(1)
10、f(x)= .(2)f(x)= .【解题指南】先求定义域,再由f(-x)与f(x)的关系判断.,【解析】(1)因为函数的定义域为R,且 所以f(-x)=cos =cos x=f(x),故函数f(x)=sin 是偶函数.,(2)由2cosx-10,即cosx ,得定义域为(kZ).定义域关于原点对称.再由f(-x)= =f(x),故f(x)= 是偶函数.,类型三:三角函数周期性与奇偶性的综合【典例3】(1)(2016济宁高一检测)设函数f(x)=sin ,则f(x)是 ()A.最小正周期为的奇函数B.最小正周期为的偶函数,C.最小正周期为 的奇函数D.最小正周期为 的偶函数,(2)定义在R上的函
11、数f(x)既是偶函数又是周期函数.若f(x)的最小正周期是,且当x 时,f(x)=sinx,则f 的值为(),【解题指南】(1)先将f(x)=sin 化简,再判断.(2)利用周期性及奇偶性将f 的值转化为 范围内的某一角的值.,【解析】(1)选B.因为f(x)=sin =-sin=-cos2x,所以该函数的最小正周期为,且为偶函数.(2)选D.,【规律总结】1.利用周期性和奇偶性解决求值问题的方法利用函数的周期性,可以把x+nT(nZ)的函数值转化为x的函数值.利用奇偶性,可以找到-x与x的函数值的关系,从而可解决求值问题.,2.判断y=Asin(x+)或y=Acos(x+)是否具有奇偶性的关键判断函数y=Asin(x+)或y=Acos(x+)是否具备奇偶性,关键是看它能否通过诱导公式转化为y=Asinx(A0)或y=Acosx(A0)其中一个.,【巩固训练】若f(x)是以2为周期的奇函数,且当x(-1,0)时,f(x)=2x+1,求f 的值.,【解析】因为f(x)是以2为周期的函数,所以又f(x)是奇函数,所以,又当x(-1,0)时,f(x)=2x+1.所以,
