1、22 直接证明与间接证明一、学习内容、要求及建议知识、方法 要求 建议分析法与综合法 了解结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法，了解分析法和综合法的思考过程、特点反证法 了解 了解间接证明的一种基本方法反证法，了解反证法的思考过程、特点二、预习指导1预习目标了解数学证明的基本方法分析法、综合法、反证法的思考过程和特点，体会证明的必要性2预习提纲(1)回顾八年级(下册)(江苏科学技术出版社)，第十一章图形与证明 (一)第 134137 页，回味：“证明中，学会有条理地思考 ”(2)直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明，通常称为_，直接证明的一般形式为：_(3)直
2、接证明的两种基本方法是分析法和综合法，分析法与综合法的推证过程如下：_(4)_是一种常用的间接证明方法，反证法的证明过程可以概括为_，用反证法证明一个命题常常包括 3 个步骤：_(5)结合课本第 8081 页的例 1，体会分析法、综合法的思考过程和特点，并作比较；结合课本第 8283 页的例 1 和例 2，体会反证法的思考过程和特点，小结解题步骤(6)阅读课本第 79 页至第 83 页内容，并完成课后练习(7)综合法、分析法和反证法在证明数学结论中起到主导作用，试举例说明，并与同学交流3典型例题(1) 综合法是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的
3、结论成立的方法其特点是“由因导果”比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法用比较法证明不等式的步骤是：作差(或作商) 、变形、判断例 1 若实数 求证： ；1x， 2423()(1)xx 已知 ，求证： ,abRaba分析： 采用差值比较法证明思考：若题设中去掉 这一限制条件，要求证的结论如x何变换? 可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行 证明： 2423(1)(1)xx= 423x= 432()x2()1)= 2213()4x， ,043)21(,0)(, x且从 而 221x 423()()x。法 1(差值比较法 )： 要证的不等式关于 对称， 不妨设,ab0ab，0()0aba
4、bab， ab法 2(商值比较法)：不妨设 ，1,0b()a， 1bab，又 ，0ba (2)分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件或明显成立的结论综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题对于解答证明来说，分析法表现为“执果索因”，综合法表现为“由因导果”，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛例 2 已知： ，求证： ；0,babab设 a、 b 是两个正实数，且 ab，求证：a 3b 3a2bab 2分析： 分析法和综合法是两种常用的思维
5、方法，人们常用它们来寻求证明问题的思路推证过程如下：综合法：已知条件 结论； 分析法：结论 已知条件 我们可以根据题目的实际情况选用适当的方法证明: (综合法) ： ，0,ba21()()() 0.abababab （ ）(综合法)： 22bab， a bab(综合法)：ab， ab0，(ab) 20，即 a22abb 20亦即 a2abb 2ab0由题设条件知，ab0，(a b)(a2abb 2)(ab)ab即 a3b 3a 2bab 2证明 2(分析法)：要证 a3b 3a 2bab 2 成立，只需证(ab)( a2ab b2)ab(ab)成立，ab0， 只需证 a2abb 2ab 成立只
6、需证 a22abb 20 成立，即需证(ab) 20 成立而由已知条件可知，ab，有 ab0，所以(ab) 20 显然成立，由此命题得证例 3 如图，在底面为平行四边形的四棱锥 PABCD 中，ABAC，PA平面 ABCD，点 E 是 PD 的中点()求证：ACPB； ()求证：PB/平面 AEC 分析： 对于立体几何中的证明问题，我们通常先用分析法思考：要证结论需要用什么定理，运用定理需要什么条件，然后找到或构造出这些条件，最后用综合法书写证明过程解：() PA平面 ABCD，且 AC 平面 ABCD，ACPA，又 ABAC，ABPA=A，AB 平面 PAB，PA 平面 PAB，AC平面 P
7、AB，而 PB 平面 ABCD， ACPB； ()连接 BD，与 AC 相交于 O，连接 EO， ABCD 是平行四边形， O 是 BD 的中点， 又 E 是 PD 的中点， EOPB，又 PB 平面 AEC，EO 平面 AEC，PB平面 AEC (3)反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后从这个假设出发，经过正确的推理，导出矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法用反证法证明一个命题常采用以下步骤：假设命题的结论不成立； 进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与定义、公理、定理或公式矛盾；自相矛盾等；由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假
8、设“结论不成立”是错误的；肯定原来命题的结论是正确的即“反设归谬存真” 例 4 求证： 是无理数；3 若 为奇数，则 是无理数p21p分析： 本题宜采用反证法证明证明： 假设 是有理数，则存在互质的整数 ，使得 ，3,mn3n ，即 ， 为 3 的倍数，mn2设 ， ，即 ，*3()kN29kn2k 也为 3 的倍数，这与 互质矛盾，,m假设错误， 是无理数； 假设 是有理数，则存在互质的整数 ，使得 ，21p,mn21mpn则 ，()mn ，22 ，()p 为偶数，mn 为偶数，()()2m 与 同为偶数或同为奇数，它们的积为偶数， 与 同为偶数，n设 ， ，2nrt*(,)rN ，即 ，2
9、rtpn2rt 为奇数 为偶数， 为偶数， 也为偶数，这与 互质矛盾，m,n假设错误， 是无理数21(4)反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在 /不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小 )于；都是/不都是；至少有一个 /一个也没有；至少有 n 个/至多有(n 一 1)个；至多有一个/至少有两个；唯一 /至少有两个归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木导出矛盾通常有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾
10、；自相矛盾等如果结论的反面不止一种情形，我们要对各种情形分别导出矛盾例 5 设 求证：32ab， 2ab； 设 0 0，ab bc ca 0，abc 0，求证：a， b， c 0 分析： 用反证法证明时，分清结论的反面是什么，有几种情形证明： 假设 则有2， b，32328168(1)ab， 26()， 这与题设条件 矛盾，3， 32ab原不等式 成立； ab假设 (1 a)b，(1 b)c ，(1 c)a 同时大于 ，14即 (1 a)b (1 b)c (1 c)a 14， ， ，则三式相乘：(1 a)b (1 b)c(1 c)a 164，又 0 0， bc 0， 则 b c = a 0ab
11、 bc ca = a(b c) bc 0 矛盾， 必有 a 0同理可证：b 0， c 0例 6 设二次函数 2()fxpq，求证： 中至少有一个不小于 (1),3f 12分析：导出矛盾时，有时会用到其它章节的有关知识，推理要严谨证明：假设 都小于 ，则 (1)(),2,()ff()()32fff，另一方面，由绝对值不等式的性质，有(2)(1)()3(1)2(3)249fffffpqpqpq，(1)、(2)两式矛盾，所以假设不成立， 中至少有一个不小于 (),2,()ff 12例 7 设 是公比不相等的两个等比数列， ，,nabnncab证明数列 不是等比数列c分析：否定性命题通常用反证法证明证
12、明：假设数列 是等比数列，则n211()()()nnnabab 是公比不相等的两个等比数列，设公比分别为 ，, ,pq ， 21nn21n代入 并整理得：，即 11()nnnnpqabab2pq当 异号时， ，与相矛盾；,pq0pq当 同号时， ， ，与 相矛盾,2p数列 不是等比数列nc例 8 若 10a， 1， 12nna(1,2)，(1)求证： ；1nn(2)令 写出 a2，a 3，a 4，a 5 的值，观察并归纳出这个数列的通项公式 an；a，(3)证明：存在不等于零的常数 p，使 是等比数列，并求出公比 q 的值n分析：(1)宜采用反证法证明解：(1) 若 ，即 ，解得 1nna2n
13、a01na或 10或这与题设 相矛盾，a， 1故 成立；1nn(2) 2a， 3， 45a， 89， 5167a，归纳出这个数列的通项公式为 ；12nn(3) 又1()2nnppaa， 1nnpqa，(2)(1)0qq，上式是关于变量 an 的恒等式，解得 ， 12p4自我检测(1)比较大小：2 365(2)设 mn，x=m 4m 3n，y=n 3mn 4，则 x 与 y 的大小关系为_(3)已知 ，则 a 与 b 的大小关系是_ 1,1cacbc(4)设 a、b、m 都是正整数，且 ab，则下列不等式中恒不成立的是 _ 1m三、课后巩固练习A 组1已知直线 l、m，平面 、，且 l，m ，给
14、出下列四个命题：(1)若 ，则 lm； (2)若 lm，则 ；(3)若 ，则 lm； (4)若 lm，则 ；其中正确命题的个数是 _2给出下列三个命题：若 ；若正整数 满足 ，则1,abab则 nm和 ；设 上任意一点，圆 以 为圆心2)(n 9:),(21yxOyxP为 圆 2O),(baQ且半径为 1当 时，圆 相切)(2221与 圆其中假命题的个数是_ 3下列四个命题：若 012 1a1a ；2a若 x、 y R，满足 y=x ，则 log 的最小值是 ； 若 a、b R，则22()xy78其中正确的是_ 21bb4下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口 的机
15、动车辆,ABC数如图所示，图中 分别表示该时段单位时123,x间通过路段 的机动车辆数(假设：单位AB时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等)，则 将 从大到小排列为123x， ，_5(1)用反证法证明“若 0，则 ba”时的假设为_；ba21(2)用反证法证明命题“如果 那么 ”时，假设为_；,a3bNMPCBA(3)用反证法证明命题时， “若 且 ，则 和 中至少有一个小0,xy2xy1yx于 2”时，假设为_6否定结论“至多有两个解”的说法有一个解；有两个解；至少有三个解；至少有两个解中，正确的是_ 7已知 l，a 、b ，若 a、b 为异面直线，则 a、b 都与 l 相
16、交；a、b 中至少一条与 l 相交；a 、b 中至多有一条与 l 相交；a、b 都不与 l 相交中，正确的是_8设 大于 0，则 3 个数： ， ， 的值的情况是都大于 2；至少一,c1c1个不大于 2；都小于 2；至少有一个不小于 2 中的_B 组9设 是至少含有两个元素的集合，在 上定义了一个二元运算“*”(即对任意的 ，SSabS，对于有序元素对( )，在 中有唯一确定的元素 与之对应)若对任意的 ，ab， *ab，有 ，则对任意的 ，下列等式中不恒成立的是_)*ab， ()*ab () b10设 ，求证： 0,1ab18ab11已知 求证：,c4.c12如图： 是 所在平面外一点， 平
17、面 ， 是PABC,PABPA的中点， 是 上的点， 求证： N3NMN13已知 均为实数，且cba,，62,322xzczyx求证： 中至少有一个大于 c,014证明： 不能为同一等差数列的三项5,3C 组15设 1A， 2， 3， 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若 1312A（R ） ，4（R ） ，且12，则称 3A， 4调和分割 ， 2，已知平面上的点C，D 调和分割点 A，B，则下面说法正确的是_C 可能是线段 AB 的中点 D 可能是线段 AB 的中点C，D 可能同时在线段 AB 上 C，D 不可能同时在线段 AB 的延长线上16若实数 a，b 满足 0,b且 0a，则称 a
18、 与 b 互补，记2(,),abab那么 0是 a 与 b 互补的_条件17设 ,A, 4B， 4,Ct, DtR.记 Nt为平行四边形 ABCD 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数 t的值域为_18(1)已知数列 ，其中 ，且数列 为等比数列，求常数 ；ncnn32npc1 p(2)设 ， 是公比不相等的两个等比数列， ，证明数列 不是等比数nabnbanc列19对于直线 l：y =kx1，是否存在这样的实数 k，使得 l 与双曲线 C：3x y =1 的交点2A、B 关于直线 y=ax(a 为常数) 对称? 若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由20在平面直角坐标系 O 中，直线 与抛物线 相交于 、 两点xlxy2AB(1)求证：“如果直线 过点 ，那么 ”是真命题；l0,3TAOB3(2)写出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由知识点 题号 注意点分析法与综合法 14，912分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法，注意灵活它们寻求解题思路反证法 58，13，14 注意正确地作出假设综合问题 1520 灵活运用分析法、综合法与反证法解题四、学习心得
