1、3.1 直线的倾斜角与斜率3.1.1 倾斜角与斜率,第三章 直线与方程,1.正确理解直线的倾斜角和斜率的概念；（重点）2.理解直线的倾斜角的唯一性；3.理解直线的斜率的存在性；（难点）4.斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式（重点、难点）,勒奈笛卡尔（Ren Descartes，1596-1650）：法国数学家、科学家和哲学家，堪称17世纪以来欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一，被誉为“近代科学的始祖”.,坐标法：以坐标系为桥梁，把几何问题转化成代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的方法.,解析几何,坐标法,观察下列的翘翘板，翘翘板的位置固定吗？,我们学过函数y=x+1,它的图象
2、是什么？,如何在平面直角坐标系内确定它的位置?,两点确定一条直线.,一条直线,思考1 已知直线l经过点P，直线l 的位置能够确定吗？,y,不确定.过一个点有无数条直线.,这些直线有何区别？,它们的倾斜程度不同,如何描述直线的倾斜程度？,x,y,o,规定：当直线l和x轴平行或重合时，它的倾斜角为0,l,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角.,直线倾斜角的范围为：,一、直线的倾斜角,思考2 直线的倾斜程度与倾斜角有什么关系？,平面直角坐标系中每一条直线都有确定的倾斜角;,倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角;,倾斜程度相同的直线其倾斜角相同.,x,y,O,l,思考3 确定平面直角坐标系中一条直线的几何
3、要素是什么？,x,y,o,直线上的一个定点及它的倾斜角二者缺一不可,思考4 日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？,3m,3m,坡度越大，楼梯越陡,“坡度比”是“倾斜角”的正切值.,二、直线斜率的定义,通常用小写字母k表示，即,一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率(slope).,倾斜角不是90的直线都有斜率.,注意：,如图，若为锐角,思考5 已知一条直线上的两点坐标，如何计算斜率？,结论：当时，斜率k0.,若为钝角，,结论：当 时，k.,同样，当 的方向向上时，也有 成立.,说明：此公式与两点坐标的顺序无关.,思考6 当直线P1P2平行于x轴，或与x轴重合时， 还适用吗？为什么？,O
4、,适用,O,思考7 当直线平行于y轴，或与y轴重合时，公式还适用吗？,不适用，因为分母为0.斜率不存在.,三、斜率公式,公式特点：,(1)与两点坐标的顺序无关;,(2)公式表明,直线的斜率可以通过直线上任意两点的坐标来表示,而不需要求出直线的倾斜角；,(3)当x1=x2时,公式不适用,此时=90.,经过两点 的直线的斜率公式,例1 如下图，已知A(3，2),B(-4，1),C（0，-1）,求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.,分析：直接利用公式求解,由 及 知，直线AB与CA的倾斜角均为锐角；由 知，直线BC的倾斜角为钝角,斜率为正，倾斜角为锐角；斜率为负，倾斜
5、角为钝角；斜率为0，倾斜角为0；斜率不存在时，倾斜角为直角.,已知A(3，5)，B(4，7)，C(-1，x)三点共线，则x等于( )(A)-1 (B)1 (C)-3 (D)3解：选C.因为 又A、B、C三点共线，所以kAB=kAC，即 解得：x=-3.,例2 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1，2及-3的直线l1，l2，l3及l4.,x,y,解：设A1（x1,y1）是l1上任一点， 根据斜率公式有:,即x1=y1.,设x1=1，则y1=1 ，于是A1的坐标是（1,1）过原点及点A1（1,1）的直线即为l1,分析：找出直线异于原点的点.,O,同理l2是过原点及点A2（1，-1）的直线， l3是过原点及点A3（1，2）的直线， l4是过原点及点A4（1，-3）的直线,x,y,O,l1,1.直线倾斜角的定义及其范围：,2.斜率k与倾斜角 之间的关系：,3.斜率公式：,“几何问题代数化”的思想,不是每一粒种子都能发芽，不是每一段路程都铺满鲜花，不过不要忘记，乌云遮不住太阳的光华。,
