1、第七节 正弦定理和余弦定理,正弦定理与余弦定理,b2+c2-2bccos A,c2+a2-2cacos B,a2+b2-2abcos C,2Rsin A,2Rsin B,2Rsin C,abc,判断下面结论是否正确（请在括号中打“”或“”）.（1）在ABC中，AB必有sin Asin B.（ ）（2）正弦定理对钝角三角形不成立.（ ）（3）在ABC中共有三个角、三个边六个量，可以已知三个量求另外三个量.（ ）（4）余弦定理对任何三角形均成立.（ ）（5）正弦定理可以实现边角互化，但余弦定理不可以.（ ）,【解析】(1)正确.AB,ab, 由正弦定理可得又sin B0,sin Asin B.（2
2、）错误.正弦定理对任意三角形均成立.（3）错误.当已知三个角时不能求三边.（4）正确.由余弦定理推导过程可知对任意三角形均适用.（5）错误.余弦定理可以实现角化边，也能实现边化角.答案：（1）（2）（3）（4） （5）,1.在ABC中，a=3,A=30,B=60，则b等于（ ）【解析】选A.由正弦定理得,2.在ABC中， 则边c等于（ ）【解析】选B.由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=16+12-24 =4,c=2.,3.ABC满足acos B=bcos A，则ABC的形状为（ ）(A)直角三角形(B)等边三角形(C)等腰三角形(D)等腰直角三角形,【解析】选C.由acos B=
3、bcos A及正弦定理得，sin Acos B=sin Bcos A，即sin Acos B-cos Asin B=0,故sin(A-B)=0,故A-B=0，因而A=B,所以ABC是等腰三角形.,4.在ABC中，B30，C120，则abc_.【解析】A1803012030，由正弦定理得，abcsin Asin Bsin C答案：,5.在ABC中，已知a2b2bcc2，则角A等于_.【解析】由已知得b2c2a2bc，答案：,考向 1 正弦定理的应用【典例1】（1）（2013中山模拟）在ABC中, 则B=（ ）,(2)ABC中， BC=3，则ABC的周长为（ ）(3)如图,在ABC中，点D在BC边
4、上，AD=33, 求sinABD的值;求BD的长.,【思路点拨】（1）利用正弦定理求解即可.（2）利用 求解即可，也可取特殊值验证.（3）利用ABD=ADC-BAD及两角差的正弦公式求解；利用正弦定理求解.,【规范解答】（1）选C.由正弦定理可得,(2)选D.方法一：由正弦定理得得故三角形的周长为：方法二：可取ABC为直角三角形，令 周长应为 故排除A，B，C.,(3)因为cos 因为ABD=ADC-BAD,所以sinABD=sin (ADC-BAD)=sinADCcos BAD-cos ADCsinBAD,在ABD中，由正弦定理，得所以,【互动探究】若将本例题(2)中添加 如何求边AB？【解
5、析】,【拓展提升】1.三角形解的情况判断已知两边和其中一边的对角,解三角形时,注意解的情况.如已知a,b,A,则有两解、一解、无解三种情况.,2.解三角形中的常用公式和结论（1）A+B+C=.（2）0A，B，C，sin(A+B)=sin C，cos(A+B)=-cos C，tan（A+B）=-tan C.（3）三角形中等边对等角,大边对大角,反之亦然;三角形中任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.,【变式备选】在ABC中， B=45.求角A，C和边c.【解析】由正弦定理得, ab,A=60或A=120.当A=60时，C=180-45-60=75,当A=120时，C=180-45-12
6、0=15,考向 2 余弦定理的应用 【典例2】（1）在ABC中，(2a-c)cos B=bcos C,则角B等于（ ）（2）已知ABC中，sin Asin Bsin C=324，则cos C等于（ ）,（3）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，且满足 则边a=（ ）【思路点拨】(1)利用余弦定理代入整理转化可求.(2)利用已知条件得a,b,c关系，再利用余弦定理可求.(3)利用已知可得cos A及bc的值，从而利用余弦定理可求a.,【规范解答】（1）选C.由(2a-c)cos B=bcos C得得又0B,B= （2）选B.由sin Asin Bsin C=324,abc=324.
7、故设a=3k,则b=2k,c=4k,故,（3）选C.因为 所以由 =3,得bccos A=3，所以bc=5.由bc=5，且b+c=6，解得由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=20,故,【拓展提升】正、余弦定理的相互转化正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，尤其是其变形应用时可相互转化.如a2=b2+c2-2bccosA可以转化为sin2A=sin2 B+sin2C-2sin Bsin Ccos A，利用这些变形可进行等式的化简与证明.,【变式训练】在ABC中，a,b，c分别是角A，B，C的对边，且（1）求角B的大小.（2）若 a+c=4，求a,c的值.,【解析】（1）由余弦定理知：将
8、上式代入 得：整理得：a2+c2-b2=-ac.B为三角形的内角,（2）将 代入b2=a2+c2-2accos B,得b2=(a+c)2-2ac-2accos B,故a=1,c=3或a=3,c=1.,考向 3 利用正、余弦定理判断三角形的形状 【典例3】（1）（2013哈尔滨模拟）在ABC中，若sin A=2sin Bcos C，则ABC是（ ）(A)锐角三角形 (B)等腰三角形(C)钝角三角形 (D)直角三角形（2）在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C.求A的大小；若sin B+sin C=1，试判断ABC的形状.
9、,【思路点拨】（1）将sin A转化为sin(B+C)展开可求.（2）利用正弦定理角化边转化，再结合余弦定理可解；利用C=-(A+B)转化为关于角B的关系式求解角B可判断.,【规范解答】（1）选B.由sin A=sin(B+C)得sin(B+C)=2sin Bcos C，即sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bcos C,即sin Bcos C-cos Bsin C=0,得sin(B-C)=0.又B，C为ABC的内角,故B-C=0，即B=C，故ABC为等腰三角形.,（2）由已知，根据正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c，即a2=b2+c2+bc，由余弦定理得a2=
10、b2+c2-2bccos A，故cos A= A=120.由得sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C.又sin B+sin C=1，得sin B=sin C= 因为0B90,0C90,故B=C=30,所以ABC是等腰的钝角三角形.,【互动探究】若将本例题(1)中条件改为则ABC的形状如何？【解析】由sin B=cos Asin C得sin(A+C)=cos Asin C,即sin Acos C+cos Asin C=cos Asin C,故sin Acos C=0.又0A,故sin A0,所以cos C=0,故C= 因而ABC是直角三角形.,【拓展提升】1.三角形形状的判断思
11、路判断三角形的形状，就是利用正、余弦定理等进行代换、转化，寻求边与边或角与角之间的数量关系，从而作出正确判断(1)边与边的关系主要看是否有等边，是否符合勾股定理等.(2)角与角的关系主要是看是否有等角，有无直角或钝角等.,2.判定三角形形状的两种常用途径(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角,利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边,通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断.,【提醒】在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件.另外,在变形过程中要注意角A，B，C 的范围对三角函数值的影响.,【变式备选】（1）在ABC中，aco
12、s( A)bcos( B)，则ABC的形状为（ ）(A)直角三角形 (B)等腰三角形(C)等边三角形 (D)等腰直角三角形,【解析】选B.方法一：acos ( A)bcos( B)，asin Absin B.由正弦定理可得：a2=b2，ab，ABC为等腰三角形.,方法二：asin Absin B.由正弦定理可得：2Rsin 2A2Rsin 2B，即sin Asin B，AB.(AB不合题意舍去)故ABC为等腰三角形.,(2)ABC中，已知a-b=ccos Bccos A，则ABC的形状为（ ）(A)等腰三角形 (B)直角三角形(C)等腰直角三角形 (D)等腰或直角三角形【解析】选D.由已知结合
13、余弦定理可得a-b=c 整理得(a-b)(a2+b2-c2)=0,a=b或a2+b2=c2,ABC为等腰或直角三角形.,（3）ABC中，若b=asin C,c=acos B,则ABC的形状为（ ）(A)等腰三角形 (B)直角三角形(C)等腰直角三角形 (D)等腰或直角三角形【解析】选C.由b=asin C可知 由c=acos B可知 整理得b2+c2=a2，即三角形一定是直角三角形，A=90,sin C=sin B，B=C，ABC为等腰直角三角形.,【满分指导】解答正、余弦定理的综合题 【典例】(12分)（2012江苏高考）在ABC中，已知（1）求证：tan B=3tan A.（2）若 求A的
14、值,【思路点拨】,【规范解答】（1）由 得即为cbcos A=3cacos B,2分bcos A=3acos B，由正弦定理得sin Bcos A=3sinAcosB，3分两边同除cos Acos B得tan B=3tan A.即tan B=3tan A成立.5分,（2）因 所以C为锐角，所以tan C=2, 由（1）tan B=3tan A，且A+B+C=，得tan-(A+C)=3tan A,6分即-tan (A+C)=3tan A 即 8分所以tan A=1或 10分因tan B=3tan A，由内角和为知两角均为锐角，故 应舍去.所以 12分,【失分警示】（下文见规范解答过程）,1.（2
15、012湖南高考）在ABC中， BC=2,B=60,则BC边上的高等于（ ）,【解析】选B.设AB=c,BC边上的高为h.由余弦定理得AC2=c2+BC2-2BCccos 60,即7=c2+4-4ccos 60,即c2-2c-3=0,2.（2012广东高考）在ABC中，若A=60,B=45， 则AC=( )【解析】选B. 在ABC中,由正弦定理知,3.（2012湖北高考）设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且ABC，3b=20acos A，则sin Asin Bsin C为( )(A)432 (B)567(C)543 (D)654,【解析】选D.由题意
16、知：a=b+1,c=b-1,3b=20acos 整理得：7b2-27b-40=0，解之得b=5或 (舍去),可知a=6,c=4.结合正弦定理sin Asin Bsin C=abc=654.,4.（2013惠州模拟）在ABC中，a,b,c分别为角A，B，C所对的边，若a=2bcos C，则此三角形一定是（ ）（A）等腰直角三角形 （B）直角三角形（C）等腰三角形 （D）等腰或直角三角形,【解析】选C.在ABC中，若a=2bcos C，则sinA=2sin Bcos C，即sin(B+C)=2sin Bcos C,sin(B-C)=0,B,C为ABC的内角，B-C=0,B=C，ABC为等腰三角形.
17、,1.在ABC中，若2acos B=c，则 的取值范围是（ ）,【解析】选C.由2acos B=c得2sin Acos B=sin C=sin(A+B),即2sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B，即sin Acos B-cos Asin B=0,即sin(A-B)=0,故A=B.又 故B为锐角.所以0B,2.ABC中，三个内角满足sin Asin Bsin C=51113，则ABC（ ）(A)一定是锐角三角形(B)一定是直角三角形(C)一定是钝角三角形(D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形,【解析】选C.由sin Asin Bsin C=51113得abc=51113.设a=5k,则b=11k,c=13k,故又0C,故 所以C为钝角,故ABC为钝角三角形.,
