1、共 61 页 3 1.二次函数的性质与图象 (1)函数 y=ax2+bx+c(a0)叫做二次函数 ,它的定义域是 R. 共 61 页 4 24,;2 4 2 ,2:,a 0 ,2 2 22,x,;b ac b bxa a ab b bfabaaa 二 次 函 数 有 如 下 性 质 函 数 的 图 抛 物 线 顶 点 的 坐 标 是 象 是抛 物 线 的 对 称 轴 是 当 时 抛 物 线 开 口 函一 条 抛 物 线向 数 在 处 取值 在 区 间 上 是 减 函 数 在上 是上 小；增 函 数最共 61 页 5 ,2; , ,2 2 2 0, a 0 ,;y ;,cbxab b bfa a
2、 a 当 时 抛 物 线 开 口 函 数 在 处 取 最 大 值在 区 间 上 是 增 函 数 在上 是 减 函 数 与 轴 的 交 点向是下共 61 页 6 当 =b2-4ac0时 ,与 x轴两交点的横坐标 x1x2分别是方程ax2+bx+c=0(a0)的两根 ;当 =0时 ,与 x轴切于一点 当 25 答案 :A 共 61 页 14 4.已知当 m R时 ,函数 f(x)=m(x2-1)+x-a的图象和 x轴恒有公共点 ,则实数 a的取值范围 _. 答案 :m=0时 ,a R;m0时 ,a -1,1 共 61 页 15 a5 . a 1 , 1 , , y x RaA . 1 , 3 B
3、. 1 , 1C . 1 , 3 D . 1 , 1 ,3231 设 则 使 函 数 的 定 义 域 为 且为 奇 函 数 的 所 有 值 为 （ ）共 61 页 16 解析 :在函数 y=x-1,y=x,y=x,y=x3中 ,只有函数 y=x和 y=x3的定义域是 R,且是奇函数 ,故 a=1,3. 答案 :A 共 61 页 17 类型一 二次函数图像和性质的应用 224,: f x a x b x c ( a.0)2,x24,b b a c ba a a 解 题 准 备 二 次 函 数 的 图 象 是 一 条 抛 物 线对 称 轴 方 程 为 顶 点 坐 标 是共 61 页 18 (1)二
4、次函数 f(x)=ax2+bx+c(a0),当 =b2-4ac0时 ,图象与 x轴有两个交点 (2)二次函数的图象与性质是历年高考的热点内容 ,今后仍是高考命题的热点 ,选择题 填空题 解答题三种题型中都有可能出现 . ( , ) , ( , ) , | |. |a 1 1 2 2 1 2 1 2M x 0 M x 0 M M x x共 61 页 19 【 典例 1】 已知二次函数 f(x)满足 f(2)=-1,f(-1)=-1,且 f(x)的最大值是 8,试确定此二次函数 . 分析 由题目条件知二次函数过 (2,-1),(-1,-1)两点 ,且知其最大值 ,所以可应用一般式 顶点式或两根式解
5、题 . 共 61 页 20 2224 2 1 , 4 : ,f x a x bx c,1 , 4 ,7.48a 0 . y 4x 4x 7,.4a b c aa b c bcac ba 解 解 法 一 利 用 二 次 函 数 一 般 式设 由 题 意 得解 得所 求 二 次 函 数 为共 61 页 21 22222: , f x a x m n a 0 .f 2 f 1 ,xmy 8 ,y f x a f 2 1 ,a42 ( 1 ) 1 1,.2 2 218.212 8 1 ,218 4 4 7.2f .x4xax x x 解 法 二 利 用 二 次 函 数 顶 点 式 设抛 物 线 对 称
6、 轴 为又 根 据 题 意 函 数 有 最 大 值解 得共 61 页 22 解法三 :利用两根式 . 由已知 f(x)+1=0的两根为 x1=2,x2=-1, 故可设 f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a0), 即 f(x)=ax2-ax-2a-1. 又函数有最大值 ymax=8,即 解得 a=-4,或 a=0(舍 ). 所求函数解析式为 f(x)=-4x2+4x+7. 24 ( 2 1 )84a a aa ，共 61 页 23 类型二 二次函数在特定区间上的最值问题 解题准备 :1.二次函数在闭区间上必有最大值和最小值 ,它只能在区间的端点或二次函数图象的顶点处取得 . 共 61 页 2
7、4 0002 . : a 0 , f xp, q M , m ,x 1 , f p m , f q M ;2 p x , 3 x f p M , 4 q , f p M , f q m .1( ) .22, ( ) ;a022,;22, f x p, q ,2pqbpabbf m f q Maabbq f maaba 二 次 函 数 在 闭 区 间 上 的 最 值 讨 论 当 时在 区 间 上 的 最 大 值 为 最 小 值 为令若 则若 则若 则若 则当 时 在 上 的 最 大 值 与 上 述 最 小 值 讨 论 一 致而 最 小 值 类 似 .上 述 最 大 值 讨 论共 61 页 25
8、3.解答此类问题往往离不开数形结合和分类讨论的数学思想 ,有利于培养学生综合分析问题的能力 . 共 61 页 26 【 典例 2】 已知函数 f(x)=-x2+2ax+1-a在 0 x1时有最大值 2,求 a的值 . 分析 作出函数图象 ,因对称轴 x=a位置不定 ,故分类讨论对称轴位置以确定 f(x)在 0,1上的单调情况 . 解 当对称轴 x=a0时 ,如图 (1)所示 . 当 x=0时 ,y有最大值 ,ymax=f(0)=1-a. 所以 1-a=2,即 a=-1,且满足 a0时 ,幂函数 y=x有下列性质 : 图象都通过点 (0,0),(1,1); 在第一象限内 ,函数值随 x的增大而增
9、大 ; 在第一象限内 ,1时 ,图象是向下凹的 ;01时 ,图象是向上凸的 ; 在第一象限内 ,过 (1,1)点后 ,图象向右上方无限伸展 . 共 61 页 41 (2)当 0时 ,幂函数 y=x有下列性质 : 图象都通过点 (1,1) 在第一象限内 ,函数值随 x的增大而减小 ,图象是向下凹的 ; 在第一象限内 ,图象向上与 y轴无限地接近 ,向右与 x轴无限地接近 ; 在第一象限内 ,过 (1,1)点后 ,|越大 ,图象下落的速度越快 . 共 61 页 42 m 2 2m 3 *334 y x ( m N )y , ( 0 , ) ,a 1 a .( 3 2 )mma 【 典 例 】 已
10、知 幂 函 数 的 图 象 关于 轴 对 称 且 在 上 是 减 函 数 、求 满 足 的 的 取 值 范 围共 61 页 43 解 函数在 (0,+)上单调递减 , m2-2m-30,解得 -1m3. m N*, m=1,2. 又 函数图象关于 y轴对称 , m2-2m-3是偶数 . 而 22-2 2-3=-3为奇数 , 12-2 1-3=-4为偶数 , m=1. 共 61 页 44 1311331133y x , 0 0 , , x 0; x 0( a 1a 1 3 2a 0 3 2a a 1 0 a 1 0 3 2a , 0 , 0 ,) ( 3 2 )23.3223| 1 .32a1a
11、xxaaa a a 在 和 上 均 为 减 函 数 且 当 时时等 价 于 或 或解 得 或故 的 取 值 范 围 为 或共 61 页 45 错源一 力求先化简 ,不盲目用判别式法 222 2 2222 1 y . y x 1 , y x y x x 2 , y 1 x x y 2 0.y 1 0 , y 1 , x 1 ( ) , y 1 ;y 1 0 , y 1 , 1 4 y 1 y 2 02y 3 0 , y R21. y | y 1 y R .21xxxxxx 【 典 例 】 求 函 数 的 值 域错 解 因 为 所 以 即 当 即 时 由 得 舍 去 所 以当 即 时 得 则 综
12、上 得 原 函 数 的 值 域 为且共 61 页 46 22222 , y, x 1 , x 1 , y .x 1 , y 1 x x y 2 0 ,x 1 ,3 2 3,2 1 2322,y,.1xxxxxx 剖 析 事 实 上 当 即时 解 得 而 当 时 原 函 数 没 有 意 义 故错 误 的 原 因 在 于 当 时所 以 是 方 程 的 根 但 它 不 属 于 原 函 数 的 定 义 域所 以 方 程 与 方 程 不 同 解 故 函 数不 能 转 化 为 二 次 方 程 用 二 次 方 程 的 理 论 行 不 通共 61 页 47 ( 2 ) ( 1 ) 2( 1 ) ( 1 ) 1
13、1 y ( x 1 ) ,y 1 x 1 ,11133. | 1 .20 , yy21x x xx x xxxy y y 正 解 原 函 数 可 化 为即 因 为 所 以且 故 原 函 数 的 值 域 为 且共 61 页 48 错源二 忽视幂函数中幂指数 =0 【 典例 2】 已知幂函数 y=xn2-2n-3的图象与 x,y轴都没有公共点且关于 y轴对称 ,求整数 n的值 . 错解 因为函数 y=xn2-2n-3的图象与 x,y轴都没有公共点 , 所以 n2-2n-30,解得 -1n0.80.50.80.9,0.90.510.9-0.5,所以 0.80.90.80.50.90.510.9-0.
14、5. 剖析 错解混淆了指数函数的性质且没有比较 0.80.5与 0.90.5的大小 . 共 61 页 52 正解 因为 y=x0.5在 (0,+)上单调递增 ,且 0.80.9,所以0.80.50.90.5. 作出函数 y=x0.5与 y=x-0.5在第一象限内的图象 ,易知 0.90.50.80.9. 故 0.80.90.80.50.90.50(a -1,1)恒成立 ,所以 , 22( 1 ) ( 2) ( 4 4) 0 ,( 1 ) ( 2) (x 3 x 1 . x x 3 x4 4) 0.1.g x x xg x x x 解 得 或 故 的 取 值 范 围 是 或共 61 页 60 技法三 构造二次函数解题 221 2 1 23 x x 2 m 8 x m 1 6 0 x , x3,m2x x . 【 典 例 】 已 知 关 于 的 方 程的 两 个 实 数 根 满 足 求 实 数 的 取 值 范 围共 61 页 61 22222221 2 12 y x 2m 8 x m 16 ,x 2m 8 x m 133,02233( 2 8 ) 16 0 ,227,217|.2260 x , x x ,4m 12m 7 0 , mxfmmmmm 解 构 造 二 次 函 数因 为 方 程 的 两 个 实 数根 满 足 所 以即即 解 得 故 的 取 值 范 围 是
