1、1.4全称量词与存在量词1.4.1全称量词1.4.2存在量词,【自主预习】主题1:全称量词和全称命题1.观察下列语句,它们是命题吗?(1)x6.(2)2x是偶数.(3)对任意的xR,x6.(4)对所有的xZ,2x都是偶数.,提示:语句(1)(2)不是命题,(3)(4)是命题.,2.以上四个语句(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系?提示:(3)在语句(1)的基础上增加了短语“任意的xR”对变量x进行限制;语句(4)在语句(2)的基础上增加了短语“所有的xZ”对变量x进行限制.,通过以上探究你发现语句(3)(4)有什么特点?用文字语言描述:含有“_”“_”等全称量词.用符号语言表示:_.全
2、称命题的定义:_._.,所有的,任意一个,全称量词用符号“”表示,含有全称量词的命题叫做全称命题,用符号简记为:xM,p(x),主题2:存在量词和特称命题1.观察下列语句,它们是命题吗?(1)x6.(2)2x是偶数.(3)至少有一个x0R,使x06.(4)存在x0Z,使2x0是偶数.提示:(1)(2)不是命题,(3)(4)是命题.,2.以上四个语句,(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系?提示:语句(3)在(1)的基础上,用短语“至少有一个”对变量的取值进行限定;语句(4)在(2)的基础上,用“存在一个”对变量的取值进行限制.,通过以上探究你发现语句(3)(4)有什么特点?用文字语言描述
3、:_.用符号语言描述:_.,含有“存在一个”“至少有一个”等,存在量词,存在量词用符号“”表示,特称命题的定义:_.用符号简记为:_.,含有存在量词的命题,叫做特称命题,x0M,p(x0),【深度思考】结合教材P22例1、P23例2你认为如何判断全称命题、特称命题的真假?一:_;判定一个特称命题是真命题,只需找到一个x0使P(x0)成立即可.,判定一个全称命题为真命题,必须对限定集合M中的,每一个元素x验证p(x)成立,二:_;要判定特称命题为假命题,只要使P(x)成立的元素x不存在即可.,要判定全称命题为假命题,只要举出一个反例即可,【预习小测】1.下列命题中全称命题的个数为()平行四边形的
4、对角线互相平分;梯形有两边平行;存在一个菱形,它的四条边不相等.A.0个B.1个C.2个D.3个【解析】选C.是全称命题,是特称命题.,【备选训练】1.下列命题中,既是真命题又是特称命题的是()A.存在一个,使tan(90-)=tanB.存在实数x0,使sinx0=C.对一切,sin(180-)=sinD.sin(-)=sincos-cossin,【解析】选A.C,D是全称命题,A,B是特称命题,由于|sinx|1,故sinx0= 1不成立,B为假命题,对于A,当=45时,tan(90-)=tan成立.,2.下列命题,是全称命题的是_,是特称命题的是_(填序号).正方形的四条边相等;有两个角是
5、45的三角形是等腰直角三角形;正数的平方根不等于0;至少有一个正整数是偶数.,【解析】是全称命题,是特称命题.答案:,2.若对任意x3,xa恒成立,则a的取值范围是_.【解析】对于任意x3,xa恒成立,即大于3的数恒大于a,所以a3.答案:(-,3,3.写出命题:“对任意实数m,关于x的方程x2+x+m=0有实根”的否定为:_.答案:存在实数m,关于x的方程x2+x+m=0没有实根,4.判断下列命题的真假:(仿照教材P23例2的解析过程)(1)任意两向量a,b,若ab0,则a,b的夹角为锐角.(2)x0,y0为正实数,使 (3)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)都对应一点P.(4)存
6、在一个函数,既是奇函数又是偶函数.,【解析】(1)因为ab=|a|b|cos0,所以cos0.又0,所以00.(4)有一个角,使sin1.,【解题指南】先判断命题的类型,再判断命题的真假.【解析】(1)是全称命题.因为xN,2x+1都是奇数,所以该命题是真命题.(2)是特称命题.因为不存在x0R,使 成立,所以该命题是假命题.,(3)是全称命题.因为|0|=0,所以|a|0不都成立,因此,该命题是假命题.(4)是特称命题.因为R,sin-1,1,所以该命题是假命题.,【规律总结】全称命题与特称命题真假的判断方法(1)要判定一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x证明p(x)成立;但
7、要判定全称命题是假命题,只要能举出集合M中的一个x0,使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”).,(2)要判定一个特称命题是真命题,只要在限定集合M中,能找到一个x0使p(x0)成立即可;否则,这个特称命题就是假命题.,【补偿训练】判断下列命题的真假:(1)若a0,且a1,则对任意实数x,ax0.(2)对任意实数x1,x2,若x1x2,则tanx1tanx2.(3)T0R,使|sin(x+T0)|=|sinx|.(4)x0R,2x02+70.,【解析】命题(1)为全称命题,根据指数函数的性质可知,该命题为真命题;命题(2)是全称命题,存在x1=0,x2=,虽然x10,故该命
8、题为假命题.,类型三:根据全称命题与特称命题真假求参数的范围【典例3】命题p:xR,sinxcosxm,若命题p是真命题,求实数m的取值范围.【解题指南】设函数f(x)=sinxcosx,只需令f(x)的最小值大于或等于m.,【解析】设函数f(x)=sinxcosx,xR,则f(x)= sin2x,所以函数f(x)的值域是 由于命题p是真命题,即对任意xR,恒有sinxcosxm成立,所以对任意xR,恒有f(x)m成立,又函数f(x)的最小值为- ,所以只需m- ,所以实数m的取值范围是,【延伸探究】1.(变换条件)将命题p改为:x0R,sinx0cosx0m,若命题p是真命题,如何求m的取值
9、范围?,【解析】由于命题p是真命题,即存在一个实数x0,满足sinx0cosx0m成立,所以存在一个实数x0,满足f(x0)m成立,由于函数f(x)的最大值为 ,所以m的值不可能大于 ,即m .所以实数m的取值范围是,2.(变换条件)将命题p改为:xR,9x-3x-m=0,若命题p是假命题,求实数m的取值范围.【解析】由于p是假命题,所以p是真命题,即对任意实数x,9x-3x-m=0恒成立.设3x=t,由于xR,则t(0,+),则9x-3x-m=0m=(3x)2-3xm=t2-t,t(0,+),设f(t)=t2-t,t(0,+),则f(t)= 当t= 时,f(t)min=- ,则函数f(t)的
10、值域是 所以实数m的取值范围是,【规律总结】应用全称命题与特称命题求参数范围的两类题型解决策略(1)全称命题的常见题型是“恒成立”问题,全称命题为真时,意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质,所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质;也可以根据函数等数学知识来解决.,(2)特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述.解答这类问题,一般要先对结论作出肯定存在的假设,然后从肯定的假设出发,结合已知条件进行推理证明,若推出合理的结论,则存在性随之解决;若导致矛盾,则否定了假设.,【补偿训练】1.已知集合A=x|x2-3x-100,B=x|m+1x2
11、m-1,且B.(1)若命题p:“xB,xA”是真命题,求m的取值范围.(2)命题q:“x0A,x0B”是真命题,求m的取值范围.,【解析】(1)A=x|-2x5,B=x|m+1x2m-1,B,由于命题p:“xB,xA”是真命题,所以BA,B,所以解得2m3.,(2)q为真,则AB,因为B,所以m2.所以解得2m4.,2.若命题“对任意实数x,2xm(x2+1)”是真命题,求实数m的取值范围.【解析】由题意知,不等式2xm(x2+1)恒成立,即不等式mx2-2x+m0恒成立.(1)当m=0时,不等式可化为-2x0,显然不恒成立,不合题意.,(2)当m0时,要使不等式mx2-2x+m0恒成立,则解得m-1.综上可知,所求实数m的取值范围是(-,-1).,
