1、1课时跟踪检测（十二） 等比数列的前 n项和层级一 学业水平达标1等比数列 an中， q ， S511，则 a1， a5分别为_，_.12解析： S5 11 a116， a5 a1q416 41.a11 ( 12)51 ( 12) ( 12)答案：16 12在等比数列 an中，若 a29， a5243，则数列 an的前 4项和为_解析：设等比数列 an中的公比为 q，根据题意及等比数列的性质可知： 27 q3，a5a2所以 q3，所以 a1 3，所以 S4 120.a2q 3 1 341 3答案：1203设 Sn为等比数列 an的前 n项和，8 a2 a50，则 _.S5S2解析：由 8a2
2、a50，得 8a1q a1q40，所以 q2，则 11.S5S2a11 2 51 2a11 2 21 2答案：114设等比数列 an的前 n项和为 Sn.若 a11， S64 S3，则 a4_.解析：因为等比数列 an中， a11， S64 S3，所以 q1，所以 41 1 q61 q，解得 q33，所以 a41 q33.1 1 q31 q答案：35已知等比数列 an是递增数列， Sn是 an的前 n项和若 a1， a3是方程x25 x40 的两个根，则 S6_.解析：由题意得， a1 a35， a1a34，由数列是递增数列得， a11， a34，所以q2，代入等比数列的求和公式得 S663.
3、答案：636在数列 an中，对任意自然数 nN *， a1 a2 a3 an2 n1，则a a a _.21 2 2n2解析：设 Sn a1 a2 an2 n1， an Sn Sn1 (2 n1)(2 n1 1)2 n1 (n2)当 n1 时， a12 111 满足上式 an2 n1 ， a 4 n1 ， a a a 144 24 n1 2n 21 2 2n1 1 4n1 4 (4n1)13答案： (4n1)137等比数列 an共有 2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大 80，则公比 q_.解析：由题意知：Error!Error! 公比 q 2.S偶S奇 160 80答案：28一个
4、项数为奇数的等比数列 an中，所有奇数项和 S 奇 255，所有偶数项和 S 偶126，末项是 192，则首项 a1_.解析：设等比数列 an共有 2k1( kN *)项，则 a2k1 192，则 S 奇 a1 a3 a2k1 a2k1 (a2 a4 a2k) a2k1 S 偶1q 1q a2k1 192255，解得 q2，而 S 奇126q 255，解得 a13.a1 a2k 1q21 q2 a1 192 2 21 2 2答案：39已知等差数列 an满足 a22， a58.(1)求数列 an的通项公式；(2)设各项均为正数的等比数列 bn的前 n项和为 Tn，若 b3 a3， T37，求 T
5、n.解：(1)设等差数列 an的公差为 d，则Error!解得Error! an2 n2.(2)设各项均为正数的等比数列 bn的公比为 q(q0)，由(1)知 a34， b34.又 T37， q1.Error! 解得Error!或Error!(舍去) Tn1 2 n1. 1 2n1 210某校为扩大教学规模，从今年起扩大招生，现有学生人数为 b人，以后学生人数年增长率为 4.9.该校今年年初有旧实验设备 a套，其中需要换掉的旧设备占了一半学校决定每年以当年年初设备数量的 10%的增长率增加新设备，同时每年淘汰 x套旧设备3(1)如果 10年后该校学生的人均占有设备的比率正好比目前翻一番，那么每
6、年应更换的旧设备是多少套？(2)依照(1)的更换速度，共需多少年能更换所有需要更换的旧设备？下列数据提供计算时参考：1.192.36 1.004 991.041.1102.60 1.004 9101.051.1112.85 1.004 9111.06解：(1)设今年学生人数为 b人，则 10年后学生人数为 b(14.9) 101.05 b，由题设可知，1 年后的设备为a(110%) x1.1 a x，2年后的设备为(1.1 a x)(110%) x1.1 2a1.1 x x1.1 2a x(11.1)，10 年后的设备为a1.110 x(11.11.1 21.1 9)2.6 a x 2.6 a
7、16 x，1 1 1.1101 1.1由题设得 2 ，2.6a 16x1.05b ab解得 x .a32每年应更换的旧设备为 套a32(2)全部更换旧设备共需 a 16 年12 a32按此速度全部更换旧设备共需 16年层级二 应试能力达标1已知数列 an的前 n项和为 Sn，且 Sn n a，若 an为等比数列，则(12)a_.解析： a1 S1 a，12a2 S2 S1 2 a ，(12) (12 a) 14a3 S3 S2 3 a .(12) (12)2 a 18 an为等比数列， a a1a3， a1.24答案：12设 an是由正数组成的等比数列， Sn为其前 n项和已知 a2a41，
8、S37，则S5_.解析：显然公比 q1，由题意得Error!解得Error! 或Error!(舍去)， S5 .a1 1 q51 q4(1 125)1 12 314答案：3143某住宅小区计划植树不少于 100棵，若第一天植 2棵，以后每天植树的棵数是前一天的 2倍，则需要的最少天数 n(nN *)等于_解析：每天植树的棵数构成以 2为首项，2 为公比的等比数列，其前 n项和 Sn 2 n1 2.由 2n1 2100，得 2n1 102.由于a1 1 qn1 q 2 1 2n1 22664,2 7128，则 n17，即 n6.答案：64等比数列 an的首项 a11，前 n项和为 Sn，若 ，则
9、公比 q_.S10S5 3132解析：由 ， a11 知公比 q1，则可得 .由等比数列前 n项和S10S5 3132 S10 S5S5 132的性质知 S5， S10 S5， S15 S10成等比数列，且公比为 q5，故 q5 ， q .132 12答案：125设等比数列 an的公比为 q，前 n项和为 Sn，若 Sn1 ， Sn， Sn2 成等差数列，则 q的值为_解析：由题意可知， q1， Sn .a1 1 qn1 q又 Sn1 ， Sn， Sn2 成等差数列，2 Sn Sn1 Sn2 .即 22 qn2 qn1 qn2 .即 2 q q2. q2( q1 不合题意舍去)答案：26在等比
10、数列中，已知 a1 a2 a36， a2 a3 a43，则a3 a4 a5 a6 a7_.5解析：由 q ，又由 a1 a2 a36，且a2 a3 a4a1 a2 a3 a2 1 q q2a1 1 q q2 a2a1 12q ， a18，可得 a2 a1q8 4. a3 a4 a5 a6 a7 S7 a1 a212 ( 12)8(4) .a1 1 q71 q 118答案：1187在等比数列 an中，公比 q2，前 99项的和 S9956，求 a3 a6 a9 a99的值解：法一： S99 56，a1 1 q991 q a3 a6 a9 a99 a3(1 q3 q6 q96) a1q2 a1q2
11、 1 q3 331 q3 1 q99 1 q 1 q q2 5632.q21 q q2a1 1 q991 q 41 2 4法二：设 b1 a1 a4 a7 a97.b2 a2 a5 a8 a98，b3 a3 a6 a9 a99，则 b1q b2， b2q b3且 b1 b2 b356， b1(1 q q2)56， b1 8，561 2 4 b3 b1q232.即 a3 a6 a9 a9932.8已知公比不为 1的等比数列 an的首项 a1 ，前 n项和为 Sn，且12a4 S4， a5 S5， a6 S6成等差数列(1)求等比数列 an的通项公式；(2)对 nN *，在 an与 an1 之间插入 3n个数，使这 3n2 个数成等差数列，记插入的这 3n个数的和为 bn，求数列 bn的前 n项和 Tn.解：(1)因为 a4 S4， a5 S5， a6 S6成等差数列，所以 a5 S5 a4 S4 a6 S6 a5 S5，6即 2a63 a5 a40，所以 2q23 q10，因为 q1，所以 q ，12所以等比数列 an的通项公式为 an .12n(2)bn 3n n，an an 12 34 (32)Tn .3432 (32)n 11 32 94(32)n 1
