1、目 录 第 1 章 绪论及基本概念 . 5 1.1 复习笔记 . 5 1.2 课后习题详解 . 6 1.3 名校考研真题详解 . 6 第 2 章 轴向拉伸和压缩 . 8 2.1 复习笔记 . 8 2.2 课后习题详解 . 12 2.3 名校考研真题详解 . 31 第 3 章 扭转 . 39 3.1 复习笔记 . 39 3.2 课后习题详解 . 42 3.3 名校考研真题详解 . 59 第 4 章 弯曲应力 . 63 4.1 复习笔记 . 63 4.2 课后习题详解 . 66 4.3 名校考研真题详解 . 116 第 5 章 梁弯曲时的位移 .124 5.1 复习笔记 .124 5.2 课后习题
2、详解 .125 5.3 名校考研真题详解 .145 第 6 章 简单的超静定问题 .148 6.1 复习笔记 .148 6.2 课后习题详解 .148 6.3 名校考研真题详解 .170 第 7 章 应力状态和强度理论 .172 7.1 复习笔记 .172 7.2 课后习题详解 .176 7.3 名校考研真题详解 .206 第 8 章 组合变形及连接部分的计算 .215 8.1 复习笔记 .215 8.2 课后习题详解 .221 8.3 名校考研真题详解 .250 第 9 章 压杆稳定 .257 9.1 复习笔记 .257 9.2 课后习题详解 .260 9.3 名校考研真题详解 .277 第
3、 10 章 弯曲问题的进一步研究 .283 10.1 复习笔记 .283 10.2 课后习题详解 .284 10.3 名校考研真题详解 .293 第 11 章 考虑材料塑性的极限分析 .295 11.1 复习笔记 .295 11.2 课后习题详解 .295 11.3 名校考研真题详解 .306 第 12 章 能量法 .307 12.1 复习笔记 .307 12.2 课后习题详解 .307 12.3 名校考研真题详解 .369 第 13 章 压杆稳定问题的进一步研究 .377 13.1 复习笔记 .377 13.2 课后习题详解 .378 13.3 名校考研真题详解 .390 第 14 章 应变
4、分析 电阻应变计法基础 .391 14.1 复习笔记 .391 14.2 课后习题详解 .391 14.3 名校考研真题详解 .402 第 15 章 动荷载 交变应力 .404 15.1 复习笔记 .404 15.2 课后习题详解 .405 15.3 名校考研真题详解 .422 第 16 章 材料力学性能的进一步研究 .428 16.1 复习笔记 .428 16.2 课后习题详解 .428 16.3 名校考研真题详解 .430 第 1 章 绪论及基本概念 1.1 复习笔记 一、概述 1对构件正常工作的要求 （ 1）具有足够的强度： 在荷载作用下，构件应不至于破坏（断裂或失效） ； （ 2）具有
5、足够的刚度： 在荷载作用下，构件所产生的变形应不超过工程上允许的范围 ； （ 3）满足稳定性要求： 承受荷载作用时，构件在其原有形态下的平衡应保持为稳定的平衡 。 2材料力学的主要任务 研究材料及构件在外力作用下所表现的力学性质，为合理设计构件提供有关强度、刚度、稳定性分析的理论和方法。 二、可变形固体的性质及其基本假设 （ 1）可变形固体：制造构件所用的材料均为固体，而且在荷载作用下均将发生变形 包括物体尺寸和 形状的改变。 （ 2）基本假设 将可变形固体抽象为理想化的材料进行理论分析，基于以下三个假设： 连续性假设 ： 物体在其整个体积内连续地充满了物质 且 毫无空隙 ； 均匀性假设：物体
6、内任意一点处取出的体积单 元，其力学性能都能代表整个物体的力学性能； 各向同性假设：材料沿各个方向的力学性能是相同的。 三、杆件变形的基本形式 杆件变形的基本形式有四种： 轴向拉伸或轴向压缩 、 剪切 、扭转和弯曲。 1轴向拉伸或轴向压缩 受力特征：受 一对其作用线与直杆轴线重合的外力 F 作用 ； 直杆的主要变形：轴向长度的改变，如图 1-1 所示。 图 1-1 2剪切 受力特征：受 一对相距很近的大小相同、指向相反的横向外力 F 作用 ； 直 杆的主要变形：横截面沿外力作用方向发生相对错动，如图 1-2 所示。 图 1-2 3扭转 受力特征：受一对转向相反、作用面垂直于直杆轴线的外力偶 （
7、其矩为 Me）作用； 直杆的主要变形：相邻横截面将绕轴线发生相对转动，杆件表面纵向线将变成螺旋线，而轴线仍维持直线，如图 1-3 所示。 图 1-3 4弯曲 受力特征：受一对转向相反、作用面在杆件的纵向平面 （即包含杆轴线在内 的平面 ）内的外力偶（其矩为Me） 作用 ； 直杆的 主要变形： 相邻横截面绕垂直于杆轴线 的轴发生相对转动，变形后的杆件轴线将弯成曲线，如图 1-4所示。 图 1-4 1.2 课后习题 详解 本章无课后习题。 1.3 名校考研真题详解 一、填空题 1 强度是指构件抵抗 _的能力。 华南理工大学 2016 研 【答案】 破坏 2构件正常工作应满足 _、刚度和 _的要求，
8、设计构件时，还必须尽可能地合理选用材料和 _，以节约资金或减轻构件自重。 华中科技大学 2006 研 【答案】 强度；稳定性；降低材料的消耗量 二、选择题 1 材料的力学性能通过（ ）获得。 华南理工大学 2016 研 A 理论分析 B数字计算 C实验测定 D数学推导 【答案】 C 2根据均匀、连续性假设，可以认为 （ ） 。 北京科技大学 2012 研 A 构件内的变形处处相同 B 构件内的位移处处相同 C 构件内的应力处处相同 D 构件内的弹性模量处处相同 【答案】 C 【解析】 连续性假设认为组成固体的物质不留空隙地充满固体的体积，均匀性假设认为在固体内到处有相同的力学性能。 3根据小变
9、形假设，可以认为 （ ） 。 西安交通大学 2005 研 A构件不变形 B构件不破坏 C构件仅发生弹性变形 D构件的变形远小于构件的原始尺寸 【答案】 D 【解析】 小变形假设即原始尺寸原理认为无论是变形或因变形引起的位移，都 甚小 于构件的 原始 尺寸。 4铸铁的连续、均匀和各向同性假设在 （ ） 适用。 北京航空航天大学 2005 研 A宏观（远大于晶粒）尺度 B细观（晶粒）尺度 C微观（原子）尺度 D以上三项均不适用 【答案】 A 【解析】 组成铸铁的各晶粒之间存在着空隙，并不连续；各晶粒的力学性能是有方向性的。 第 2 章 轴向拉伸和压缩 2.1 复习笔记 一、 轴向拉伸和压 缩概述
10、拉（压）杆 是指作用在等直杆上的外力 （或 外力合力 ）的作用线与杆轴线重合 的杆件。 1拉 （ 压 ） 杆的轴力及轴力图 （ 1）内力：由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间连续分布的内力系的合成。 （ 2）轴力：在外力作用下，杆件任一横截面上的内力，其作用线与杆的轴线重合，用 FN 表示 ；并规定拉力为正， 压 力 为负 。 （ 3）轴力图的绘制 轴力图是表示轴力与截面位置关系的图线，用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上轴力的数值。习惯上将正值的轴力画在上侧，负值的轴力画在下侧。 2拉 （ 压 ） 杆的应力 （ 1）概念 应力是受力杆件某一截面上分布内力在
11、一点处的集度。 总应力 p 确切的反映了该点内力分布的强弱，其表达式为： 0dlim dAFFp AA 正应力：总应力 p 的 法向分量 ，用 表示。 切应力 ：总应力 p 的切 向分量 ，用 表示。 （ 2）横截面上的正应力 根据平面假设，拉杆横截面上的正应力 呈均匀分布 ，拉（压）杆横截面上正应力 的计算公式 ： FN/A。 危险截面：应力最大的截面。对于等直杆，危险截面即为轴力最大值所在截面，有： max FN， max/A。 （ 3）斜截面上的应力 图 2-1 如图 2-1 所示，等直杆在拉力 F 作用下，斜截面 k-k 上的总应力： p Fcos/A 0cos； 沿斜截面法线方向的正
12、应力： pcos 0cos2； 沿斜截面法线方向的切应力： psin（ 0/2） sin2。 式中， 为斜截面与横截面的夹角， 以横截面外向法线至斜截面外向法 线为逆时针转向时为正，反之为负。 根据以上结论可知，正应力和切应力的数值随 角作周期性变化 ，且： 当 0 时， 正应力 0，为最大值； 当 45 时， 切应力 0/2，为最大值。 二、拉（压）杆的变形与胡克定律 1变形 如图 2-2 所示拉杆，其纵向变形量和横向缩变形量分别为： l l1 l， d d1 d 图 2-2 每单位长度的伸长 （或缩短） 称为线应变，用 表示。纵向线应变与横向线应变分别为： l/l， d/d，并规定：伸长时
13、为正，缩短时为负。 拉（压）杆内的应力不超过材料的比例极限时，将横向线应变 与纵向线应变 之比的绝对值称为泊松比，用 表示，其表达式为： v |/|。 纵向线应变与横向线应变方向相反，即 v v/E。 2胡克定律 胡克定律：杆件内的应力不超过材料的比例极限时，杆的纵向变形量 l 与其所受的外力 F、杆的原长 l 成正比，与其横截面积 A 成反比，其表达式为 l FNl/EA。 式中， FN 为杆件内力，比例常数 E 为材料的弹性模量， EA 称为杆的拉伸（压缩）刚度。 三、拉压杆的应变能 1基本概念 （ 1）应变能：伴随弹性变形的增减而改变的能量，用 V表示。 （ 2）应变能密度：单位体积内的
14、应变能，用 v表示。 （ 3）功能原理：弹性体受静载荷的作用，在弹性体变形的过程中，积蓄在弹性体内的应变能 V在数值上等于外力做的功 W，即 V W。 2计算公式 杆件受外力 F 作用，轴力为 FN，纵向变形为 l，则积蓄在杆件内的应变能： 2N1 22FlV F lEA 应变能密度 V V/V （ 1/2） 2/2E E2/2 注意：上述公式仅在线弹性范围适用。 四、材料拉伸和压缩时的力学性能 1基本概念 （ 1）标准试样：标距 l 与横截面直径 d（圆形截面）或横截面面积 A（矩形截面）之比采用标准比例的试样。 （ 2）力学性能：在实验室内所做的材料拉伸或压缩试验，是在室温 （或称为常温）
15、条件 下按一般的变形速度进行的，得到的材料的力学性能，即为常温、静荷载下材料在拉伸或压缩时的力学性能。 2低碳钢试样的拉伸图及其力学性能 拉伸试样采用圆形截面和矩形截面，标准比例为 l 10d 和 l 5d（圆形截面） 11.3lA 和 5.65lA （矩形截面） （ 1）力学性能 将荷 载 F除以 试样 横截面的原面 积 A，将伸 长 量 l除以 试样 工作段的原 长 l，所得曲 线 即与 试样 的尺寸无 关 ，而可以代表材料的力学性能，称 为应 力 -应变 曲 线 ，如图 2-3所示。 图 2-3 低碳钢的变形过程分为四个阶段，如图 2-3 所示。 弹性阶段 如图 2-3 中所示阶段 ，试
16、样的变形是弹性变形，满足胡克定律。 a比例极限： A 点是应力与应变符合胡克定律的最高限， 比例极限是 与之对 应的应力，以 p 表示 ； b弹性极限： B点是卸载后不 发生塑性变形的极限，弹性极限是与之对应的应力，以 e表示。 屈服阶段 如图 2-3 中阶段 ，试样的荷载在很小的范围内波动，而其变形却不断增大，即出现屈服现象，试样的变形是塑性变形。 a 上屈服强度 ：在屈服阶段内， 发生屈服 应 力首次下降前所 对应的最高应力 （点 C） ，它是不太稳定的； b 下屈服强度 ： 不计初始瞬时效应时的 最低应力 （点 D） ，它是稳定的。通常将其称为材料的 屈服强度 ，以s 表示 。 强化阶段
17、 如图 2-3 中阶段 ，试样发生的变形主要是塑性变形，整个试样横向尺寸的缩小较明显。 局部变形阶段 如图 2-3 中阶段 ，该阶段出现 “ 缩颈 ” 现象 ， 横 截面面积急剧缩小。 （ 2）性能指标 衡量材料塑性的指标 断后伸长率：试样的工作段在拉断后标距的残余伸长 （ l1 l） 与原始标距 l 之比的百分率 ，表达式为 （ l1 l） /l 100%。 断面收缩率：试样断裂后横截面面积的最大缩减量 （ A A1）与原 始横截面面积 A 之比的百分率 ，表达式为 （ A A1） /A 100%。 衡量材料强度的重要指标 屈服极限：材料的下屈服强度，以 s 表示 ； 强度极限：试样中的名义
18、应力的最大值（图 2-3 中所示 G 点），以 b 表示。 （ 3）卸载规律 在强化阶段停止加载，并逐渐卸载，则卸载规律遵循直线关系，该直线 bc 与弹性阶段内的直线 Oa 近乎平行 ，如图 2-4 所示 。 冷作 硬化 对试样预先施加轴向拉力，使之达到强化阶段后卸载。 当再加荷载时，试样 在线弹性范围内所能承受的最大荷载将提高，而试样所能经受的塑性变形降低。 冷作时效 试样拉伸至强化阶段后卸载，经过一段时间后再受拉，其比例极限还有所提高的现象，如图 2-4 中虚线 cb所示。 图 2-4 3其他金属材料在拉伸时的力学性能 （ 1）力学性能 塑性材料 ：对于没有屈服阶段的塑性材料，将对应于塑性
19、应变 p 0.2%时的应力 定为规定非比例延伸强度，以 p0.2 表示 ，作为衡量材料强度的指标。 脆性材料：衡量脆性材料拉伸强度的唯一指标是材料的抗拉强度 b。 （ 2）材料分类 根据伸长率 的不同可分为两类： 5%： 塑性材料 ，塑性指标 较高，抗拉能力较好， 拉伸和压缩时屈服强度基本相同； 2% 5%：脆 性材料 ，塑性指标较低，拉伸强度 b 远低于压 缩强度 c。 4金属材料在压缩时的力学性能 （ 1）低碳钢 低碳钢压缩时的弹性模量和屈服极限与拉伸时大致相同，屈服阶段以后，压缩试样的抗压能力随着横截面的增大也继续增高，而拉伸时先增大再减小。 （ 2）铸铁 脆性材料在压缩和拉伸时的力学性
20、能有较大的区别： 铸铁在压缩时的强度极限和延伸率都较拉伸时大得多，宜做受压构件； 在拉伸和压缩时弹性阶段均很短，近似服从胡克定律。 五、拉（压）杆的强度计算 1强度计算 拉 （压）杆 的强度条件： max FN， max/A ，式中， 为许用应力。 拉 （压）杆 的强度计算通常是基于上述公式，进行强度校核、截面选择或许可载荷计算。 2安全因数 在静载作用下，塑性材料安全因数 ns 和脆性材料安全因数 nb 的大致范围分别为： ns 1.25 1.5， nb 2.53.0。 3许用应力 （ 1）塑性材料：取屈服强度 s 作为 u， 对于无明显屈服阶段的塑性材料，则用 p0.2 作为 u，则 许用
21、应力： s/ns 或 p0.2/ns。 （ 2）脆性材料：取强度极限 b 作为 u，则 许用应力： b（ bc） /nb。 六、 应力集中的概念 应力集中：由于杆件截面骤然变化（或几何外形局部不规则）而引起的局部应力骤增现象。 理论应力集中因数 Kt： 反映了应力集中的程度，为 最大局部应力 max与该截面上视作均匀分布的名义应力nom的比值。 应当注意： （ 1） 由塑性材料制成的杆件，在静荷载作用下通常不考虑应力集中的影响； （ 2）对于由脆性材料或者塑性较差的材料制成的杆件，应考虑应力集中的影响，按局部最大应力进行强度计算，但铸铁除外； （ 3）在动荷载作用下，均需考虑应力集中的影响。
22、2.2 课后习题详解 2-1 试求图 2-5（ a）、（ b） 示各 杆 1-1 和 2-2 横截面上的轴力，并作轴力图。 图 2-5（ a） 图 2-5（ b） 解： （ 1）使用截面法，沿 1-1 截面将杆分成两段，取出右段，根据其平衡方程 Fx 0，可得 FN1 2F；同理可以计算 2-2 截面右段，根据其平衡方程 Fx 0，可得 FN2 F。 轴力图如图 2-6（ a）所示。 图 2-6（ a） （ 2）使用截面法，沿 1-1 截面将杆分成两段，取出右段，根据其平衡方程 Fx 0，可得 FN1 F；同理可以计算 2-2 截面右段，根据其平衡方程 Fx 0，可得 FN2 2F。 轴力图如
23、图 2-6（ b）所示。 图 2-6（ b） 2-2 一打入地基内的木桩如图 2-7 所示，沿杆轴单位长度的摩擦力为 f kx2（ k 为常数），试作木 桩的轴力更多各类考试资料 v：344647 公众号：顺通考试资料 图。 图 2-7 解： 根据整体平衡方程 20 d0l kx x F 可得常数 k 3F/l3。 使用截面法，沿 m-m 截面将杆分成两段，取其下部分，根据其平衡方程 1 20 d0 x Nkx x F 可得木桩的轴力 FN F（ x1/l） 3。 轴力图略。 2-3 石砌桥墩的墩身高 l 10m，其横截面尺寸如图 2-8所示。荷载 F 1000kN，材料的密度 2.35 10
24、3kg/m3。试求墩身底 部横截面上的压应力。 图 2-8 解： 墩身底部截面内的轴力为： FN （ F G） F Alg 1000kN （ 3 2 3.14 12） 10 2.35 9.8kN 3104.942kN 墩身横截面面积为： A 3 2m2 3.14 12m2 9.14m2 因为墩为轴向压缩构件，所以其底面上的正应力均匀分布，且压应力为： FN/A 3104.942kN/9.14m2 339.71kPa 0.34MPa 2-4 图 2-9 为一混合屋架结构的计算简图。屋架的上弦用钢筋混凝土制成。下面拉杆和中间竖向撑杆用角钢构成，其截面均为两个 75mm 8mm 的等边角钢。已知屋面
25、承受集度为 q 20kN/m 的竖直均布荷载。试求拉杆 AE 和 EG 横截面上的应力。 图 2-9 解： （ 1）求支反力 由结构的对称性可知： FAy FBy（ 1/2） ql 0.5 20 （ 2 4.37 9） 177.4kN （ 2）求 AE 和 EG 杆的轴力 用假想的垂直截面把 C 铰和 EG 杆同时切断，取左部分为研究对象，其受力图如图 2-10（ a）所示，由平衡条件： MC 0 FNG （ 1 1.2） 20 （ 4.37 4.5） （ 8.87/2） 177.4 8.87 0 解得： FNG 357.62kN。 图 2-10（ a） 以节点 E 为研究对象，其受力图如图
26、2-10（ b）所示。 由平衡条件 Fx 0 可得： FNG FNAcos 0 解得： NGNA22357 .62 kN 366 .86 kN4.37c os4.37 1FF 图 2-10（ b） （ 3）求各拉杆应力 查型钢表得单个 75mm 8mm 等边角钢的面积为 A 11.503cm2 1150.3mm2，故 AE FNA/2A（ 366.86 103N） /（ 2 1150.3mm2） 159.5Mpa EG FNG/2A（ 357.62 103N） /（ 2 1150.3mm2） 155.5MPa 2-5 图 2-11 所示拉杆承受轴向拉力 F 10kN，杆的横截面面积 A 100
27、mm2。如以 表示斜截面与横截面的夹角，试求 ： （ 1）当 0， 30， 60时各斜面上的正应力和切应力，并用图表示其方向； （ 2）拉杆的最大正应力和最大切应力及其作用的截面。 图 2-11 解： （ 1）斜截面上的正应力与切应力为： 0cos2， （ 0/2） sin2。 其中，拉杆横截面上的应力 0 F/A 10000N/100mm2 100MPa，则： 当 0时 0 0 100MPa， 0 0 当 30时 30 0cos230 100 （ 3/4） 75MPa， 30（ 0/2） sin（ 2 30） 43.3MPa 当 60时 60 0cos2（ 60） 100cos2（ 60）
28、25MPa 60（ 0/2） sin（ 120）（ 100/2） sin（ 120） 43.3MPa 图略。 （ 2）斜面上正应力 0cos2，故当 cos 1，即 0时，有 max 100MPa； 斜面上切应力 （ 0/2） sin2，故当 sin2 1，即 45时，有 max 50MPa。 2-6 一木桩受力如图 2-12 所示。柱的横截面为边长 200mm 的正方形，材料可认为符合胡克定律，其弹性模量 E 10GPa。如不计柱的自重，试求： （ 1）作轴力图； （ 2）各段柱横截面上的应力； （ 3）各段柱的纵向线应变； （ 4）柱的总变形。 图 2-12 解： （ 1）利用截面法，根据
29、平衡条件可得木桩各段柱的轴力分别为： FNAC 100kN， FNCB 100 160 260kN 作该木桩的轴力图，如图 2.9 所示。 图 2-13 （ 2）各段柱横截面的应力： AC FNAC/A 100 103/（ 2002 10 6） Pa 2.5MPa CB FNCB/A 260 103/（ 2002 10 6） Pa 6.5MPa （ 3）根据胡克定律，各段柱的纵向线应变： AC AC/E 2.5MPa/（ 10 103） MPa 2.5 10 4 CB CB/E 6.5MPa/（ 10 103） MPa 6.5 10 4 （ 4）柱的总变形 lAC AC lAC CB lCB（
30、 2.5 1500 6.5 1500） 10 4mm 1.35mm 2-7 图 2-14 所示圆锥形杆受轴向拉力作用，试求杆的伸长。 图 2-14 解： 设距左端截面 x 处的横截面的直径为： d d1（ d2 d1）（ x/l）。 即该截面的面积 22 1 1() 22d d dA x xl 则积分可得到在轴向拉力 F 作用下轴的伸长量 N2001 2 12 1 2 1212 1 1 2 1 2d 4d()()4 1 14 1 1 4()llFx FxlEA x E xd d dlFd d d dEddllFl FlE d d d d Ed d 2-8 （ 1）试证明受轴向拉伸（压缩）的圆截
31、面杆横截面沿圆周方向的线应变 s 等于直径方向的线应变 d。 （ 2）一根直径为 d 10mm 的圆截面杆，在轴向拉力 F 作用下，直径减小 0.0025mm。如材料的弹性模量 E 210GPa，泊松比 0.3。 试求轴向拉力 F。 （ 3）空心圆截面钢杆，外直径 D 120mm，内直径 d 60mm，材料的泊松比 0.3。当其受轴向拉伸时，已知纵向线变 0.001，试求其变形后的壁厚 。 解： （ 1） 设杆横截面的直径为 d，其周线的长度 s d 由线应变的定义可知，圆截面杆沿直径方向的线应变为 d d/d，当直径的改变量为 d 时， 圆周线的长度为 s1 （ d d）。 因此，沿圆周方向
32、的线应变为 ： s s/s （ s1 s） /s （ d d） d/d d/d d 即受轴向拉伸 （压缩）的圆截面杆横截面沿圆周方向的线应变 s 等于沿直径 方向的线应变 d。 （ 2）杆件横向线应变为： d/d 0.0025/10 2.5 10 4 由 泊松比的定义式可知 ，则杆件的纵向应变为： （ /v） （ 2.5 10 4） /0.3（ 25/3） 10 4 又由胡克定律 E，则轴向拉力为： F AE 0.25 3.14 102 210 103 （ 25/3） 10 4 13.74kN （ 3） 由 泊松比的定义及线应变的定义可知： d D/D v。 则圆截面杆件直径的变化量： D v
33、（ D d） 0.3 0.001 （ 120 60） 10 3m 0.018 10 3m 故其变形后的壁厚： （ D d D） /2（ 120 10 3 60 10 3 0.018 10 3） /2m 29.99 10 3m 29.99mm 2-9 如图 2-15 所示，一内半径为 r，厚度为 （ r/10），宽度为 b 的薄壁圆环。在圆环 的内表面承受均匀分布的压力 p（如图 2-15） ，试求： （ 1）由内压力引起的圆环径向截面上的应力； （ 2）由内压力引起的圆环半径的伸长。 图 2-15 解： （ 1）如图 2-16 所示，将圆环沿直径切开，取下半部分进行分析。 根据平衡条件可得：
34、N 00 , 2 d sin 0yF F p r b 其中，圆环横截面上的内力可近似认为沿壁厚方向均匀分布，即 FN b。 代入式积分可得： 2b 2prb 0。 由内压力引起的圆环径向截面上的应力 pr/。 图 2-16 （ 2）根据胡克定律 E 可得，由内压引起的圆环径向伸长量： r r/E pr2/E。 2-10 受轴向拉力 F 作用的箱形薄壁杆如图 2-17 所示。已知该杆材料的弹性常数为 E， ，试求 C 与 D 两点间的距离改变量 CD。 图 2-17 解： 由泊松比的定义可知，杆的横向线应变： /FA F E E A 其中，杆的横截面积： A（ a ） 2 （ a ） 2 4a，
35、故 （ Fv/4Ea） 。 又变形前 C、 D 两点间的距离： 222 3 145( ) ( )3 4 12C D a a a 故变形后两点间距离的改变量： 145 1.0034 14 4 4CDFFC D aEa E 2-11 图 2-18 所示结构中， AB 为水平放置的刚性杆，杆 1， 2， 3 材料相同，其弹性模量 E 210GPa，已知l 1m， A1 A2 100mm2， A3 150mm2， F 20kN。试求 C 点的水平位移和铅垂位移。 图 2-18 解： （ 1）求各杆轴力 对杆 AB 进行受力分析，如图 2-19（ a）所示，由平衡条件： Fx 0， FN3cos45 0
36、 Fy 0， FN1 FN2 FN3sin45 F 0 MA 0， FN2l F（ l/2） 0 可得各杆轴力： FN1 FN2 10kN， FN3 0。 （ 2）计算各杆变形量 根据胡克定律可得各杆的伸长量： l1 l2 FN1l/EA 10 103 1/（ 210 109 100 10 6） mm 0.476mm， l3 0 图 2-19（ a） （ 3）各杆的变形关系如图 2-19（ b）所示。杆 1 和杆 2 变形时，刚性杆 AB 平动，故其上 C 点的位移与 A点相同，根据几何关系即可得到 C 点： 水平位移： Cx l1 0.476mm（ ） ； 铅垂位移： Cy l1 0.476
37、mm（ ） 。 图 2-19（ b） 2-12 图 2-20 所示实心圆钢杆 AB 和 AC 在 A 点以铰相连接，在 A 点作用有铅垂向下的力 F 35kN。已知杆 AB 和 AC 的直径分别为 d1 12mm 和 d2 15mm，钢的弹性模量 E 210Gpa。 试求 A 点在铅垂方向的位移。 图 2-20 解： （ 1）求 AB、 AC 杆的轴力 以节点 A 为研究对象，其受力图如图 2-21 所示。由平衡条件： Fx 0， FACsin30 FABsin45 0 Fy 0， FACcos30 FABcos45 F 0 联立解得： FAB 18.1kN， FAC 25.6kN。 图 2-
38、21 （ 2）由变形能原理求 A 点的铅垂位移 由 22 211212 2 2 ACABAFlFlFE A E A 可得 A 点铅垂位移： 22 21121 ()ACABAFlFlF E A E A 其中，杆 AB 长 l1 1000/sin45 1414mm，横截面积 A1 0.25 3.14 122mm2 113mm2。杆 BC 长 l2800/sin30 1600mm，横截面积 A2 0.25 3.14 152mm2 177mm2。 代入式可得， A 点铅垂位移： 22333 3 31 8 .1 1 0 1 4 1 4 2 5 .6 1 0 1 6 0 01mm3 5 1 0 2 1 0
39、 1 0 1 1 3 2 1 0 1 0 1 7 71 .3 6 6 m mA 2-13 图 2-22 所示 A 和 B两点之间原有水平方向的一根直径 d 1mm 的钢丝，在钢丝的中点 C 加一竖直荷载 F。已知钢丝产生的线应变为 0.0035，其材料的弹性模量 E 210GPa，钢丝的自重不计。试求： （ 1）钢丝横截面上的应力（假设钢丝经过冷拉，在断裂前可认为符合胡克定律）； （ 2）钢丝在 C 点下降的距离 ； （ 3）荷载 F 的值。 图 2-22 解： （ 1）根据胡克定律可得到钢丝横截面上的应力： E 210 109 0.0035Pa 735MPa （ 2）根据线应变的定义可得钢丝
40、的伸长量： l l 2 0.0035 7mm 根据几何关系即可得到 C 点下降的距离： 222 2 . 0 0 7( ) ( 2 ) 1 m m 8 3 . 7 m m2A C A B （ 3）对节点 C 进行受力分析，如图 2-23 所示。 可得平衡方程： FY 0， 2FNsin F 0 其中， FN A 735 106 （ d2/4） 735 106 （ /4） 10 6N 577.3N sin /AC 83.7 10 3/（ 2.007/2） 0.0834 代入式得载荷 F 2 577.3 0.0834N 96.3N。 图 2-23 2-14 如图 2-24（ a） 、 （ b）所示，
41、两根杆 A1B1 和 A2B2 的材料相同，其长度和横截面面积也相同。杆 A1B1承受作用在端点的集中荷载 F；杆 A2B2 承受沿杆长均匀分布的荷载，其集度为 f F/l， 试比较这两根杆内积蓄的应变能。 图 2-24 解： 设两根杆的弹性模量为 E，横截面面积为 A，则： 杆 A1B1 内积蓄的应变能 V1 （ F2l） /2EA 杆 A2B2 内积蓄的应变能 22 0( ) d2l NF x xVEA 其中，在距离 A2 为 x 处的轴力 FN（ x） f（ l x）（ l x） F/l 代入式积分可得： 2N20202 3 22 ( ) d2d2362llF x xVEAlxFxlEA
42、F l F lEAEAl 故两杆的应变能为： V1/V2（ F2l/2EA） /（ F2l/6EA） 3，即： V1 3V2。 2-15 水平刚性杆 AB 由三根钢杆 BC、 BD 和 ED 支承，如图 2-25 所示。在杆的 A 端承受铅垂荷载 F 20kN，三根钢杆的横截面面积分别为 A1 12mm2， A2 6mm2， A3 9mm2，钢的弹性模量 E 210GPa，试求： （ 1）端点 A 的水平和铅垂位移； （ 2）应用功能原理，即 教材 式（ 2-8），核算端点 A 的铅垂位移。 图 2-25 解： （ 1）对刚性杆 AB 进行受力分析，由平衡条件求得各杆内力： F1 60kN，
43、F2 40kN， F3 0kN 由此可得到各杆的变形量： l1 F1l1/EA1 3.57mm（缩短） l2 F2l2/EA2 4.76mm（伸长） l3 0 根据 图 2-26 所示的变形协调关系图，可知： 120.75lEO lBO 且 150EO BO 则 64.29mmEO 由几何关系可得： 13 6 4 .2 96 4 .2 9AyAOl EO 解得 A 点铅垂位移： Ay 20.23mm 水平位移： 2 4 . 7 6 m mAx B B l 图 2-26 （ 2）应用虚功原理核算 根据虚功原理可得： 221 1 2 21212 2 2AyF l F lFE A E A 代入数据可
44、得： 223339 6 9 66 0 1 0 0 . 1 5 4 0 1 0 0 . 1 51 2 0 1 02 2 2 1 0 1 0 1 2 1 0 2 2 1 0 1 0 6 1 0Ay 解得： Ay 20.23mm 因此（ 1）中求得的 A 点铅垂位移是正确的。 2-16 简易起重设备的计算简图如图 2-27所示。已知斜杆 AB用两根 63mm 40mm 4mm不等边角钢组成，钢的许用应力 170MPa。 当 提起重量为 P 15kN 的重物时，试 校核 斜杆 AB 的 强度 ？ 图 2-27 解： （ 1）求 AB 杆的轴力 对滑轮 A 进行受力分析，如图 2-28 所示，由平衡方程
45、： FY 0， FNBsin30 F P 0 可得： FNB 4P 4 15 60kN。 图 2-28 （ 2）应力校核 查型钢表得到单个 63mm 40mm 4mm 不等边角钢的面积为 4.058cm2。 则杆 AB 的应力： max FNB/2A 60 103/（ 2 4.058 10 4） Pa 74MPa 170MPa 杆 AB 强度满足要求，是安全的。 2-17 简单桁架及其受力如图 2-29 所示，水平杆 BC 的长度 l 保持不变，斜杆 AB 的长度可随夹角 的变化而改变。两杆由同一材料制造，且材料的许用拉应力与许用压力相等。要求两杆内的应力同时达到许用应力，且结构的总重量为最小
46、时，试求： （ 1）两杆的夹角 值； （ 2）两杆横截面面积的比值。 图 2-29 解： （ 1）对节点 B进行受力分析，如图 2-30 所示。 图 2-30 得到平衡方程： Fx 0， FNC FNAcos 0 Fy 0， FNAsin F 0 解得： FNA F/sin， FNC Fcot。 两杆应力同时达到许用应力 AB BC ，即 FNA/AAB FNC/ABC 代入数据得： AAB F/（ sin）， ABC Fcot/。 要使得结构总重量最小，即使整个结构的体积最小，该结构的总体积： 2c o ts in c o s 1 c o s s in c o sA B A B B C B
47、CV A l A lF l FlFl 令 2222d s in 2 c o s( ) 0d s in c o sV F l 得 sin2 2cos2 0 故 tan2 2， 54.74。 综上，即两杆夹角为 54.74时，该结构总重量最小。 （ 2）两杆横截面面积的比： AAB/ABC （ F/sin） /Fcot 1/cos 1.732 2-18 一桁架受力如图 2-31 所示。各杆都由两个等边角钢组成。已知材料的许用应力 170MPa，试选择杆 AC 和 CD 的角钢型号。 图 2-31 解： （ 1）求支反力和各杆轴力 分析桁架受力，如图 2-32（ a）所示，根据结构对称性可知： FA
48、y FBy 220kN（）， FAx 0 图 2-32（ a） 对节点 A 进行受力分析，如图 2-32（ b）所示，由平衡方程： Fy 0， FAy FNAC （ 3/5） 0 解得： N A C 220 k N 3 6 6 .7 k N3 / 5 3 / 5AyFF 图 2-32（ b） 对节点 C 进行受力分析，如图 2-32（ c）所示，由平衡方程： Fx 0， FNCD FNAC （ 4/5） 0 解得： FNCD FNAC （ 4/5） 366.7 （ 4/5） kN 293.3kN 图 2-32（ c） （ 2）根据强度条件选择角钢型号 AAC FNAC/（ 366.7 103）
49、 /（ 170 106） m2 2.157 10 3m2 21.57cm2 ACD FNCD/（ 293.4 103） /（ 170 106） m2 1.726 10 3m2 17.26cm2 由于各杆均有两个等边角钢组成，查型钢表得：杆 AC 可选用两根 80mm 7mm 等边角钢，其横截面积为10.86cm2；杆 CD 可选用两根 75mm 6mm 的等边角钢，其横截面积为 8.797cm2。 2-19 一结构受力如图 2-33 所示，杆件 AB、 CD、 EF、 GH 都是由两根不等边角钢组成。已知材料的许用应力 170MPa，材料的弹性模量 E 210GPa，杆 AC 及 EG 可视为
50、刚性的。试选择各杆的角钢型号，并分别求点 D、 C、 A 处的铅垂位移 D， C， A。 图 2-33 解： （ 1）求各杆轴力 对 AC 杆进行受力分析，如图 2-34（ a）所示，得： FNAB（ 3.2/4） 300 240kN， FNCD（ 0.8/4） 300 60kN 图 2-34（ a） 对 EG 杆进行受力分析，如图 2-34（ b）所示，由平衡方程： MF 0， FNGH 3 300 1.5 60 1.2 0 Fy 0， FNEF FNGH 60 300 0 得： FNGH（ 1/3） （ 450 72） 174kN， FNEF 186kN 图 2-34（ b） （ 2）由强
